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【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）
1.特殊数题(1)21－12
　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
　　
　　若十位数字的和满10，进1。如
　　
　　证明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62
　　
　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
　　
(9)36×15
　　乘数是15的两位数相乘。
　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15
　　
(10)125×101
　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因为348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
　　原式＝8500－85＝8415
　　　　　
　　不难看出这类题的积：
　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
　　　
　　如果被乘数的个位数是1，例如
　　31×999
　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　这是一道颇为繁复的计算题。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　
　
　
　
　
　　仔细分析这个算式：
　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
　　除数末位是9，都可用此法计算。
　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
　　1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
　　例1 1137＋5044－3169
　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
　　
　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
　　例3 51.9×1.51
　　整体思考。
　　因为 51.9≈50，
　　而50×1.51≈50×1.5＝75，
　　又51.9＞50，1.51＞1.5，
　　所以51.9×1.51＞75。
　　另外9×1＝9，
　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
　　例4 3279÷79
　　把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
　　例如，6403＋232＋1578
　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
　　和大于每一个加数；
　　两个真分数(或纯小数)的和小于2；
　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；
　　
　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
　　
　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
　　差总是小于被减数；
　　整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
　　
　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；
　　
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；
　　
　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，
　　
　　
　　A＜AB＜B。
　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
　　若除数＜1，则商＞被除数；
　　若除数＞1，则商＜被除数；
　　若被除数＞除数，则商＞1；
　　若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
　　例如，451×7103
　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
　　例如，147342÷27
　　14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
　　例如，30226÷238
　　302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
　　12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
　　例1 3.34＋12.96＋6.66
　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)
　　
　　＝12.96＋10＝22.96
　　＝3－3＝0
　　例3 15.74－(8.52＋3.74)
　　＝15.74－3.74－8.52
　　＝12－8.52＝3.48
　　例4 1600÷(400÷7)
　　＝1600÷400×7
　　＝4×7
　　 ＝28
4.提取式
　　根据乘法分配律，可逆联想。
　　
　　＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
　　＝4
　　
5.合乘式
　　
　　　　 ＝87.5×10×1＝875
　　　　 ＝8－7＝1
　　
6.扩 缩 式
　　例1 1.6×16＋0.4×36
　　　　
　　　　＝0.4×(64＋36)
　　　　＝0.4×100＝40
　　例2 16×45
　　　　
　　
7.分 解 式
　　例如，14×72＋42×76
　　＝14×3×24＋42×76
　　＝42×(24＋76)
　　＝42×100＝4200
8.约 分 式
　　 　
　　　　＝3×7×2＝42
　　例2 169÷4÷7×28÷13
　　　　
　　 　
　　　　
　　 　
　　　　
　　 　
　　　　
　 　　　
　　
　　
　 　=1988
　　例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除
9.拆 分 式
　　

10.拆 积 式
　　例如，32×1.25×25
　　＝ 8×1.25×(4×25)
　　＝10×100＝1000
11.换 和 式
　　例1 0.1257×8
　　　　＝(0.125＋0.0007)×8
　　　　＝1＋0.0056＝1.0056
　　
　　
　　例4 8.37－5.68
　　　　＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
　　　　＝8.69－6＝2.69

