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三角问题的题型与方法
一．复习目标：
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．
2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．
3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、21世纪教育网、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．
5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、21世纪教育网、余切函数图象的形状、
6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
二．考试要求：
1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5．了解正弦函数、余弦函数、21世纪教育网的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。 6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。 7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
（一）三角变换公式的使用特点
1．同角三角函数关系式
(1)理解公式中“同角”的含义．
(2)明确公式成立的条件。
例如，tanα+1=secα，当且仅当≠k
(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是 sinα=tanα·cosα，
cosα=cotα·sinα．它使得“弦”可以用“切”来表示．
(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．
(5)几个常用关系式
①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)
同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式．
②． ③当时，有．
2．诱导公式
(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角．
(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定．
(3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)．
⑷熟记关系式；．
3．两角和与差的三角函数
(1)公式不但要会正用，还要会逆用． (2)公式的变形应用要熟悉．
熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切的和与积的关系．
(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等．
4．倍角公式，半角公式
(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确．
如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1
(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中非常重要的变形方法．
对sin3α，cos3α的公式应记住．
(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正
在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，
5．和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用．
(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．
(3)对下列关系式要熟记：
6．三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
7．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点．
(1)角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以
sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
r为三角形内切圆半径，p为周长之半．
在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．
(4)在△ABC中，熟记并会证明：
∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．
△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列．
8．三角形的面积公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）．
（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB．
（3）△＝＝＝．
（4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R为外接圆半径）
（5）△＝．
（6）△＝；．
（7）△＝r·s．
9．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，
tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝．
10．斜三角形中各元素间的关系:
如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC．
（4）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝a·cosC＋c·cosA，
c＝a·cosB＋c·cosA．
11．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
（1）角与角关系：A+B+C = π，
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b．
（3）边与角关系：
正弦定理 （R为外接圆半径）．
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．
它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．
（4）面积公式：
．
解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
（二）三角函数性质的分析
1．三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同．
2．三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1．
(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
常用的一些函数的值域要熟记．
③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)．
3．三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：
①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．
同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．
同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．
③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．
4．三角函数的奇偶性，单调性
研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．
5．三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．
(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx　 图象的对称中心分别为
∈Z)的直线．
（三）思想方法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
（四）注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如．也要注意题目中所给的各角之间的关系．
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等．
熟悉常数“1”的各种三角代换：
等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
sin α = tan α · cos α ，，等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如，，等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为，再用升次公式；
（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin (x＋φ) （φ∈R）不可能是偶函数”．是否正确．
分析：当时，，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin (x＋φ)是奇函数．
② 函数y = sin (x＋φ)是偶函数．
③ 函数y =cos (x＋φ)是奇函数．
④ 函数y = cos (x＋φ)是偶函数．
7.三角函数的单调性
“21世纪教育网f (x) = tan x，是定义域上的增函数”，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
任取，，显然x1＜x2，但f (x1 )＞0＞f (x2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间上，f (x ) = tan x都是增函数，但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数．
（Ⅱ）范例分析
例1、已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2、已知函数f(x)=tan(sinx)
（1）求f(x)的定义域和值域；
（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间；
（3）判定方程f(x)=tanπ在区间（－π，π）上解的个数。
解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ+(k∈Z)处无定义，
且 （－，）[－,]（－π, π），
∴令sinx=±，则sinx=±
解之得：x=kπ± (k∈Z)
∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}
∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=sinx的值域B满足
（－，）B
∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。
设t=sinx，则当x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0, ∪(,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。
又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,
当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,
当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,
当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）
∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－，），（，单调递减区间为。
（3）由f(x)=tanπ得：
tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z）
sinx=k+(k∈Z)①
又∵－1≤sinx≤1，∴
∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx=
当k=1时，从①得方程sinx= －+
显然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。
说明：本题是正弦函数与21世纪教育网的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。
例3 、已知函数的定义域为，值域为 [ －5，1 ]，求常数a、b的值．
解：∵ ，
．
∵ ，∴ ，∴ ．
当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，
∴ 解得
当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．
∴ 解得
故a、b的值为 或
说明：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．
例4、设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）.
解：(1) ， ， ， 又 的最大值
， ① ， 且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
.
说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例5、已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。
解法一：令sinα+cosα=t，则sinα·cosα=
∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα·cosα+cos2α)
=t·(1－)=1，得：
t3－3t+2=0(t－1)2·(t+2)=0
∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα==0。
∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2α·cos2α=1－2·0=1
sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α·cos2α+cos4α)=1
解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α
∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1
等号当且仅当时成立，
或
∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1
说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinx·cosx=。
（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。
（3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。
例6、设f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,证明：
[ f(x1)+ f(x2)]>f()
证明:tanx1+ tanx2=+=
= ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2
∴2sin(x1+x2)>0,cosx1·cosx2>0,0从而有0∴tan x1+tanx2>=2tan
另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。
左边－右边=[tanx1+tanx2]－tan
= [tanx1－tan+tanx2－tan]
=[tan(x1－)·(1+tanx1·tan)+tan(x2－)·(1+tanx2·tan)]
=tan·(1+tanx1tan－1－tanx2·tan)
=tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan>0
又∵tan和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x10。
综上tantan·(tanx1－tanx2)>0，即[f(x1)+f(x2)]>f()
说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。
例7、如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);
（2）写出函数f(x)的取值范围。
解：（1）∵OE=1，EF=
∴∠EOF=60°
当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)
∴f(α)=S△AOB=[tan(45°+α)－tanα]
==
当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=
∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=
综上得：f(α)=
（2）由（1）得：当α∈[0，]时
f(α)= ∈[,－1]
且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=－1；
当α∈时,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]
且当α=时，f(α) min=－；当α=时，f(α) max=
所以f(x) ∈[,]。
说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。
例8、 已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=+1=+1
化简得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
例9、已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为.
综上所述， ， 值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例10、设二次函数，已知不论为何实数恒有.
求证：；
求证：；
若函数的最大值为8，求的值.
(1) ， ， ， 恒成立. ， ， 即 恒成立.
， 即 .
（2）， ， ， .
（3）由题意可知： ，
①， ② ，
由 ① ，② 可得 b = ,c = 3 .
说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。
例11、已知函数
求函数y的最大值，并求此时x的值.
该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1） ，
；
（2）将函数的图象依次进行如下变换：
① 把函数的图象向左平移，得到函数的图象；
② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数
的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数+的图象；
综上得函数的图象.
说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。
例12、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）.
解：如图，，设，则
，
，
，
，
当，即时，
达到最大值，是锐角，最大时，
也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为米.
说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离AD应使视角达到最大。合理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。
例13、平面直角坐标系有点
求向量和的夹角的余弦用表示的函数；
求的最值.
解：（1），

