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抛物线知识导学
　　一、抛物线的定义
　　平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
　　注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）．
　　二、抛物线的标准方程
　　1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式（抛物线标准方程的具体推导过程见教材）：
　　（1）焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，其开口方向向右；
　　（2）焦点在x轴的负半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，其开口方向向左；
　　（3）焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，其开口方向向上；
　　（4）焦点在y轴的负半轴上的抛物线的标准方程为，焦点坐标为，准线方程为，其开口方向向下．
　　其中抛物线的标准方程中参数的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．
　　注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似的形式，应按本部分要求记作：．如求抛物线的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：，然后得其焦点坐标为．
　　2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p的值，从而得到抛物线的标准方程．
　　三、抛物线的几何性质
　　1．抛物线的几何性质见下表：
标准方程
对称轴
轴
轴
顶点
原点
离心率
准线方程
范围
轴右侧
轴左侧
轴上方
轴下方
　　其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴．
　　如右图，抛物线标准方程为，焦点坐标为，过点作垂直于对称轴（x轴）的直线交抛物线于两点，计算得两点坐标为，可知线段的长为定值，只与焦参数有关．线段叫做抛物线的通径．
　　2．与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点：
　　（1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线．
　　（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率为1，是固定的．
　　（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与的大小有关，越大则开口越大，反之则越小．
　　（4）抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为．
抛物线中的思维误区
一、对抛物线的定义模糊导致错误
例1 若动点P与定点和直线的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）
Ａ．椭圆 　　　 Ｂ．双曲线
Ｃ．抛物线 　　　 D．直线
误：由抛物线的定义，可知选（C）．
析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点在定直线上．
正：设动点P的坐标为，则
．
整理，得．
所以动点P的轨迹为直线，选（D）．
二、忽视标准方程的种类导致错误
例2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点的抛物线的标准方程．
误：设抛物线，
将代入，得．
故抛物线的标准方程为．
析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.
正：还有一种情形设，
求得标准方程为．
所以满足条件的抛物线的标准方程为或．
三、对直线与抛物线一个交点认识不清
例3 求过点且和抛物线仅有一个公共点的直线方程．
误：设所求直线方程是．
由消去，得，
抛物线与所求的直线只有一个公共点，
，解得．
故所求的直线方程为．
析：由于过点的直线l的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解．
　　正：（1）当直线的斜率不存在时，其方程为，显然与抛物线C仅有一个公共点．
　　（2）当直线的斜率为零，其方程为，显然与抛物线C仅有一个公共点．
（3）当直线的斜率为，设所求直线方程是．
由消去，得，
抛物线与所求的直线只有一个公共点，
，解得．
故所求的直线方程为．
综上可知，所求的直线方程为．
四、对于多解认识不清
　　例4　求顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为8的抛物线方程．
　　误：∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，
　　∴设抛物线方程为，焦点坐标为．
　　∵通径，21世纪教育网
　　∴所求的抛物线方程为．
　　析：错因只考虑到焦点在x轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x轴负半轴的情形，故产生了漏解．
　　正：∵抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，可设抛物线方程为．
　　又通径为，
　　∴．
　　故所求的抛物线方程为．
抛物线定义的应用
定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助．21世纪教育网21世纪教育网
　　1、求最值
　　例1 设是抛物线上的一个动点，是焦点．
（1）求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
（2）若点的坐标为（3，2），求的最小值．
解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为，准线是．由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到焦点的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小．显然，连结交抛物线于点．故最小值为，即为；
（2）如图2，自点作垂直于准线，交点为，交抛物线于点，此时，，那么，即最小值为4．
点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．
　　2、求曲线的方程
例2 圆心在抛物线上且与x轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．
解析：如图3，设圆心为且为切点，由，结合抛物线的定义知为抛物线的焦点，即，因此或，且圆的半径．
故所求方程为或．
点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．
　　3、确定方程的曲线
例3 方程表示的曲线是（ ）
　　Ａ．圆　　　　　Ｂ．椭圆
　　Ｃ．双曲线　　　Ｄ．抛物线
解析：方程变形为．
　　它表示“点与点的距离等于它到直线的距离”，根据抛物线的定义知，的轨迹是抛物线．故选（D）．
点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行．
　　4、求三角形面积
例4 设为抛物线的顶点，为抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，，求的面积．
解析：如图4，不妨设抛物线方程为，，
由抛物线定义知
．
由，，
得．
又由于为过焦点的弦，因此．
故，
因此，．
点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．
抛物线的焦半径公式
　　一、抛物线的焦半径公式
　　如图，设抛物线方程为，焦点为，准线的方程为．
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　　设为抛物线上任意一点，，A为垂足．
　　由抛物线定义，得．
　　即为抛物线的焦半径公式．
　　抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便．
　　二、焦半径公式应用举例
　　例１　设抛物线的焦点弦的两个端点分别为和，若，那么______．
　　解：设焦点为，由，利用焦半径公式，
得．
　　例2　抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则（　　）
　　A．成等差数列
　　B．成等差数列
　　C．成等差数列
　　D．成等差数列
　　解：由抛物线的焦半径公式，得
　　，，，
　　∵成等差数列，
　　∴，
　　∴，即成等差数列．故选（Ａ）．
　　例3　过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、Ｂ两点，已知，为坐标原点，则的重心的横坐标是______．
　　解：设，原点，．
　　∵，
　　∴．
　　∴的重心的横坐标是．
　　例4　设抛物线的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，求m和n的关系．
　　解：设抛物线的焦点弦的端点为，则，，焦点为，当直线的斜率存在时，设所在直线方程为，与抛物线方程联立
　　消去y，得．
　　∴．
　　∴，
　　即．
　　当k不存在时，，．
　　综上，有．

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