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数学归纳法证明的几种常用方法
　　用数学归纳法证明一个与自然数n有关的命题时，第二步是十分关键的步骤．怎样才能从顺利地过渡到呢？下面介绍几种常用方法．
　　一、恰当放缩
　　例１　已知n是大于1的自然数，，求证：．
　　分析：由已知可看到的形式很繁锁，并且要证结论为不等式，则可联想不等式的性质对其适当放缩，从而证得原命题．
　　证明：（1）当时，，所以不等式成立．
　　（2）假设当（，且）时，成立，则当时，有21世纪教育网
。
　　所以当时原不等式也成立．
　　由（1）和（2），可知原不等式对任何大于1的自然数n都成立．
　　二、起点后移
　　例2　已知，求证：．
　　分析：可结合不等式关系：来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明时原不等式成立，还要证明当时，原不等式也成立．
　　证明：（1）当时，原不等式显然成立，21世纪教育网
　　当时，不等式左边，
　　右边，则左边＞右边，
　　∴当时，原不等式成立．
　　（2）假设当时，成立，
则时，
　　
．
　　所以当时原不等式也成立．
　　由（1）和（2），可知原不等式对任何都成立．
　　三、增加跨度
　　例3　试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形．21世纪教育网
　　分析：一个正方形分割成4个正方形是很容易的．由此猜想：若能把一个正方形分割成k个正方形，则必能分割成个正方形．故第一步应对的情形加以验证．第二步，则只需从k递推到k+3．
　　证明：（1）当时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立．
　　（2）假设当时命题成立，即一个正方形必能分割成k个正方形．那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个．因而原正方形就分割成了个正方形，即当时命题也成立．
　　因为任何一个大于5的自然数n都可以表示成中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数n都成立．
　　四、强化命题
　　例4　已知，定义，且．试证明：对一切，都有．
　　分析：显然有，但若假设，则很难由递推公式推得．为此，必须知道小于什么数值才行．
　　其实，要使，即，只须．所以本题可转化为证明如下更强的不等式：[来源:21世纪教育网]
　　．①
　　证明：（1）当时，显然有．
　　又因为，
　　所以．
　　（2）假设当时，成立，则有
　　，21世纪教育网
　　，
　　所以，即当时不等式①也成立．
　　由（1）和（2），可知对任何，不等式①都成立，从而原命题获证．
注意：除了上述四种常用方法外，还有拆项添项、作差（作商）等方法．同学们在证明过程中，要结合题目特点，灵活运用．
苏教选修（2-2）2.3数学归纳法导学
　　一、数学归纳法的原理及其概念
　　如果（1）当n取第一个值（例如等）时结论正确；
　　（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确；
　　那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立．
　　这就是数学归纳法公理，它是证明与自然数有关的命题的依据．
　　补充说明：（1）数学归纳法适用于与正整数有关的问题，常用来证明用不完全归纳得到的结论．要有强烈的数学归纳法与正整数之间的对应意识，做到看到有关正整数的证明问题，马上想到是否可以用数学归纳法来证明．
　　（2）“数学归纳法”与“归纳法”不同，“归纳法”是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，而“数学归纳法”是一种有关正整数问题的证明方法．“归纳法”通常可分为完全归纳法和不完全归纳法，其中完全归纳法的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论则不一定正确．而用“数学归纳法”证明的结论必是正确的．
　　二、用数学归纳法证题的两个步骤及其作用
　　数学归纳法的定义即是证题的步骤，在证明过程中必须按步骤进行．其中，第一步是奠基步骤，是论证命题成立的基础保证，也称为归纳基础（又称特殊性）；第二步是递推步骤，是解决命题具有后继传递性的保证（又称延续性），即只要命题对于某个正整数成立，就能保证该命题对于后续正整数都成立．这两个步骤相辅相成，缺一不可．
　　三、证明中应注意的几个问题
　　1．数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择．
　　2．注意n与k的不同，理解和书写时不要弄混．
　　3．第二步中要准确把握由到时，要证明的结论中到底需要添加（或舍去）哪些项，如用数学归纳法证明某数列问题时，当时有，则n＝k＋1时有Ｓk+1=+++…＋+++…＋，不要弄错．
　　4．在证明第二步命题成立时，必须使用归纳假设，否则就不是数学归纳法．在初学数学归纳法时常易犯不用归纳假设，而直接运用相关公式（如数列的有关公式）的错误，需特别注意．应通过例题和习题体会和练习怎样使用归纳假设，通过错例分析体会怎样避免不用归纳假设的情况．
　　5．数学归纳法的关键在第二步，要能真正地证明结论正确才行，切忌证不出而直接说结论成立．证明过程可以用综合法，也可以用分析法或其它方法．为证n=k+1时结论成立，对条件和结论进行各种各样的恒等变形是必要的和必须的，常见变形技巧有提公因式、配方（可参阅课本）、恰当放缩、起点后移、增加跨度、强化命题、添项拆项等（可参阅第四版文章《帮你顺利“过渡”》）．另外，不妨先把时的结论写出来，为证明提供方向．
　　6．数学归纳法中的两步缺一不可，否则结论不能成立．只有第一步，只能证明特殊情况，无法延续；只有第二步，没有奠基，可能会推出错误的结论．

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