即
（2） ， 又 ，
， ， .
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
例14、已知：定义在上的减函数，使得对一切实数均成立，求实数的范围.
解：由题意可得 ，
即 ，
又 ，
，
， ，
， 或 .
说明：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域。
（Ⅲ）、强化训练
1．已知x((,0),cosx=,则tan2x = ------------------------------( )
A. B. C. D.
2．在(ABC中，已知A、B、C成等差数列，求 的值.
3．已知函数
求f(x)的最小正周期;
若x([0, ],求f(x)的最大值，最小值.
4、在内，使成立的取值范围为-----------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、函数的大致图象是----------------------（ ）
y y y y
π π π
-π
o π x -π o π x -π o π x -π o π x
-π -π -π
(A) (B) (C) (D)

6、已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是---------------------------------------------------（ ）
(A) y
(B)
(C) 0 1 2 3 x
(D)
7、已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（ ）
A.若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B.若α、β是第二象限，则tanα>tanβ
C.若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D.若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
8、下列命题中正确的是（ ）
A.y=tanx是增函数 B.y=sinx在第一象限是增函数
C.y=－arccosx是奇函数 D.y=sinx的反函数是y=arcsinx
9、函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin2x的图像（ ）
A.向左平移单位 B.向右平移单位
C.向左平移单位 D.向右平移单位
10、要得到函数的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象( )
A. 沿x轴向左平移单位 B. 沿x轴向右平移单位
C. 沿x轴向左平移单位 D. 沿x轴向右平移单位
11、图04是函数y =2 sin (ωx＋φ)（）的图象．则ω、φ的值是（　　　）
A．， B．，
C．， D．，
12、△ABC中，若∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，则cos2A+cos2C的取值范围是______．
13、，，求tan x的值．
14、（1）已知sin(+α)·sin(－α)=, α∈(,π)，求sin4α；
（2）已知?cos(x+)=,π15、某观测站C在城A的南20?西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40?东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
16、△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c顺序成等差数列，且∠A-∠C=120°，求sinA，sinC．
17、如图03，三棱锥P-ABC的底面ABC为等腰三角形，AB = AC = a ，侧棱长均为2a，问BC为何值时，三棱锥P-ABC的体积V最大，最大值是多少？
18、已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有
成立，求△ABC面积S的最大值．
19、（2004年北京春季高考）在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。
（Ⅳ）、参考答案
1. D
2. ，
得 ，
.
3. ，
（1）； (2) ， ， ，
， 此时 ， ， 此时 .
4. C 5.C 6.B.
7、当α，β∈（0，）时，由sinα>sinβ得α>β，此时cosαsinβ得,α<β，此时tanαsinβ得，α<β，此时cosαsinβsin2αcos2βtanβ。故答案选D。
8、y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x∈[－,]的反函数；令f(x)= －arccosx,则f(－x)= － arccos(－x)=arccosx－= －f(x)所以y=－arccosx是奇函数。故答案选C。
9、y=sin2x图像向左平移单位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x图像，向右平移 单位后得y=sin2(x－)=sin(2x－);y=sin2x图象向左平移单位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x－);y=sin2x图像向右平移单位后得：y=sin2(x－)=sin(2x－)=sin(2x+)，故答案选D。
10、分析：我们知道，当a＞0时，把函数y = f (x)的图象沿x轴向右移a个单位，便得到函数y = f (x－a) 的图象，把函数f (x)的图象沿x轴向左平移a个单位，便得到函数
y = f (x＋a) 的图象．本题中与y = 3 sin 2x的对应法则不同，应当把它们变为“y = f (x)与y = f (x＋a)”的形式后，再讨论平移关系．因为我们关心的是对函数
y = 3 sin 2x的图象平移，所以要把变形，变到y = 3 sin (2x＋φ)的形式．
由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x轴向右平移，就得到正弦曲线，即是（这与诱导公式的结论是一致的）．利用这个关系，可以得到：