12.换 差 式
　　
　　
　　
　　　
13.换 乘 式
　　例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
　　　　＝(123＋678)×3
　　　　＝801×3＝2403
　　例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
　　　　＝6.72×(4×25)＝672
　　例3 45000÷8÷125
　　　　＝45000÷(8×125)
　　　　＝45000÷1000＝45
　　例4 9.728÷3.2÷25
　　　　＝9.728÷(0.8×4×25)
　　　　＝9.728÷80
　　　　＝0.9728÷8＝0.1216
　　例5 33333×33333
　　　　＝11111×99999
　　　　＝11111×(100000－1)
　　　　＝1111100000－11111
　　　　＝1111088889
　　综合应用，例如
　　
　　＝1000＋7＝1007
　　
　　＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)
　　＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
　　＝8×125.25
　　＝8×(125＋0.25)(拆)
　　＝8×125＋8×0.25＝1002
14.换 除 式
　　例如，5600÷(25×7)
　　＝5600÷7÷25
　　＝800÷25＝32
15.直 接 除
　　
17.以乘代加
　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
　　　　＝9×3＝27
　　
　　如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。
　　
18.以乘代减
　　
　　知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。
　　
　　
　　
　　可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘
　　
　　一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
　　例如，25×123678448
　　＝123678448×(100÷4)
　　＝12367844800÷4
　　＝3091961200
21.以减代除
　　
　　＝1986－662＝1324
　　3510÷15
　　
　　＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
　　例如，2.7÷4÷6×24÷27
　　　　
23.以除代除
　　
　　观察其特点，
　　
24.并数凑整
　　例如，372＋499
　　＝372＋500－1＝871
　　56.7－12.8
　　＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
　　例如，476＋302
　　＝476＋300＋2＝778
　　9.42－3.1
　　＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
　　应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
　　
　　
　　例3 8.37-5.68
　　　=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
　　　=8.69-6=2.69
30.凑公因数
　　例如，1992×27.5＋1982×72.5
　　＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
　　＝1992×(27.5＋72.5)-725
　　=199200-725=198475
　　或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
　　……
31.和差积法
　　
　　
32.直接写得数
　　
　　观察整数和分数部分，显然原式=3。
　　
33.变数为式
　　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再组合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
　　
　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍数。
　　最小公分母为
　　13×2×5×7＝910。
37.巧用分解质因数
　　教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。
例1 184×75
　　原式＝2×2×46×3×5×5
　　=46×3×(2×5)2
　　=138×100=13800。
38.“1、1”法
　　一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。
　　为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
　　一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。
　　
40.改变运算顺序
　　例1 650×74÷65
　　　　＝(650÷65)×74
　　　　＝10×74＝740
　　例2 176×98÷49
　　　　＝176×(98÷49)
　　　　＝176×2＝352
　　例3 7÷13×52÷4
　　　　
　　例4 102×99－0.125×99×8
　　　　＝102×99－1×99
　　　　＝99×(l00＋１)
　　　　＝9900＋99＝9999
　　
41.用 数 据
　　熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
　　例1 由37×3＝111
　　知 37×6＝111×2＝222
　　37×15＝37×3×5＝555
　　
　　 　

　
　　例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
　　5、25、125、625。
　　这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
　　例4 特殊分数化小数
　　分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。
　　
　　分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。
　　
　　
　　分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。
　　
　　例5 1～9π
　　1×3.14＝3.14 6×3.14＝18.84
　　2×3.14＝6.28 7×3.14＝21.98
　　3×3.14＝9.42 8×3.14＝25.12
　　4×3.14＝12.56 9×3.14＝28.26
　　5×3.14＝15.7
　　熟记这些数值，可口算。
　　
　　3.14×13=10π+3π=40.82
　　3.14×89=90π-π
　　=282.6-3.14=279.46
　　π×1.58
　　变为整数，三位数前面补0改为四位数，

　　这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。
42.想特殊性
　　
　　仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。
　　
　　 所以可直接得0。
　　例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
　　除数为1，则商就是被除数。
43.想 变 式
　
　
　
44.用 规 律
　　例1 682＋702
　　两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。
　　原式＝68×70×2＋4
　　＝9520＋4＝9524。
　　例2 522－512＝52＋51＝103
　　两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
　　例3 18×19＋20
　　任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
　　原式＝20×19－18＝362。
　　例4 16×17－15×18
　　四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
　　原式＝2。
　　证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
　　则a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
　　＝a2+a-a2-a＋2＝2。
　　例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。
　　ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
　　＝AB×100×CD＋AB×CD
　　＝(CD×100＋CD)×AB
　　＝CDCD×AB
　　如：125×5×1616×78
　　＝125×5×7878×16
　　＝(125×8)×(5×2)×7878
　　＝78780000
　　
　　
45.基础题法
　　在基础题上深化。例如，
　　
　　观察(1)的解题过程，
　　
　　逆用各步的结构特点，
　　
　　
　　
　　
46.巧 归 纳
　　例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
　　1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。
　　有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。

