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北师大版九年级(上) 第一章：证明(二)
等腰三角形：
①、等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②、有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
③、三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
如图，在中，,则有：
AD是BC边上的高.
(三线合一) AD是BC边的中线.
A D AD是顶角()的平分线.
④、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形：
①、锐角互余：.
②、勾股定理：.
直角三角形证明方法：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
③、面积：两条直角边相乘再除以2，即：.
④、等面积法求斜边上的高：
如图，在中，,则有：
，

⑤、直角三角形全等判定定理：斜边和一边直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这个定理简称“HL”，H指斜边，L指直角边，也就是说，在直角三角形中，如果两条斜边对应相等，其中一条直角边也对应相等，那么这两个直角三角形全等。
⑥、角定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图，在中，,则
⑦、斜边中线定理：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
如图，在中，，D为斜边AC的中点，
则CD为斜边AB的中线，
则有 ，即：
则和都是等腰三角形.
⑧、扩展知识：
如图，在中，，，则有：
(1)、
(2)、
(3)、
对 (1)、证明：在和中，有
(公共角)


同理可证 (2)、、(3)、成立。

线段垂直平分线： ①、
MN是线段AB的垂直平分线
②、 (垂直、平分两重要条件缺一不可)
重要定理：线段垂直平分线上的点
到线段的两个端点的距离相等。
PA=PB
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点
在这条线段的垂直平分线上。

角平分线：重要定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
如图，,则有：
另外，还有：
这个定理的作用：用来证明线段相等。
逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的话，在这角的平分线上。
[证明角平分线有两种方法：①、证明角相等，②、根据逆定理证明(常用)]
三角形三边垂直平分线、三角平分线交点：
①、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
②、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

如图，P是三条边的垂直平分线的交点， 如图，P是三个角平分线的交点，
则有：(点到点距离相等). 则有：(点到边距离相等).
角度公式： 角度公式：
P点叫的“外心”. P点叫的“内心”.

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