．
问题成为：把函数y = 3 sin 2x的图象沿x轴进行怎样的平移，可以得到函数 的图象？
如果y = 3 sin 2x = f (x)，那么．可见，把函数y = 3 sin 2x的图象向左移个单位后，可得到函数的图象，即得到函数的图象．因此选A．
说明：这个题目有两点值得注意：一是函数y = f (x)的图象与函数y = f (x＋a)的图象的平移关系（平移方向，平移量）；二是对法则“f ”的理解．只有把两个函数整理成f (x)与f (x＋a)的形式后，才可讨论它们沿x轴的平移问题．例如“把函数y = － tan x的图象沿x轴进行怎样的平移，就可得到函数的图象”的问题．就应该考虑y =－tan x与这两个函数．它们是y = f (x)与的关系．可见，只要把函数y =－tan x的图象沿x轴右移个单位，就能得到函数的图象．
11、分析：图04给我们提供的“信息”是：
（1）点 (0，1 )、在图象上；
（2）函数的最小正周期．
可见：
∵ ，由2sin φ = 1得 ，
由 ，得
∴ ．
由 ，得 ．
满足时，k = 1或k = 2．由此得到，．分析到这里，只否定了B、D．为选出正确答案，关键在于确定及中哪个符合题意．为此，还要仔细地从图04中“挖掘”出有用的“信息”．
注意到，即，因此．这样就排除了．
根据以上分析知，应选C．
说明：因为函数y = A sin (ωx＋φ)是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完全确定A、ω、φ的值．本题虽然给出了ω＞0，的条件，但是仅靠(0，1 )、，两点，能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件（）起了重要作用．
12、分析：因为∠A，∠B，∠C顺序成等差数列，所以2B=∠A+∠C，
∠B=60°，∠A+∠C=120°．
对cos2A+cos2C用降幂变形，得
13、分析与解：跨越了四个象限，如果角x真能落在各象限内，那么tan x值的符号就有正有负．为便于求出tan x的值，不妨先“审查”一下角x的实际范围．
根据正弦曲线和余弦曲线；当时，sin x＜0，cos x＜0，与 矛盾．可见，角x的终边不在第三象限．
当角x在第一象限时，sin x＞0，cos x＞0，这时有，又与矛盾．可 见角x的终边不会位于．
如果．由余弦曲线知：，
由正弦曲线知：，
这时 ，
可见 ．
如果，由正弦曲线及余弦曲线知，，这时，可见．
根据以上分析可以看出：满足的角，根据正切曲线知tan x＜－1．
由 ，等式两端平方得：
即：，
，
整理得：12 tan 2 x＋25 tan x＋12 = 0．
解之得：或 ．
注意到 tan x＜－1
∴ ．
说明：有些三角函数的题目，为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊值”的区分能力，常把已知条件中的区间给“大”．这时往往先要进行“缩小”区间的工作．
14、解 （1）∵α++－α=
∴sin(－α)=cos(+α)
∴sin(+α)·sin(－α)=sin(+α)·cos(+α)
=sin(+2α)= cos2α=
又∵π<2α<2π,cos2α=,∴sin2α= －
∴sin4α=2sin2α·cos2α= －
本题也可以这样解：
sin(+α)·sin(－α)=（sinα+cosα）(cosα－sinα)= cos2α－sin2α=cos2α=
也可以用积化和差公式：
sin(+α)·sin(－α)= (cos2α－cos)= cos2α=
（2）法一:由x+∈(π,2π)知sin(x+)= －
∴cosx=cos(x+－)=cos(x+)·cos+sin(x+)·sin=－= －
由cosx<0可知，sinx= －,tanα=7
∴原式== －
法二：原式=
=
=－cos(2x+)tan(x+)
=[1－2cos2(x+)]tan(x+)
而cos(x+)=,tan(x+)= －，代入得：原式= －
注 三角函数求值，重视与角的关系，如+x与－x互余（广义）,2α=α+β+α－β等。
15、解：根据题意得图02，
其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，
∠CAB=60?．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．
在△CDB中，由余弦定理得：
，
．
．
在△ACD中，由正弦定理得：
．
此人还得走15千米到达A城．
说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
16、解：因为2b=a+c，由正弦定理得
17、分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P在底面上的射影O是△ABC的外心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值．
解：作PO⊥底面ABC，垂足为O．
由PA = PB = PC = 2a，知O为△ABC的外心．
∵ AB = AC = a ，
∴ O落在底面ABC的高AD上．
设∠ABC = θ，连结BO，
则BO为△ABC外接圆的半径．
记BO = R，由正弦定理，有 ，
∵ BD = a cosθ，AD = a sin
．
∴当时，．
此时，．
在研究利用三角公式解决一些有关三角形中的三角函数问题时．常用的公式有：
（1）在△ABC中，A + B + C = π，，，，， ．
（2）正余弦定理及其变式：
如a = 2R sinA ，b2 + c2－a2 =2b c cosA ．
射影定理：a = b cosC + c cosB ．
（3）三角形面积公式：
（其中，r为三角形内切圆半径）．
18、解：由已知条件得
．
即有 ，
又
∴ ．∴
．
所以当A = B时，．
说明：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．
19、分析：本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I）成等比数列
又
在中，由余弦定理得