　　由图知
　　1＋2＋3＋2+1＝32，
　　1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
　　不难发现，和为最大加数的平方。显然，
　　5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
　　＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）
1.想 数 码
　　例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
　　思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
　　相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是

　　思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
　　不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
　　例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
　　由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
　　知 1222×1222＞1221×1223
　　例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
　　由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
　　由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
　　甲数是348，乙数是34。
　　例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。

　　由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
　　由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
　　142857×3＝428571。
3.从较大数想起
　　例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
　　思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
　　取6有6＋5；
　　取7有7＋4，7＋5，7＋6；
　　…………………………………………
　　取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
　　共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。
　　思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
　　共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
　　这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
　　思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
　　和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
　　5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积
　　
　　用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
　　
　　交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
　　
　　
5.由得数想
　　例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
　　0，0.5，1，1.5，2。
　　从得数出发，想：
　　两个相同数的差，等于0；
　　一个数加上或减去0，仍等于这个数；
　　一个因数是0，积就等于0；
　　0除以一个数(不是0)，商等于0；
　　两个相同数的商为1；
　　1除以0.5，商等于2；……
　　解法很多，只举几种：
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
　　0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0
　　(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
　　0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
　　(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
　　(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
　　0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
　　(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
　　(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
　　0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
　　0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
　　[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均数
　　
　　思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
　　
　　知这三个数是14、15、16。
　　
　　二、一个数分别为
　　
　　16－1＝15，
　　15－1＝14 或 16－2＝14。
　　若先求第一个数，则
　　
　　思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
　　
　　知是15、16。
　　思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
　　若先求第三个数，则
　　2÷(8－7)×8＝16。　
7.想奇偶数
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
　　你还能想出不同的添法吗？
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
　为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
　“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为
　12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
　［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
　要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
　　同理得
　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　为了减少计算。应注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
　　(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
　　例2 求59～199的奇数和。
　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
　　1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
　　奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
　　例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
　　知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
　　所求为 10000－841＝9159。
　　或者 59＝30×2－1，302＝900，
　　10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
你还能想出不同的添法吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　为了减少计算。应注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
　　(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？
　
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。
9.想 份 数









　　


