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浅谈中学数学的解题教学
南县立达中学 刘 康
摘要：本文主要介绍了数学教学的培养方向和数学教学的最终目标，解题教学的重要性和解题需要掌握一般的思考方法和程序。以及解题的主要因素有数学基础知识、解数学题的方法、数学的思维方法、解题的经验、逻辑知识、解题的思维品质和对数学的兴趣，以及语文水平，社会生活知识和其他学科知识等。
关键词：数学教学 解题教学的重要性 解题方法和程序
Abstract: This article mainly introduced mathematics teaching raise direction and the mathematics teaching ultimate objective, the problem solving teaching importance and the problem solving need to grasp the general ponder method and the procedure.As well as the problem solving primary factor has mathematics elementary knowledge, the solution mathematics problems method, mathematics thought method, the problem solving experience, the logical knowledge, the problem solving thought quality and to mathematics interest, aswell as language proficiency, social life knowledge and other discipline knowledge and so on.
Key word: Mathematics teaching problem solving teaching important problem solving method and procedure
新课标中的数学教学，强调了数学教学的培养方向和数学教学的最终目标，数学教学不是单一的传授知识，是在于要培养学生善于把数学知识应用于解答实际问题的能力，而许多数学问题都是实际问题的抽象模型。
根据我的教学情况，结合新课标中的数学教学的特点，学生的数学学习主要在于如何解题，学会运用数学知识去分析和解决实际问题。
所以，数学教学过程应培养学生要学会运用数学知识去分析和解决实际问题，就应先学会解数学题，波利亚说：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题。”那么在教学中如何进行解题教学呢？
一、解题教学的重要性
首先，讲一讲解题教学的重要性。学习数学和应用数学可以通过解题教学进行联系。因为解题教学是实现教学目的的有力杠杆，此外，测试学生的数学知识水平，评估学生的智力发展水平，以及了解学生的数学能力等，常常以解数学题作为其重要手段和依据。数学的解题教学不仅可以使学生适应各种必要的水平测试，而且可以实现解数学题的根本目的：使学生在学会解题的过程中学好数学的基本知识，发展数学能力，培养科学态度和辩证唯物主义观点。
二、数学题的结构
中学课本上的数学题，它是“以数学教学原则为依据”，“以实现教学目的为方向”，“要求解答者按照一定的要求去完成某种特定的由未知信息向已知信息的转化过程”等，因此，从静态角度考虑，数学题一般由条件和结论两部分组成；但是更合理地从动态角度考虑，数学题是由它的条件、结论、解题方法和解题根据四部分组成，在解题的情境中，如果已知条件，解题方法，解题根据是解题者已知的，而结论未知的，那么称它是标准性题，此外是非标准性题。在标准性与非标准性题中，如果题中的已知条件、结论、解题方法、解题根据四个部分中只有一个是解题者未知的，那么称它是训练性题；如果有两个要素是解题者未知的，则称它是探索性题，如果有三个要素是解题者未知的，则称它是问题性题。数学题的这种相对性还常常体现在具体的数学条件下，把同一题目用于不同的数学目的。
三、数学解题教学的要求
解题和解题教学是一项系统性的工程，解每个题都不是一个独立事件。作用于解题的因素有数学基础知识，解数学题的方法，数学的思维方法，解题的经验，逻辑知识：解题的思维品质和对数学的兴趣，以及语文水平，社会生活知识和其他学科知识等。这些相关因数的重要性的顺序对于不同的人，或对于同一人的目的学习阶段和不同的数学题，都是不同的。解题者由这些因素所引起的解题阻碍也是千差万别的。因此，在解题数学中，要针对学生表现出来的某些因素的缺陷，加强其相应知识的数学和有关能力的培养。
四、解题概述及解题的程序
解题既需要具体情况作具体分析，又需要掌握一般的思考方法和程序。中学数学问题的解答过程，从形式上来说，大体经历如下过程：原题——纯数学问题——标准性题——解答；从思维活动来说，大致进行：观察——联想——转化，这两个过程可以通过解题方案的设计把它们联系起来，根据目前教学模式，从宏观上有如下解题的思考步骤和程序：即
第一步：观察
①要求解（或证明）的问题是什么？它是哪种类型的问题
②已知条件（已知数据、图形、事项与结论部分的联系方式）是什么？
③要求的结论（未知事项）是什么？
④所给的图形或式子有什么特点？能否用一个图形几何的、函数的或示意的或数学式子，对文字题将问题表示出来？能否在图上加上适当的记号？
⑤从已知条件出发，能否挖掘出题中有哪些隐含条件？
第二步：联想
①此题以前见过、做过吗？或以前做过或见过与此类似的问题吗？当时是怎样想的？
②题中的条件、图形是否熟悉？在什么问题中见过？题中所给出的式子、图形与自己熟悉的式子图形有相象的吗？它们之间可能有什么样的联系？
③解这类问题通常有哪些方法？哪种方法可能较方便？试一试如何？
④由已知条件能推得哪些可知事项和条件？要求的未知结论，需要知道哪些条件？
⑤与这个问题有关的基本概念、定理、公理、公式或计算方法等有哪些？
第三步：转化
①能否把题中复杂的式子化简？转换思维角度？数形结合、换元、待定系数等转化思维？
②能否对条件进行划分，把问题化成几个小问题？
③能否把问题或被化为的小问题化归为基本命题？或构造成特定的基本知识？
④能否进行变量替换、恒等变换或几何变换，把问题的形式变得较为明显些？
⑤能否数形互化？利用几何方法去解代数问题：利用代数（解析）方法来解几何问题？
⑥利用逆否命题、同一法则、分断式命题或其他方法，可否把问题转化为一个较为熟悉的等价问题？
⑦最终目标：利用成功的解题经验，实现把未知转化为已知的。
例：已知关于x的一元二次方程（m为实数）的两实数根的倒数和为S，求S的取值范围。
这是一道代数综合题，已知条件有：方程是一元二次方程，方程有两个实数根，两个实数根的倒数和等于S，结论是S的取值范围。从本题的已知条件与结论可联想到所要的数学的知识点有：一元二次方程的定义，方程的判别式方程的根与系数的关系，分式的加减运算，不等式的解法等。
分析：①由方程是一元二次方程，则隐含条件，即二次项系数不为0；
②由方程有两个实数根，则隐含条件，判别式大于或等于0，且两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；
③由S等于两根的倒数和，则隐含，所以本题包含有多个基本知识点，且强调了相互之间的联系，这体现了解题教学几个基本环节。
解：由已知条件得


∴ 且且
从上题的分析、解题过程来看，数学解题的教学的原则，根据解题所涉及的各种因素，解题教学首先要搞好数学基础知识的教学帮助学生搞好解题的基础；其次，要在解题教学中逐步教会学生解题所需的各种数学方法；第三明确解题的思想原则和策略；第四，要适当教给各类题的“解题定式”，以提高学生的解题效率。例如，解一元二次方程，一般可直接运用求根公式这个定义去解。
此外，解题教学中要教会学生掌握一般的思考步骤和程序；要在掌握宏观的解题思考的基础上，教会学生灵活多变地创造性地进行各种特殊的解题思考，特别是回顾一个题的解题过程后，会在反思中产生特殊的思考，得出新的发现；同时逐步教会学生设计解题方案；还要善于及时发现和帮助学生克服各种困难和错误，有时还要在解题教学中采取必要的预防措施。

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