资源简介

聚焦抛物线的通径
　　我们知道，抛物线的“通径”在课本上是这样定义的：经过抛物线的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线交于、两点，线段叫做抛物线的通径．不难求得抛物线的通径长为．通径作为抛物线的一条特殊的弦，所具有的某些结论和结论的探求方法可为迅速寻求某些问题提供求解途径．
　　一、“通径”性质的探求
　　如图１，设抛物线方程为，为过焦点的弦，其所在直线方程为，联立消y有，．
　　①，，
（为弦所在直线的倾斜角且）．显然当时，．
　　即“抛物线过焦点的弦长最小值为通径长”．
　　②通径的端点和抛物线的顶点构成的等腰三角形面积为定值．
　　证明：如图2，抛物线方程为，为其焦点，为抛物线的通径，则．
二、“通径”性质的应用
　　抛物线的通径是过焦点的弦，但其本身有特殊的性质．如果解题时注意应用“通径”的这些性质，将减少运算量，提高解题的速度．
　　例1　直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直．若被抛物线截得的线段长为4，则______．21世纪教育网
　　解析：所截得的线段就是抛物线的“通径”，
　　所以线段的长为，
　　又，∴．
　　例2　过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若与的长分别是，则等于（　　）
　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．21世纪教育网21世纪教育网
　　解析：本题可以用特殊位置法来解，因为弦是任意的，所以，可以取最特殊的情况：弦垂直y轴时（也就是“通径”）．此时，∴，故选（C）．
　　例3　已知探照灯的轴截面是抛物线，如图3所示，平行于对称轴x轴的光线在抛物线上经P、Q两点两次反射后，反射光线仍平行于对称轴x轴．设点P的纵坐标为，a取何值时，从入射点到反射点Q的光线路程最短．
　　解析：利用光学知识将问题转化为焦点弦长的最小值问题，可用结论：通径长是焦点弦长的最小值，即，此时交点和分别为入射点和反射点．21世纪教育网
　　若不用此结论，需构建目标函数，利用均值不等式求解．由光学知识知，光线恰过焦点，则，由，，解得．
　　直线的方程与联立，解得交点，由抛物线的定义有，（当且仅当时取等号），即当入射点为，反射点为时，路程最短．这时恰好关于对称轴对称，且为通径．

展开更多......

收起↑