10.巧用分解质因数
　　例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
　　144＝24×32
　　＝(22×3)×[(2×3)×2]
　　＝(4×3)×(6×2)
　　可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
　　例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
　　4896＝25×32×17
　　＝24×17×(2×32)
　　＝16×17×18
　　
　　1728＝26×33＝(22×3)3＝123
　　385＝5×7×11
　　
　　例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
　　1992＝2×2×2×3×83
　　2＋3＋83＝88
　　例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
　　1620＝22×34×5
　　＝(32×22)×(32×5)
　　甲数是45，乙数是36。
　　例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
　　八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
　　每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
　　
例7 600有多少个约数？
　　600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
　　＝23×3×52
　　只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：
　　2、22、23；
　　3；
　　5、52；
　　2×3、22×3、23×3；
　　2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；
　　3×5、3×52；
　　2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
　　不含2×3×5的因数的数只有1。
　　这八种情况约数的个数为；
　　3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。
　　不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
17.想 法 则
　　用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。
　　 子比分母少16。求这个分数？
　　由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知
　　分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。
　　
18.想 公 式
　　
　　
　　
　　证明方法：
　　
　　以分母a，要加(或减)的数为
　　
　　(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。
　　
　　
　　
19.想 性 质
　　例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个 多少倍？
　　
　　
　　
　　200÷16＝12.5(倍)。
　　例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。
　　由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。
　　由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。
　　满足题意的三个分数是
　　
　　
　　 　
　　(二)第400个分数是几分之几？
　　此题特点：
　
　　(2)每组分子的排列：
　　
　　假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。
　　(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系
　　分母：1、2、3、4、5、……
　　分数个数：1、3、5、7、9、……
　　(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
　　例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
　　 10×2－1－6=13(个)位置上。
　　
　　 分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。
　　或者102=100， 100－12=88。
　　100－6＝94， 88＋6＝94。
　　问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。
　　第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即
　　若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。
　　
　　逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？
　　352－(35×2－1)＋1
　　＝1225－69＋1＝1157。
　　排在1157－1225个的位置上。
20.由规则想
　　例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
　　例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……
　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？
　　先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。
　　(1989－4)÷6＝330……5
　　最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。
21.用 规 律
　　例1 第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
　　(1)2 2 2 2 2＝0
　　(2)2 2 2 2 2＝1
　　……
　　(10)2 2 2 2 2＝9
　　解这类题的规律是：
　　先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：
　　2－2＝0，2÷2＝1；
　　再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……
　　每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：
　　2÷2＋2÷2－2＝0
　　2÷2×2－2÷2＝1
　　2－2＋2÷2×2＝2
　　2×2＋2÷2－2＝3
　　2×2×2－2－2＝4
　　2－2÷2＋2×2＝5
　　2＋2－2＋2×2＝6
　　2×2×2－2÷2＝7
　　2÷2×2×2×2＝8
　　2÷2＋2×2×2＝9
　　例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数
　　2＋1×9＝
　　3＋12×9＝
　　4＋123×9＝
　　5＋1234×9＝
　　6＋12345×9＝
　　得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：
　　第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
　　7＋123456×9=1111111
　　8＋1234567×9=11111111
　　9＋12345678×9＝111111111
　　10＋123456789×9＝1111111111
　　11＋1234567900×9=11111111111
　　12＋12345679011×9=111111111111
　　……
　　很自然地想到，可推广为
　　
　　(1)当n=1、2时，等式显然成立。
　　(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时
　　k＋1＋123…k×9
　　=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9
　　=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k
　　=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1
　　
　　根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。
　　例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。
　　(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。
　　　
　　　=(21－1)÷2=10。
22.巧想条件
　　 比5小，分母是13的最简分数有多少个。
　　 7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。
　　例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。
　　看结果，想条件，知都是可用的。
　　4×(1＋2＋3)＝24
　　(5＋1＋2)×3＝24
　　6×(3＋2－1)＝24
　　7×3＋1＋2＝24
　　8×3÷(2－1)＝24
　　9×3－1－2＝24
　　10×2＋1＋3＝24
23.想和不变
　　
　　无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。
　　而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。

　　
　　某数为7－6＝1或12－11＝1。
24.想和与差

　　

　
　　算理，原式相当于

　　 求这个分数。
　
25.想差不变

　　
　　分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。
　
　

　　
　　某数为42－35＝7，或48－41＝7。
　　与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，
　　
　　某数为11－6＝5或23－18＝5。
　　
　　分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。
　　

　
26.想差的1/2
　　对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。
　　例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
　　由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是
　　
　　例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？
　　 倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知
　　105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，
　　48÷2＝24。
27.借助加减恒等式
　　 个数。
　
　

　　
　　若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得
　
　
　　这九个分数是
　　

28.计算比较
　　例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？
　　
　　 　
　　……
　　可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商
　　17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11
　　　　　
　　凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。
　　
　　不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。