（II）在中，由正弦定理得
， 。
不等式问题的题型与方法
一．复习目标：
1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；
2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；
3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；
5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．
6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．
二．考试要求：
1．理解不等式的性质及其证明。
2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4．掌握简单不等式的解法。
5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方
程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函
数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式
化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形
→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维
等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的
基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
7．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
8．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问题，40作答。
9．注意事项：
⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
（Ⅱ）范例分析
b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．
分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？
解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)
(2)当1≤y≤3时，
所以当y=1时，xmin=4．
说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式
例2．解关于的不等式：
分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当
。
例3． 己知三个不等式：① ② ③
(1)若同时满足①、②的值也满足③，求m的取值范围；
(2)若满足的③值至少满足①和②中的一个，求m的取值范围。
分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。
解：记①的解集为A，②的解集为B，③的解集为C。
解①得A=（-1，3）；解②得B=
因同时满足①、②的值也满足③，ABC
设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足
因满足③的值至少满足①和②中的一个，因
此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
说明：同时满足①②的x值满足③的充要条件是：③对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-∞，0)和[3，+∞)内，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否则不能对A∩B中的所有x值满足条件．不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．
例4.已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．
分析：回忆二次函数的几种特殊形式．设f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①
顶点式．f(x)=a(x-x)+f(x)(a≠0)．这里(x，f(x))是二次函数的顶点，x=
))、(x，f(x))、(x，f(x))是二次函数图象上的不同三点，则系数a，b，c可由
证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈N．
依题意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．于是有
f(0)＞0，f(1)＞0．
又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，
所以f(0)=axx、f(1)=a·(1-x)(1-x)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．
从而　　 f(0)·f(1)≥1．　　　　　　　　 ①
另一方面，
且由x≠x知等号不同时成立，所以
由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5．
说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．
例5.设等差数列{a}的首项a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．问：它的前多少项的和最大？
分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列．
解:设等差数列{a}的公差为d，由Sm=Sn得
ak≥0，且ak+1＜0．
(k∈N)．
说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)．正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键．
例6．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．
分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．
解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是
解法一(利用基本不等式的性质)
不等式组(Ⅰ)变形得
(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]．
解法二(数形结合)
建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．
解法三(利用方程的思想)
又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而
1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．
说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：
2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．
(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．
例7．( 江苏)己知，
（1）
（2），证明：对任意，的充要条件是；
（3）讨论：对任意，的充要条件。
证明：（1）依题意，对任意，都有
（2）充分性：
必要性：对任意

（3）
即
而当
例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．
分析：由条件a3+b3=2及待证的结论a+b≤2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”．
证法一　 (作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即　　　　　　 (a+b)3≤23．
证法二　 (平均值不等式—综合法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
所以a+b≤2，ab≤1．
说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮．
证法三　 (构造方程)
设a，b为方程x2-mx+n=0的两根．则
因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①
因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以
所以a+b≤2．
由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．
说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点．
证法四　 (恰当的配凑)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，
于是有6≥3ab(a+b)，从而
8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，
所以a+b≤2．(以下略)
即a+b≤2．(以下略)
证法六　 (反证法)
假设a+b＞2，则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．
因为a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．　　　　　　　 ①
另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，
所以ab＜1．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②
于是①与②矛盾，故a+b≤2．(以下略)
说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法．
例9．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相
分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．
证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则
又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故
Δ1=(b+1)2-4ac＜0，
Δ2=(b-1)2-4ac＜0．
所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即
b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．
说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．
例10．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。
由题意得

