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聚焦高考导数的“交汇点”
　　导数为许多数学问题的研究开辟了新途径，也是中学数学的一个新的知识“交汇点”，导数与函数、数列、不等式的综合题成为各类考试中考查的一个新热点．本文将该部分高考试题作一归纳总结，供参考．
　　一、导数与集合的交汇
　　例1　设函数，集合，，若，则实数a的取值范围是（　　）
　　（Ａ）　　　　　（Ｂ）
　　（Ｃ）　　　　（D）
　　解析：，化简可得
　　当时，；
　　当时，；
　　当时，．
　　，，
　　当时，；
　　当时，；
　　当时，且．
　　∵，∴．故选（Ｃ）．
　　点评：本题以集合为载体，主要考查了不等式和导数的商的求导法则（），同时也考查了集合的运算．
　　二、导数与不等式的交汇
　　例2　对于上可导的任意函数，若满足，则必有（　　）
　　（Ａ）　　 　 （Ｂ）
　　（Ｃ）　　　（Ｄ）
　　解析：若函数为常数函数，则（Ａ）、（Ｄ）不对，21世纪教育网
　　若不为常数函数，
　　则时，单调递增；时，单调递减．
　　∴时，为极小值，也为最小值，
　　∴．故选（Ｃ）．
　　点评：本题考查了利用导数讨论函数的单调性，及求函数的极值和最值还有不等式．
　　三、导数与三角函数的交汇
　　例3　设函数．
若是奇函数，则_____．
　　解析：∵，
　　

．
　　要使为奇函数，须且仅须，即．
　　又，所以k只能取0，从而．
　　点评：本题是以导数为背景，结合三角函数化简求值等有关知识进行考查．
　　四、导数与函数、不等式的交汇
　　例4　已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（1）略；（2）当时，，
　　证明：（1）略；
　　（2）由，得，
　　∴
．
　　．
　　∵是两个不相等的正数，
　　∴，
　　设，，
　　则，列表：
减函数
极小值
增函数
　　∴，即，
　　∴．21世纪教育网
　　即对任意两个不相等的正数 ，恒有．
点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，以导数为工具，解答函数、不等式综合问题已成为高考中一道亮丽的风景线．
运用导数巧定参
　　求参数的值或取值范围问题，是高中数学的重要内容，也是历年高考数学命题的热点．将这类问题渗透到导数应用中，通过已知函数的单调性、极值或最值确定参数的值或取值范围，是导数的逆向应用，是导数应用的一大亮点，也充分展现了导数应用的活力．下面举例说明．
　　一、由函数的单调性确定参数
　　例１　已知函数，是否存在实数a，使在上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
　　分析：由在上单调递减，知在上的导数，由此表示出x，利用x的取值范围来确定a的取值范围．
　　解：由在上单调递减，可得在区间上的导数，即恒成立．
　　∵，∴，∴只需．
　　当时，，在上，
　　即在上为减函数，∴．
　　点评：在已知函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令（或）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使恒等于0，若恒等于０，则参数的这个值应舍去；若不恒为０，则由（或）恒成立解出的参数的取值范围确定．
　　二、由函数的极值确定参数
　　例2　已知在时取得极值，且，试求常数a、b、c的值．
　　分析：通过极值点与导数的关系，函数的极值点为的根，建立起相关等式，运用待定系数法求得参数a、b、c的值．
　　解：．
　　由是函数的极值点，得是方程，即的两根，
　　由根与系数的关系，得
　
　　又，所以．③
　　由①②③，解得，，．
　　点评：本题是极值的逆向思维问题，运用待定系数法实现转化，从而解决了函数参数的确定问题．
　　三、由函数的最值确定参数
　　例3　设，函数的最大值为1，最小值为，求常数a、b．
　　分析：由函数的最值与导数的关系，建立a、b的方程组求解．
　　解：，得或．
　　，，，．
　　由，可得中是最小的，是最大的．
　　所以，解得．
　　点评：本题是函数最值的逆向题，求解的方法是利用导数知识，得到关于参数的方程组，利用待定系数法求解的．
导出新意
　　一、以向量为载体的导数求解21世纪教育网
　　例1　已知向量，，令，是否存在实数，使（其中是的导函数）？若存在，求出的值；若不存在，则证明之．
　　解析：
　　
　　．
　　令，即可得，所以存在实数，使．
　　点评：本题是以向量为载体，考查了导数、三角函数等知识，在知识的交汇处设计题目，题目小巧且富于思考．
　　二、高次函数的导数求解
　　例2　设函数，其中．
　　（1）若在处取得极值，求常数的值；
　　（2）若在上是增函数，求的取值范围．
　　解析：（1），
　　因为在处取得极值，所以，
　　解得，经检验知当时，为的极值点．
　　（2）由于．
　　①若，函数在和上为增函数．
　　故当时，在上是增函数；21世纪教育网
　　②若时，函数在与上为增函数．
　　故此时在区间上一定为增函数．
　　综上所知，当时，在区间上为增函数．
　　点评：此题借助于二次函数的零点，分别对的图象特征进行分析，再结合函数在上的单调性与其子区间的单调性相同，得出结论．
　　三、分式函数的导数求解
　　例3　已知函数，．
　　（1）求的单调区间和值域；
　　（2）设，函数，，若对任意的总存在使得成立，求的取值范围．
　　解析：（1）对函数求导，得，
　　令，解得或．21世纪教育网
　　当变化时，、的变化情况如下表：
　　所以，当时，是减函数；
　　当时，为增函数．
　　故当时，的值域为．
　　（2）对函数求导，得，
　　又因为，当时，，
　　因此当时，为减函数，
　　从而当时，有．
　　又，，
　　即当时，有．
　　任给，．
　　存在，使得，则，
即
　　解得或．
　　又，所以的取值范围是．
点评：本题考查函数性质、导数、不等式等基础知识，用导数求解，思路清晰、快捷，充分体现导数解题的优越性．其中在解（2）问时，注意数学语言间准确转化，是解此问的关键．
绕过讨论求切线
求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种情况进行讨论，解法复杂．若设为曲线上一点，则以为切点的曲线的切线方程可设为，利用此切线方程可以简化解题，避免疏漏．如：
例1 求过曲线上的点的切线方程．
解：设为切点，又∵，
∴，即切线的斜率为．
设此切线方程为，
又∵切线过，故．①
切点在曲线上，故．②
由①②，解得，或．
故所求切线方程为或，即或．
评析：由上述解法可知，两直线都过曲线上的点，但直线以，为切点．该解法避免了对点是否为切点的讨论，简化了解题．
例2 若曲线在点处的切线平行于，求此切线的方程．
解：设切点，∵，
∴切线的斜率为．
解得或，即，或．
故所求切线方程为或，即或．
评析：利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点，代入切线方程中，解出所求切线的方程．
例3 求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设切点为，
　　∵，∴切线的斜率为．
设此切线的方程为，过点，
　　所以．①
点在曲线上，故．②
由①②，解得．
故所求直线的方程为，
即．
评析：点在曲线外，用此法解避免了对点位置的判断．

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