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抽象函数的奇偶性
【例1】设函数的定义域为，给出下列四个命题：
①　若为偶函数，则的图像关于轴对称；
②　若为偶函数，则的图像关于直线对称；
③　若，则的图像关于直线对称；
④　和的图像关于直线对称．
其中，正确命题的序号是 ② ④ ．
〖解析〗对于③，令，由得，则函数是偶函数；
对于④，因为函数与的图像关于轴对称，且函数的图像向右平移2个单位得函数的图像，函数的图像向右平移2个单位得函数的图像，所以函数与的图像关于直线对称（对称轴也右平移2个单位）。
【例2】〖2007郑州一模〗对于定义域在上的函数，有下述四个命题：
①　若是奇函数，则的图像关于点对称；
②　若对任意，有，则函数的图像关于直线对称；
③　若函数的图像关于直线对称，则为偶函数；
④　函数与函数的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为 ① ③ （把你认为正确命题的序号都填上）．
〖解析〗对于④，因为函数与的图像关于轴对称，且函数的图像向左平移1个单位得函数的图像，函数的图像向右平移1个单位得函数的图像，所以函数与的图像关于轴对称（对称轴不变）。
〖练习〗（ⅰ）义域在上的函数满足，且函数为奇函数，给出下列命题：
①函数的最小正周期是；
②函数的图像关于点对称；
③函数的图像关于轴对称；
其中正确命题的序号为 （把你认为正确命题的序号都填上）．
（ⅱ）已知函数在上同时满足条件：①对任意都有；②当时，．则函数在上（　　）．
Ａ．是奇函数且是减函数　　　　　　　　　　　Ｂ．是奇函数且是增函数
Ｃ．是奇函数且不具有单调性　　　　　　　　　Ｄ．是偶函数且不具有单调性
〖解析一〗　不妨取．
〖解析二〗 因为对任意都有，从而可令，得；再令，得，所以函数在上是奇函数；

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