资源简介

妙用双曲线的焦半径
　　双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径．已知点在双曲线上，分别为双曲线的左、右焦点，，．同理，焦点在y轴上的双曲线的焦半径为，，其中双曲线的焦点自下至上为．
　　例1　已知是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：如图，的中点为，则P点的横坐标，，又由焦半径公式，
得，得，有，
　　解得（舍去），故选（D）．
　　点评：利用焦半径建立关系式，得出关于e的方程，从而获解．
　　例2　经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，与双曲线交于A、Ｂ两点，为左焦点，求的周长．
　　解：由双曲线方程，得，，，．
　　设，则的方程为．[来源:21世纪教育网]
　　于是，消去y，得．
　　由根与系数的关系可求得．
　　∴．
　　∵，，
　　∴．
　　∴的周长为．
　　点评：的长度的求法是利用了弦长公式．
　　例3　在双曲线的上支上有三点与的距离成等差数列．求证：的垂直平分线经过某一定点．
　　证明：，（是Ｂ点的纵坐标），．由已知，得，21世纪教育网
　　整理，得．
　　设的中点，其中．
　　又两点在双曲线上，于是
　　两式相减整理，得．∴．
　　∴的垂直平分线方程为，
　　即，经过点．证得原命题成立．
　　点评：利用焦半径，借助点差法，将垂直平分线方程化为点斜式从而获解．
学习“双曲线”的四点误区
　　误区一：缺乏对双曲线定义的深刻理解，应用定义时考虑不深刻，不全面，导致错误
　　例1　动点P到两定点的距离之差的绝对值为6，则动点P的轨迹为（　　）
　　A．椭圆　　　　　　B．双曲线
　　C．双曲线的一支　　D．无轨迹
　　示错：选（B）．21世纪教育网
　　辨错：上述解答是忽视双曲线定义中的条件而导致错误的，因为6大于，所以无轨迹．
　　纠错：选（D）．
　　例2 若一个动点到两个定点的距离的差的绝对值为定值，试讨论点P的轨迹方程．
　　示错：由双曲线定义可知：轨迹是以为焦点的双曲线，其中，
　　∴方程为．
　　辨错：利用双曲线定义求轨迹方程时，一定要注意这个条件，若和、大小不定，必须讨论．
　　纠错：由已知得，
　（1）当时，轨迹是线段的垂直平分线，方程为．
　（2）当时，轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，
　　∴方程为．21世纪教育网
（3）当时，轨迹为两条射线（）或（）．
　　误区二：求双曲线方程时，若焦点位置不能够确定，则要写出焦点在x轴、y轴两种情况下的双曲线的标准方程，不能遗漏
　　例3　求焦距为14，两顶点间距离为12的双曲线的标准方程．
　　示错：∵，，∴，，．
　　∴双曲线方程为．
　　辨错：因为题中条件确定不了焦点位置，焦点在x轴和焦点在y轴的双曲线的标准方程都适合题意，故所求的标准方程应有两个．
　　纠错：所求双曲线方程为或．
　　误区三：求双曲线方程时要考虑适合条件的各种可能性，不要遗漏
　　例4　求渐近线方程为，焦点为椭圆的一对顶点的双曲线方程．
　　示错：设所求的双曲线方程为．
　　∵双曲线的焦点为椭圆的顶点．
　　∴，∴．
　　∴双曲线方程为．
　　辨错：因为双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点或短轴顶点不确定，所以双曲线的焦点，还有可能是短轴的顶点．
　　纠错：设所求双曲线方程为，
　　①当双曲线的焦点是椭圆长轴顶点时，可求双曲线方程为-=1；
　　②当双曲线的焦点是椭圆短轴顶点时，，
∴．
　　∴双曲线方程为．
　　误区四：忽视双曲线的特殊性，缺乏全面考虑的解题习惯，误用一些充要条件，是出现错解的重要原因
　　例5　已知方程表示双曲线，求的取值范围．
　　示错：原方程表示双曲线的充要条件是，
即的取值范围为．
　　辨错：注意表示双曲线的条件是，上面的解法是考虑问题不全面漏掉了且的情况．
　　纠错：原方程表示双曲线的充要条件是或或．
　　故的取值范围为．21世纪教育网

展开更多......

收起↑