例11．已知奇函数
知函数
分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题。
令
要使
10 当
30当
综上：
例12．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？
（半个椭圆的面积公式为s=柱体体积为：底面积乘以高，，本题结果均精确到0.1米）
分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。
解：1)建立如图所示直角坐标系，则P（11，4.5）
椭圆方程为：
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得
故隧道拱宽约为33.3米
2)由椭圆方程
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
例13．已知n∈N，n＞1．求证
分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解．
则
说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决．
例14．已知函数
分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。证明（1）再利用二项展开式及基本不等式的证明（2）。
证明：（1）
当且仅当时，上式取等号。
（2）时，结论显然成立
当时，
例15．己知
（1）
（2）
证明：（1）
同理
（2）由二项式定理有
因此
。
（Ⅲ）、强化训练
1．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≤1 B．a<2 C．13． 解关于的不等式＞0
4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
5． 解关于的不等式
6．数列由下列条件确定：
（1）证明：对于,
（2）证明：对于．
7．设P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围．
8．已知数列中，
b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。
Ⅰ）求数列
Ⅱ）设的前n项和为Bn, 试比较。
Ⅲ）设Tn=
（Ⅳ）、参考答案
1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D
2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为13．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为
和比较与及3的大小，定出分类方法。
解：原不等式化为：
当时，由图1知不等式的解集为
当
当
4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．
解(1)　 由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以
(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以
4a+2b+a2-1=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以
(4)由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以
a=0，b=-1．
说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。
5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。
解：设，原不等式化为，在同一坐标系中作出两函数图象
故（1）当
（2）
（3）当时，原不等式的解集为φ
综上所述，当时，解集为）；当时，解集为
时，解集为φ。
6．证明：（1）
（2）当时，
=
7．分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？
解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件
解得log2x＞3或log2x＜-1．
说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．
8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。
略解：Ⅰ）
Ⅱ)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

Ⅲ)Tn= ①
②
①-②得
又
。
函数问题的题型与方法
一．复习目标：
1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
二．考试要求：
1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：
（Ⅰ）函数的概念型问题
函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．
2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．
㈠深化对函数概念的认识
例1．下列函数中，不存在反函数的是　　　　　　　　　　（ ）

分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．
由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．
㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
1．求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字
例2．已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．
解：(1)由0＜x＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到．
2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
（Ⅱ）函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
1．对函数单调性和奇偶性定义的理解
例4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）
A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
2．复合函数的性质
复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．
例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
说明：本题综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确．
3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例6．甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
说明：由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
（二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．
2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换．
在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(1)平移变换
函数y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；
函数y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到．
(2)伸缩变换
函数y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到．
函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上
而得到．
(3)对称变换
函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到．
函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到．
函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．
函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。
函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到．
函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到．
例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
（Ⅳ）函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展．
2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．
3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．
具体要求是：
1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．
2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养．
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力．
4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．
本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用．
难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高．
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．
例9．已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．
函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为 （　　）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．
例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则
f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-+1．
因为|c|＜1，所以f(a)=-+1＞0．
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
例12．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k·3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
（Ⅲ）、强化训练
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )

3．已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数
是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是
A．a≤1 B．a<2 C．14.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为 （ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）
A. f(2)C. f(2)6.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) （ ）
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
7.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，则tanθ的值是 （ ）
A. － B. － C. D.
8.已知等差数列的前n项和为S，且S＝S (p≠q，p、q∈N)，则S＝_________。
9.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
10.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
11. 建造一个容积为8m，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
12．已知函数满足：，，则
。
13．已知为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为________________________。
14．设函数f(x)=lg(ax+2x+1)．
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
15．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
16. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a＝12，S>0，S<0 。
①.求公差d的取值范围；
②.指出S、S、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(1992年全国高考)
P MA H B D C
17. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
18. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC＝2＋，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
19. 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求 实数a的取值范围。
20．已知偶函数f(x)=cos(sinx－sin(x－()+(tan(－2)sinx－sin(的最小值是0，求f(x)的最大值 及此时x的集合．
21．已知，奇函数在上单调．
（Ⅰ）求字母应满足的条件；
（Ⅱ）设，且满足，求证：．
（Ⅴ）、参考答案
1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了的定义域，故选A。
2．先作出f(x,y)=0关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0的图象，又
f(2－x,y)=0即为，即由f(-x,y)=0向右平移2个单位。故选C。
3．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。
若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。
若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为14．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；
5．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；
6．从反面考虑，注意应用特例，选B；
7．设tan＝x (x>0），则＋＝，解出x＝2，再用万能公式，选A；
8．利用是关于n的一次函数，设S＝S＝m，＝x，则（,p）、(,q)、
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0；
9．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]；
10．设高h，由体积解出h＝2，答案：24；
11．设长x，则宽，造价y＝4×120＋4x×80＋×80≥1760，答案：1760。
12．运用条件知：=2，且
==16
13．依题意可知，从而可知，所以有
，又为正整数，取，则
，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。
下面可证时，，从而，所以, 又,所以,所以,综上可得:的最小值为11。
14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解．
解:(1)的定义域是R对一切实数恒成立.
a=0或a＜0不合题意，
所以
故a＞1．即为所求.
(2) 的值域域是R能取遍一切正实数.
a＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；
a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．
所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．
15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。
解：问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则
解得x∈（,）
说明 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
16．分析： ①问利用公式a与S建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S是n的二次函数，将S中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。
解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以
S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－d－3。
② S＝na＋n(n1－1)d＝n(12－2d)＋n(n－1)d
＝[n－(5－)]－[(5－)]
因为d0，故[n－(5－)]最小时，S最大。由－d－3得6(5－)6.5，故正整数n＝6时[n－(5－)]最小，所以S最大。
说明： 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。
本题的另一种思路是寻求a0、a0，即邻项变号：由d0知道aa…a，由S＝13a0得a0，由S＝6(a＋a)0得a0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。
17．分析：异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
P MA H B D C
解：在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋
即当x＝时，MD取最小值为两异面直线的距离。
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。
18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
解： 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋)
设tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A由此容易得到a＝8，b＝4，c＝4＋4。
说明：本题的解答关键是利用“△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决。
19．分析：当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
解：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a0，得a－
所以a的取值范围是a－。
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
在解决不等式()＋()＋a0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝(), t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a－。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”。
20．解：f(x)=cos(sinx－(sinxcos(－cosxsin()+(tan(－2)sinx－sin(
=sin(cosx+(tan(－2)sinx－sin(
因为f(x)是偶函数，所以对任意x(R，都有f(－x)=f(x)，
即sin(cos(－x)+(tan(－2)sin(－x)－sin(=sin(cosx+(tan(－2)sinx－sin(,
即(tan(－2)sinx=0，所以tan(=2
由解得或此时，f(x)=sin((cosx－1).
当sin(=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sin(=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，
当cosx=－1时，f(x)有最大值为,自变量x的集合为{x|x=2k(+(,k(Z}．
21．解：（1）；．，若上是增函数，则恒成立，即若上是减函数，则恒成立，这样的不存在．综上可得：．
（2）（证法一）设，由得，于是有，（1）－（2）得：，化简可得，，，故，即有．
（证法二）假设，不妨设，由（1）可知在
上单调递增，故，
这与已知矛盾，故原假设不成立，即有．
参数取值问题的题型与方法
（Ⅰ）参数取值问题的探讨
一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,
∴a+5>3即>a+2
上式等价于或，解得a<8.
说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<54sinx+即
a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,则t[1,1],
整理得2t24t+4a+>0,( t[1,1])恒成立。
设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即>a2.(下同)
例2．已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于ksinx≤k2sin2x≤1对于任意x∈R恒成立，这又等价于
对于任意x∈R恒成立。
不等式（1）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3)
不等式（2）对任意x∈R恒成立的充要条件是k2k+≥[(sinx)2]max=,
即k≤1或k≥2,-----------(4)
由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
思路1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
解1：当直线垂直于x轴时，可求得；
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ===.
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .

