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类比推理分类例析
　　类比推理是各种逻辑思维方法中最富于创造性的一种方法．这是因为类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物，也不象演绎推理那样受到一般原理的严格制约．它可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，既可以比较事物的非本质属性（如形式和研究方法），又可以比较事物的本质属性．现例析如下：
　　一、外在形式和表面现象的类比
　　例1　在中，两直角边，，斜边上的高为，则．
该结论的证明很简单．类比它，在立体几何中有何发现？
解：我们猜想，在立体几何中，也有类似的一个公式：
在三棱锥中，若三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为，顶点到底面的距离，则．
证明如下：如图1，连结并延长交于点，连结，
∵，，
∴平面，
∴，．
∵平面，∴，
∴平面，∴．
∵，
∴在中，，
在中，．
∴，
即．
结论中的三条侧棱两两垂直，可等价变为三个侧面两两垂直．
　　评注：本题是从二维平面到三维空间的一个升维类比，仅从形式上就可得出类比的结论，正确与否必须证明．
例2　已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上除点外的任一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值．试对双曲线写出类似的性质，并加以证明．
　　解：类似性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，是双曲线上除点外的任一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值．
　　证明如下：设点，，则． 21世纪教育网
　　∵点在双曲线上，∴，．
　　故（定值）．
　　评注：本题是由椭圆到双曲线的同级类比，仅从表面形式上便可得出类比的结论，叙述时要与原结论保持形式上的一致．21世纪教育网
　　二、研究方法上的类比
　　例3　已知命题：“若数列为等差数列，且，，则．”现已知数列为等比数列，且，，若类比上述结论，则可得到_ ____．
　　解：设公差为，则，
　　∴．
　　类比此推导方法易知：设公比为，
　　由知，，
　　∴，∴．
　　故应填．
　　评注：本题从形式上难以类比出结论，但从已知结论的推导方法上不难类比得到等比数列的推导方法，从而推导出结论．所以本题更加注重研究方法和思路上的类比．
　　三、本质上的类比
　　例4　如图2所示，圆心在原点，半径为的圆交轴正半轴于点、是圆上两个动点，它们同时从点出发沿圆周作匀速运动，点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，试求它们第5次相遇时各自转过的弧度数．
　　解：由点的角速度分别为弧度/秒，弧度/秒，易知第5次相遇点共转过了5周，即弧度，设时间为秒，由知，（秒），所以转过的弧度数分别为（弧度），（弧度）．
评注：本题是圆周上的相向运动．类比直线上相向运动的本质规律：距离之和＝速度之和×时间，易得圆周上相向运动的本质规律：角的弧度数之和＝角速度之和×时间，貌似复杂的问题抓住本质就可迎刃而解．
演绎推理“防疫站”
　　防疫一：偷换论题
　　例1　求证：四边形的内角和等于360°．
　　证明：设四边形是矩形，则它的四个角都是直角，21世纪教育网
有，
　　所以，四边形的内角和等于．
　　剖析：上述推理过程是错误的，犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．21世纪教育网
　　防疫二：虚假论据
　　例2　已知和是无理数，试证：＋也是无理数．
　　证明：依题设和是无理数，
　　而无理数与无理数的和是无理数，
　　所以＋也是无理数．21世纪教育网
　　剖析：上述推理过程是错误的，犯了虚假论据的错误．使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数．
　　防疫三：循环论证
　　例3　在中，，求证：．
　　证明：因为，，
　　所以．
　　剖析：上述推理过程是错误的，犯了循环论证的错误．本题的论证就是人们熟知的勾股定理．上述证明中用了“”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误．
　　防疫四：推理错误
设，且，，．
求证：．
　　证明：因为
　　
，
　　所以．
　　剖析：上述推理过程是错误的，犯了不能推出的错误．因为只能推出（）．至于关系式是否惟一地成立，却无法断定．因此，只有进一步推出，即，原题才能得证．

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