　　只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。
29.由验算想
　　例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？
　　4848÷202，7575÷505，……
　　3939÷303
　　＝(3030＋909)÷303
　　＝3030÷303＋909÷303
　　＝10＋3＝13
　　备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。
　　若从“除法的验算”推导
　　由3939÷303＝( )，
　　
　　商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。
　　 所以商是12。
30.想 倍 比
　　
　　
　　
　　
　　 　
31.扩 缩 法
　　例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。
　　若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。
　　181－42×4＝13
　　42－13＝29
　　若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。
　　42×5－181＝29，42—29＝13。

　　若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又
　　
　　若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5
　　
　　最佳想法：
　　两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。
　　181÷42＝4余13。
　　另个数可这样求
　　
32.分别假设
　　例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。
　　设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则
　　(1－1×20％)×(1＋x)＝1，
　　
　　正方形边长 2÷25％＝8(米)，
　　面积 8×8＝64(平方米)。
33.变数为式　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再组合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
　　
　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍数。
　　最小公分母为
　　13×2×5×7＝910。
36.巧用分解质因数
　　教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。

例2 184×75
　　原式＝2×2×46×3×5×5
　　=46×3×(2×5)2
　　=138×100=13800。
37.变 式 法
　　
38.推理调整
　　例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8：一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么，这个自然数是多少？
　　由奇数×奇数＝奇数，知这个自然数是两个奇数的乘积。
　　如果其中一个是11，乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此，两奇数都至少是13。
　　所求数只能是13×15＝195。
39.想 顺 推
　　例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，能组成多少个九位数？
　　由“1”，组成1个数；
　　由“1、2”，可组成12、21，2个数；
　　由“1、2、3”，可组成123、132、231、213、312、321，6个数。
　　可见：
　　由两个一位数组成的两位数的个数＝2×1：由三个一位数组成的三位数的个数＝3×2。依此类推