思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.
解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得
（*）
则 令，则，
在（*）中，由判别式可得 ，
从而有 ，所以，
解得.结合得.
综上，.
说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
二、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则的取值范围是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动,本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设与AB的中点P重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC、CD、DA的中点，所以．由于在四个选择支中只有C含有，故选C．
当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．
说明 由本题可见, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．
例5．当x(1,2)时，不等式(x1)2分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,1例6．函数y=(x1)loga6xlog3a+x+1，其中在x[0,1]时函数恒正，求a的范围。
解：排除对数log3a的干扰，选x为“主元”化函数为
y=f(x)=(log32a6 log3a+1)x+1log32a, x∈[0,1].
一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x轴的上方。故有：
说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
例7．对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在[2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<1或x>3.
例8.设f(x)=x22ax+2,当x[1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[1,+)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.
ⅰ)当=4（a1)(a+2)<0时，即2ⅱ）当=4（a1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：
即
得3a2;
综合可得a的取值范围为[3，1]
说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例9．关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
即
解得a8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10.=0,即（4+a）216=0,∴a=0或a=8.
a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合题意；
a=8时，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合题意。
∴a=8.
20. >0,即a<8或a>0时，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<4.
∴a<8
综合可得a8.
三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难。为此，我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。
在几何问题中，有些问题和参数无关，这就构成定值问题，解决这些问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。
解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式手特征选用参数法，配方法，判别式法，应用不等式的性质，以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。
充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题（解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，与圆锥曲线相关的定值问题，最值问题，应用问题和探索性问题）。
研究最值问题是实践的需要，人类在实践活动中往往追求最佳结果，抽象化之成为数学上的最值问题，所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。
解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值，到定直线的距离最值，还有面积最值，斜率最值等，解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。
而一些函数最值，反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。
1．几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决。
2．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数的值域法、函数的单调性法。
例10． 已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
解：设，则由可得：，
解之得： （1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
说明：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
例11．已知，试讨论的值变化时，方程表示的曲线的形状。
解：（1）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线；
（2）当时，方程化为，它表示两条与轴平行的直线；
（3）当时，方程化为，它表示一个单位圆；
（4）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆；
（5）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的椭圆；
（6）当时，方程化为，因为，所以它表示一个焦点在轴上那个的双曲线。
（Ⅱ）、求参数的取值范围在解析几何中的应用
例12．一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？
分析：最优种植安排问题就是要求当非负变量x、y满足条件和时，总利润P达到最大，是线性规划问题。
解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得：
即

