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《推理与证明》中的数学思想
有关《推理与证明》中的问题蕴含着许多数学思想，若根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而使问题简捷、准确地获解．
一、类比思想
所谓类比思想就是根据两个对象之间一部分属性相同或相似，从而推断出这两个对象之间的另外一些属性也可能相同或相似的一种思维形式．“由特殊到一般”是解决这类问题的思维主线．
例1　已知，且．
求证：．
分析：我们可先把它类比为一简单题目：“已知，，且，求证：．”该题的证明思路为：∵，∴，则，即，∴．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法，这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．
证明：由基本不等式有，
则，
∴，21世纪教育网
即．
∴．
二、转化思想
转化思想就是在解决数学问题时，将有待解决的问题，通过某种转化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题，并通过对这一问题的解答返回去求得原问题的解答．例如分析法是证明命题的一种方法，当问题直接证明思路不明显时，常常考虑运用分析法．而运用分析法解题的关键是将结论适当转化．
例2　设实数满足，若，求证：．
分析：直接证明思路不明显，因此可以先结合条件将结论适当转化．由，只需转化为证．又，因此只需转化为证明．再由转化为证明．因此运用分析法即可简捷得证．
证明：要证，
因为，所以只需证，
又，因此只需证，
只需证，即证．　①
①式显然成立． 故原不等式成立．
点评：本题在寻找使结论成立的条件①时，是先根据函数的单调性，将对数不等式、指数不等式逐步转化为①，从而把问题化难为易．
三、正难则反思想
有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想．运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易、化繁为简的奇效．反证法就是“正难则反”的一种证明方法，它不是直接证明命题结论正确，而是通过证明结论反面不正确来说明结论的正确性．因而对于那些“结论的反面”比结论本身更具体、更明确、更简单的命题，则适宜用反证法来证．
例3　设函数的定义域是区间，，且对、，，均有，求证：对、，，均有．
分析：因直接证明较为困难，于是考虑使用反证法．21世纪教育网
证明：假设、，，使得．21世纪教育网
不妨设，21世纪教育网
则21世纪教育网
．
所以．
又由条件可得．
这与假设矛盾，故原命题成立．
点评：运用反证法证题时，须注意三点：
　　（1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；
　　（2）推理过程必须完全正确，否则不能判定非命题是错误的；
　　（3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确、毫不含糊．
四、归纳递推思想
归纳递推思想就是在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后用数学归纳法予以证明．这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察———归纳———猜想———证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．
例4　已知点的序列，，其中，，是线段的中点，是线段的中点，，是线段的中点，．
（1）写出与、之间的关系式；
（2）设，计算，，，由此推测数列的通项公式．
分析：利用递推公式及归纳猜想是解题的关键．
解：（1）当时，；
（2）；；
；
由此推测：（可用数学归纳法证明）．

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