40.想 倒 推
　　倒推是常用的数学思维方法，思考途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。有些题用此法解，能化难为易。
　　例1 一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36得50，求这个数。
　　从最后的差50倒推。减前是50＋36＝86，缩小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是：
　　［(50＋36)× 2－100］÷3＝24。
　　例2 某种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长100万个。问增长到25万个时，需要几小时？
　　由“细菌每小时增长1倍”，知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个)，再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1＋1=2(小时)，所以增长到25万个需
　　10-2=8(小时)
41.推想与推断
　　例如，武汉市武昌区数学竞赛题：3/17的分子和分母同时加上什么数，
　　
　　因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
　　分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是
　　
　　加上的数是35－17＝18或21－3＝18。
42.巧 归 结
　　例如，选择“＋、-、 ×、 ÷、( )”中的符号，把七个5连成算式，得数为 0、1、2、3、…10。
　　5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。
　　此题解法很多，这里只介绍一种。
　　由5÷5＝1，
　　5÷5＋5÷5＝2，
　　5＝5，
　　知问题可变为，怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。
　　1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何数都得0，易得到
　　0＝(5－5＋5－5＋5－5)×5
　　1＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)
　　2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－1
　　3＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－2
　　4＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－2
　　5＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)
　　6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－1
　　7＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋2
　　8＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋1
　　9＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－1
　　10＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1
　　若5的个数是8，则
　　0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－5
　　1＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－5
　　10＝5×2×1
　　＝5×(1＋1)×1
　　＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷5
　　9＝5×2－1
　　＝5×(1＋1)－1
　　＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷5
　　5＝5×(2－1)
　　＝5×2－5×1
　　＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5
　　由5÷5＝1
　　5－(5＋5＋5)÷5＝2
　　5=5
　　知其余各式的讨论，和5的个数为7时相同。即
　　8=5＋2＋1
　　=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷5
　　7＝5×1＋2
　　＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷5
　　6＝5＋2－1
　　＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷5
　　4＝5＋1－2
　　＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
　　3＝5×1－2
　　＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷5
　　2＝5－2－1
　　＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5
　　显然，若5的个数是9，只要在5的个数是7的各式后面加上(5－5)。如
　　10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)若5的个数是7＋2n(n为自然数)，只要在5的个数是7的各式，后面加上n个(5－5)。
　　若5的个数是10，只要在5的个数是8的各式，后面加上一个(5－5)。
　　若5的个数是8＋2n，则只要在5的个数是8的各式，后面加上n个(5－5)。
43.巧 归 类
　　例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。
　　根据逆运算关系，把“加法和减法”、“乘法和除法”归为一类。
　　编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6，先编除法算式更为适宜。
　　(1)12÷3＝4 (2)12÷2＝6
　　12÷4＝3 12÷6＝2
　　(3)10÷2＝5 (4)8÷2＝4 (5)6÷2＝3
　　10÷5＝2 8÷4＝2 6÷3＝2
　　确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。
　　若(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式
　　12÷3＝4 10÷2＝5
　　12÷4=3 10÷5=2
　　4×3=12 5×2=10
　　3×4=12 2×5=10
　　剩的六个数，可组成
　　6＋7=13 8＋1=9
　　7＋6=13 1＋8=9
　　13－6＝7 9－1＝8
　　13－7＝6 9-8=1
　　整理：
　　组合：
　　(1)组可组合算式
　
　　(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。
44.想 联 系
　　 求这二数。
　　由整数除法、分数、比的内在联系想：
　　被除数÷除数＝商(整数)……余数；
　　
45.想 关 系
例1 一个减法式子中，被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2＝38
例2 被减数是7，被减数、减数与差的和是多少？
　　7×2＝14
例3 被除数、除数和商的积是196。求被除数。
　　196＝2×2×7×7
　　＝14×14
　　被除数是14。
　　例1与此例的算理
　　设A－B＝C，那么A＝B＋C。
　　若A＋B＋C＝n，则A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。
　　设A÷B＝C，那么A＝B×C。
　　如果A×B×C＝n，则有A×A＝n。
　　A可用分解质因数法求。
46.想 对 调
　　例如，第八册P94思考题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，写出三个大小相等的分数，每个数字只许用一次。参考书中给出：　
　　这三种和下面的四种答案的分子和分母对调，为14种。　　
　　还能求出12种
47.逻辑思考
　　例如，一个硬币重10克，每10个硬币为一摞，一共有10摞。从表面上看，这10摞硬币都一样，其实里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克，你能只称一次，就把这摞假币找出来吗？
　　从第一摞里取一个硬币，从第二摞里取两个，……从第十摞中取十个。55个放在一起称，如果都是真的，应重10×55＝550(克)。