此不等式组的解为四边形区域（包括边界），这些解通常就叫做本问题的可行解，并称这个区域为问题的可行解区域。
而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y为二元函数，通常就叫做本问题的目标函数。故所求问题变为：要在此可行解区域内，找出（x，y）点，使目标函数P＝960x+420y的值为最大，这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢？观察目标函数P，我们知道：
当P等于任意常数m时，m＝960x+420y 都是－48/21的直线；
若直线l：m＝960x+420y与可行解区域相交，则对应于此直线的任一可行解，目标函数P的值皆为m；
当直线l：m＝960x+420y 即 y＝－48/21x＋m/400过可行解区域，且纵截距最大时，m有最大值，即目标函数P有最大值。
由图可知，当直线l过B点时，纵截距最大。
解方程组 得交点B（1.5,0.5）
所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。
说明：很多数学应用题都与二元一次不等式组有关，而不等式组的解答往往很多，
在各种解答中，是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢？求此类问题的解答为数学的一个重要分支——线性规划。线性规划是最优化模型中的一个重要内容，它具有适应性强，应用面广，计算技术比较简便的特点，它是现代管理科学的重要基础和手段之一。利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：
根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形，即可行解区域；
设所求的目标函数f（x，y）为m值；
（3）将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f（x，y）＝m在y轴上截距的最大值（最小值）从而得m的最大值（最小值）。
例13．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车。今欲制造40辆甲型车和乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最小？
分析：这是一个如何安排生产才能发挥最佳效率的问题。最优工作时数的安排问题就是A、B两厂生产甲、乙两种不同型号的汽车数不得低于甲型40辆、乙型20辆时，总工时最少。
解：设A厂工作x小时，B厂生产y小时，总工作时数为T小时，则它的目标函数为
T=x＋y 且x＋3y≥40 ，2x+y≥20 ，x≥0 ，y≥0
可行解区域，而符合问题的解答为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为：要在此可行解区域内，找出格子点（x，y），使目标函数T ＝x＋y的值为最小。由图知当直线l：y＝－x＋T过Q点时，纵截距T最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点。
解方程组 得Q（4,12）为格子点，
故A厂工作4小时，B厂工作12小时，可使所费的总工作时数最少。
说明：也可以用凸多边形性质去寻找最佳解，要注意到有时符合题意的解仅限于可行解区域内的格子点，此时如果有端点并非格子点，这些点就不符合题意，不是我们要找的解；如果所有的端点都是格子点，所有的端点全符合题意，我们就可用凸多边形性质去找出最佳解。
符合本题的解仅为可行解区域内的格子点，其可行解区域的端点P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子点，都符合题意，而它们所对应的目标函数值如下表所示：
（x，y）
（40,0）
（4,12）
（0,20）
T
40
16
20
故Q（4,12）即为所要找的点。
例14．私人办学是教育发展的方向。某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表如下（以班级为单位）：
班级学生数
配备教师数
硬件建设（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和环境等条件的限制，办学规模以20至30个班为宜。教师实行聘任制。初中、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排找生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？
解：设初中编制为x个班，高中编制为y个班。
则 （x>0,y>0,x,y∈Z）。
计年利润为s，那么s＝3x+6y-2.4x-4y，即s＝0.6x+2y
作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线0.6x+2xs＝0截距的最大值。过点A作0.6x+2y=0的平行线即可求出s的最大值。
联立得A（18,12）。
将x＝18，y＝12代入s＝0.6x+2y求得Smax＝34.8。
设经过n年可收回投资，则11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n＝33.5。
学校规模初中18个班级，高中12个班级，第一年初中招生6个班300人，高中招生4个班160人。从第三年开始年利润34.8万元，大约经过36年可以收回全部投资。
说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经济效益不明显。
（Ⅲ）、强化训练
1．（南京市质量检测试题） 若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”．依此规定， 能说明，，“线性相关”的实数依次可以取 （写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
2．已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
3．设函数f(x)=2x-12-x-1,xR,若当0时，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求实数m的取值范围。
4．已知关于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。
5．试就的不同取值，讨论方程所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。
6．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力 （工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
7．某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
8．发电厂主控室的表盘，高m米，表盘底边距地面n米。问值班人员坐在什么位
置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为1.2米）
9. 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有50米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？
（Ⅳ）、参考答案
1．分析：本题将高等代数中维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了个平面向量线性相关．在解题过程中，首先应该依据定义，得到，即，于是，所以即则．所以，的值依次可取（是不等于零的任意实数）．
2．分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程



