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数学归纳法的应用
　　数学归纳法是高中数学中一种重要的数学方法，常常以观察、试验、类比、联想、归纳提出合理的科学猜想，通过数学归纳法的证明可以保证猜想的合理性与正确性．广泛的用来证明等式、不等式、整除性问题等与自然数有关的命题．下面举例说明数学归纳法的几种应用．
　　一、等式问题
　　例1　已知，求证：．
　　证明：（1）当时，等式左边，右边，等式成立．
　　（2）假设当时，命题成立．即
　　．
　　则当时，
　　


。
　　∴当时，等式成立．
　　综上，由（1）和（2）可知，对于任何，等式成立．
　　评注：本题在证明过程中突出了一个凑字，即“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系．
　　二、不等式问题
　　例2　求证：．
　　证明：（1）当n=2时，左边，不等式成立．
　　（2）假设当时命题成立，即．
　　则当时，
　　
，
　　所以当时不等式也成立．
　　由（1）和（2）可知，原不等式对一切，均成立．
　　评注：本题在由到时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一．
　　三、整除性问题
　　例3　利用数学归纳法证明能被9整除．
　　证明：（1）当n=1时，（3×1＋1）×７1－1＝2７，能被9整除，所以命题成立．
　　（2）假设当时命题成立，即能被9整除．
　　那么当时，
　　
．
　　由归纳假设知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除．
　　这就是说，当时，命题也成立．21世纪教育网
　　由（1）和（2）可知，对一切，都能被9整除．
评注：涉及整除问题，常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法，其中等价变换的技巧性较强．
归纳 猜想 证明
　　“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式，也是数学归纳法应用的重点题型．解这类问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后用数学归纳法证明．其中解题的关键在于正确的归纳猜想，下面举例说明．
　　例1　是否存在常数a、b、c，使得等式对一切成立？并证明你的结论．21世纪教育网
　　分析：可先进行计算，找到a、b、c的值，再归纳猜想，最后证明．
　　解：假设存在常数a、b、c使上式对均成立，
　　则当时上式显然也成立，此时可得
　　，
　　解此方程组，可得．
　　下面用数学归纳法证明等式对一切均成立．
　　当时，命题显然成立．
　　假设时，命题成立．
　　即，
　　那么当时，
　　
[来源:21世纪教育网]
．
　　即当时，命题成立．
　　综上所述，存在常数，
使得等式对一切均成立．
　　例2　数列满足，前n项和，求数列的通项公式．
　　分析：该题未给出猜想信息，可先创造条件得出结论，再证明．
　　解：∵，∴．
　　由变形整理，得，
　　取正根，得，
　　由及，得
　　，变形整理，得，
　　取正根，得．
　　同理，求得．
　　由此猜想．
　　下面用数学归纳法证明：
　　（1）当时，上面已求出，结论成立．
　　（2）假设当，时，结论成立，即．
　　那么当时，
，
　　整理，得，取正根，得，
　　故时，结论成立．
　　由（1）和（2），可知对任何，成立．
　　例3　已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足：，若，，求证：．
　　分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想、证明四步完成．
　　证明：∵对任意都成立，
　　∴对于
　　当时，；
　　当时，；
　　当时，；
　　…，
　　猜想．（※）
　　下面用数学归纳法证明：
　　（1）当时，，（※）式成立．
　　（2）假设时，（※）式成立，即，
　　当时，
，
　　∴时，（※）式成立．
　　由（1）和（2），可知对任何，成立．
　　所以．
　　要证明结论成立，只需证明．
　　∵，
　　∴成立．
斐波那契级数
　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在这些数中，从第3项开始，每一个数都是它前面的两个数的和，例如，，等等，这就是著名的斐波那契级数．
　　斐波那契级数出现在意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1174～1250）在1202年所著的《算盘书》中．书中是这样提出问题的：
　　如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对，假定每对兔子都是一雌一雄．试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？
　　由这个问题得出的序列就是上面列出的序列．出人意料的是，这个序列在许多场合都出现．因此，我们需要对它作些探讨．序列中的每一个数叫做斐波那契数．若第n个斐波那契数记为，则我们有，，，，，…．21世纪教育网
　　这个序列有下面的递推关系
　　．
　　斐波那契数的通项公式是21世纪教育网
　　．①
　　这个公式是法国数学家比内（Binet）求出的．我们用数学归纳法证明它．
　　斐波那契级数的构造法告诉我们，从第3项开始，它的每一项都是前两项之和，并且只有在给定了开头的两项之后，整个级数才能确定．所以在使用数学归纳法证明公式①时，需要对数学归纳法的基本程序作变动：
　　（1）公式①对，这两种情况都正确；
　　（2）假定公式①对一切都成立，证明它对也正确．
　　证明：（1）为了下面的证明，我们需要算出
　　．②
　　类似地，，③
　　从而，．
　　（2）当时，
．
　　（3）当时，
．
　　这就证明了当和时公式①是正确的．
　　（4）设n是任意自然数，并假定公式①对一切都成立，证明它对正确．根据斐波那契数的定义，我们有



　　由②③，得
　　
，
　　原命题得证．
　　斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合．在花的花瓣中存在斐波那契模式．几乎所有的花，其花瓣都是斐波那契数．例如百合花的花瓣有3瓣；梅花有5瓣；许多翠雀属植物有8瓣；万寿菊的花有13瓣；紫菀属的植物有21瓣；大多数雏菊有34、55、89瓣．在向日葵的花盘内葵花子的螺旋模式中也可以发现斐波那契级数．

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