　　假如称的结果是538克，那就少了12克，每个假币比真币少2克，因而有12÷2＝6(个)，说明6个硬币的第六摞是假的。
　　若称的结果是542克，少了8克，说明第四摞是假的。
48.由特征想
　　例如，哪些自然数的和能被2、4、5、7整除？
　　任何个偶数的和，能被2整除；
　　偶数个奇数的和，能被2整除；
　　任意四个连续自然数，如果首尾两数的和能被5整除，那么这四个数的和也能被5整除；
　　任意四个连续偶数的和，能被4整除；
　　任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和，能被5整除；
　　任意七个连续自然数的和，能被7整除；
　　…………
49.以零求整
　　把题分成有联系而又相对独立的小问题，进而解决所求问题。
　　例如，第五册P20思考题：用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次，且必须用一次)，其中两个数的和等于第三个数。
　　这是三位数加三位数等于四位数，百位上两数相加和为10，其它两位数相加不进位的题。
　　分成小问题：一位数分别相加，其中一组的和为10，再分别找出两个数相加得第三个数。
　　这样分别开来，易找出
　　3＋7＝10，
　　2＋6＝8，
　　4＋5＝9，
　　合起来为324＋765＝1089。
　　或者4＋6＝10，
　　2＋7＝9，
　　3＋5＝8，
　　423＋675＝1098。
　　再分别交换个位、十位上的数字，又可得到多组答案
50.探 索 法
　　就是多方寻求答案，解决疑难。
51.观 察 法
　　数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。
例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。
　　(1)1＋1×8
　　(2)2＋12×8
　　(3)3＋123×8
　　(4)4＋1234×8
　　仔细观察算式间的联系，
　　第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加 89，889，8889，……
　　由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知
　　式(4)为 987＋8889＝9876。
例2 观察
　　不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个
是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。
　　如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3 由11＋1.1＝11×1.1，
　　知其积等于其和。
　　特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。
例4 观察分析
　　
　　…………
　　会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。
　　此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？
　　用反证法证明：
　　若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。
　　则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。
　　若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。
　　同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。
52.猜测与证明
　　美国数学家G?玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”
例1 3×4＝12
　　它的积是由1和2依顺序排列的数。
　　由33×34＝1122
　　333×334＝111222
　　n个 n个 n个 n个
　　为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。
　　证明：
　　令S＝11…1，
　　则S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
　　10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
　　9S＝10S－S＝10n－1，
　　
　　由此得
　　　　　　　　
　　故33…3×33…4＝11…122…2，
　　进而可得33…3×33…5
　　＝33…3×(33…34＋1)
　　＝11…122…2＋33…3
　　＝11…155…5。
例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？
　　智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。
　　如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。
　　这样的数组有：
　　1、2、3 1、2、6 1、2、9
　　1、3、5 1、3、8 1、4、7
　　1、5、6 1、5、9 1、6、8
　　1、8、9 2、3、4 2、3、7
　　2、4、6 2、4、9 2、5、8
　　2、6、7 2、7、9 3、4、5
　　3、8、4 3、5、7 3、6、9
　　4、5、9 4、6、8 5、6、7
　　5、7、9 6、7、8 7、8、9
　　符合题意的全部四位数是，
　　6×27＝162(个)
例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
　　在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。
　　设10个连续自然数为：
　　n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
　　则(n＋8)－n＝8，
　　(n＋9)－(n＋2)＝7。
　　这里 a＝n＋8，
　　b＝n，
　　c＝n＋9，
　　d＝n＋2，
　　或 a＝n＋9，
　　b＝n＋2，
　　c＝n＋8，
　　d＝n。
　　或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
　　(n＋7)－n＝7。
　　这里a＝n＋9，
　　b＝n＋1，
　　c=n＋7，d=n，
　　或 a=n＋7， b=n，
　　c=n＋9，d=n＋1。
例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。
　　证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……
　　当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以
　　
　　＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
　　当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以
　　
　　＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
　　当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以
　　
　　＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3。

　　
　　＝［m1＋(m＋k－1)k］×n。
　　
　　这里m1＝9，(m＋k－1)k＝40，
　　
　　原式＝(9＋40)×8＝392。
53.相似运算
　　例1 在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，任选一个数字，把它与9相乘，得到一个积，把这个积再乘上12345679，答案所有数位上的数字总是和选择的那个数字一样。
　　比如说，选择5，5×9＝45。
　　
　　两边都除以5，
　　12345679×9=11 11 11 11 1。
　　对于任何其它数字，可进行同样的推理。用数字a乘等式两边，
　　12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a
　　＝aaaaaaaaa 。
　　例2 任意选出小于10的三个不同的自然数，如1、6、8。
　　从中任取两个，组成二位数16、18、61、68、81、86。其和为330。
　　1＋6＋8＝15。
　　两位数的和除以一位数的和，
　　设a、b、c表示任意三个不同的小于10的自然数，组成两位数，
　　10a＋b 10a＋c 10b＋a
　　10b＋c 10c＋a 10c＋b
　　其和为 22a＋22b＋22c
　　　＝22(a＋b＋c)
　　遇到类似的运算，可不假思索地写出22。

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