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直接证明与间接证明精析
　　在数学中，证明是引用一些真实的命题来确定某命题真实性的思维形式．数学常用的证明方法有直接证明与间接证明．
　　1．直接证明
　　直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．
　　（1）综合法与分析法要点解析表
　　（2）对分析法证题的说明
　　“若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）Ｂ成立，只需证明成立（是Ｂ成立的充分条件），要证成立，只需证明成立（是成立的充分条件），…，要证明成立，只需证明A成立（A是成立的充分条件），∵A成立，∴B成立．
注：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件；
②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的；
　　③“只需证明”、“为了证明”、“∵A成立，∴B成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．
　　（3）综合法和分析法的优缺点
　　分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．
综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．
　　因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，则原命题得证．
　　2．间接证明
　　不是从正面论证命题的真实性，而是考虑证明它的等价命题，间接地达到目的．常见的间接证明方法是反证法．
　　反证法是一种常用的间接证明方法．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：
　　应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：
　　（1）反设———假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
　　（2）归谬———从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
　　（3）存真———由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
　　注：①反设要准确，即取结论的否定形式时要准确，有些否定形式需注意全称量词与特称量词的相互转换．
　　②所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况．
反证法往往用于解决正面解决较为困难的问题（正难则反）或需分多种情况讨论的问题（如至多、至少等问题）等．
反证法中的“特殊化”
　　反证法是一种重要的证明方法．反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾．笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口．
　　一、特殊值
　　巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然．
　　例1　设、是定义上的函数．证明：存在、，使得．
　　分析：要找出具体的、，难以下手，不妨考虑用反证法．21世纪教育网
　　证明：假设这样的、不存在．取特殊值，，得．
　　同理，，，．21世纪教育网
　　故，
　　这是不可能的．
　　因此，原命题成立．
　　注：本题反复利用与这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“”．
　　二、特殊运算
　　某些相对独立的对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而当通过特殊运算使之形成一个整体时，矛盾便暴露无遗了．
　　1．求和
　　例2　今有有限个砝码，它们的总重量是，将它们分别编号为．证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为的砝码，它的重量大于．
　　证明：假设不存在这样一个编号，使得相应的砝码重量．
　　设共有个砝码，．
　　从而，有，，，．21世纪教育网
　　累加求和，得，矛盾 ．
　　因此，原命题成立．21世纪教育网
　　2．求积
　　例3　证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，，．
　　分析：本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法．
　　证明：假设存在三个实数同时满足题设的三个不等式．将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得
，　　①
　　，　　②
　　． 　 ③
　　①②③得，这显然是不可能的．
　　因此，原命题成立．
　　注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了．21世纪教育网

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