由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
3．分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断f(x)的奇偶性和单调性，不难证明，在R上f(x)是奇函数和增函数，由此解出cos2+2msin<2m+2.
令t=sin,命题转化为不等式t22mt+(2m+1)>0,t∈[0,1]--------------------(*)
恒成立时，求实数m的取值范围。
接下来，设g(t)=t22mt+(2m+1),按对称轴t=m与区间[0，1]的位置关系，分类使g(t)min>0,综合求得m>.
本题也可以用函数思想处理，将（*）化为2m(1t)>(t2+1),t∈[0,1]
⑴当t=1时，m∈R;
⑵当0≤t<1时，2m>h(t)=2[(1t)+],由函数F（u)=u+在（1，1]上是减函数，易知当t=0时，h(x)max=1, ∴m>,综合（1）、（2）知m>。
说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。
4．分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),从而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数
y= x2+20x及一次函数y=8x6a3，则只需考虑这两个
函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点（20，0）此时纵截距为6a3=160,a=;
当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为6a3=0，a=
∴a的范围为[，）。
5．解：（1）当时，方程化为，表示轴。
（2）当时，方程化为，表示轴
（3）当时，方程为标准形式：
①当时，方程化为表示以原点为圆心，为半径的圆。
②当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
③当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
④当时，方程（*）表示焦点在轴上的椭圆，焦点为
⑤当时，方程（*）表示焦点在轴上的双曲线，焦点为
6．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P＝6x+8y
由题意：30x+20y ≤300
5x+10y≤110
x≥0，y≥0
x、y均为整数
画图知直线 y＝－3/4x＋1/8P 过M（4,9）时，纵截距最大，这时P也取最大值Pmax＝6×4＋8×9＝96（百元）
故：当月供应量为：空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元。
7．解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）
则目标函数为S＝0.5x+0.4y
且x，y满足 ： 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ，y≥0
画图可知，直线 y＝－5/4x+5/2S
过A（13/15,14/15）时，纵截距5/2S最小，即S最小。
故每盒盒饭为13/15百克，米食14/15百克时既科学又费用最少。
8．解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米）。本题材料背景:仪表及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的座位，才能避免盲目性。
9.解：假设围栏的边长为x米和玉米，于是由题设可知x＞0，y＞0，且
xy＝144 （1）
2x+y≤50 （2）
双曲线xy＝144在第一象线内的一支与直线2x＋y＝50的交点是A（），B（），满足条件（1）、（2）的解集是在双曲线xy＝144（），这一段上的点集（即如图中双曲线A、B之间的一段），当过双曲线A、B之间上的任一点作一点作直线2x＋y＝k（k＞0）就是相应需用铁丝网的长度，直线2x+y=k（k＞0）与双曲线xy＝144相切。这时，相应的k值最小，消去y得x的二次方程： ，从△＝0得， 即k＝24（米）所需用铁丝网的最短长度为24米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点A的纵坐标给出，即米，利用墙的最短长度由B纵坐标给出，即米。
导数应用的题型与方法
一．复习目标：
1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．
2．熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．
3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
二．考试要求：
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式（c,x (m为有理数)，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
1．导数的常规问题：
（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；
（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；
（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．曲线的切线
在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线与曲线C有惟一公共点M，但我们不能说直线与曲线C相切；而直线尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线是曲线C在点N处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．
5．瞬时速度
在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．
6．导数的定义
导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．
对导数的定义，我们应注意以下三点：
(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)．
(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，有极限，那么函数y=f(x)在点处可导或可微，才能得到f(x)在点处的导数．
(3)如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．
由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量；
(2)求平均变化率；
(3)取极限，得导数。
7．导数的几何意义
函数y=f(x)在点处的导数，就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
(1)求出函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

特别地，如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为
8．和（或差）的导数
对于函数的导数，如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。


我们不难发现，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。
由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就是两个函数的和（或差）的求导法则。
9．积的导数
两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）
说明：
（1）；
（2）若c为常数，则(cu) ′=cu′。
10．商的导数
两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：
设


因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而 即。
说明：（1）； （2）
学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。
11. 导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
㈤函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

（1）恒成立 ∴为上
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）恒成立 ∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
㈥注意事项
1．导数概念的理解．
2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：
（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
（Ⅱ） 范例分析
例1． 在处可导，则
思路： 在处可导，必连续 ∴
∴
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：
（1）； （2）
分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）

（2）

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若为偶函数 令


∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
另证：
∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数
例4．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
解：（1），
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）

。

例5． 求下列函数单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 时
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定义域为

例6．求证下列不等式
（1）
（2）
（3）
证：（1）
∴ 为上 ∴ 恒成立
∴
∴ 在上 ∴ 恒成立
（2）原式 令

∴ ∴
∴
（3）令
∴
∴
例7．利用导数求和：
（1）；
（2）。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；
当x≠1时，
∵，
两边都是关于x的函数，求导得

即
（2）∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
例8．求满足条件的
（1）使为上增函数
（2）使为上……
（3）使为上
解：（1） ∴
时 也成立 ∴
（2） 时 也成立 ∴
（3）
例9．（1）求证
（2） 求证
（1）证：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
（2）令 上式也成立
将各式相加
即
例10． 设，求函数的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
解：.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，
解得.
因此，函数在区间内单调递减.
说明：本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数。如果，则为常数。
例11．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线与的夹角。
分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
解 （1）由方程组

解得 A(-2，0)，B(3，5)
（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，
所以
说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。
例12．设，是上的偶函数。
（I）求的值；
（II）证明在上是增函数。
解：（I）依题意，对一切有，即，
∴对一切成立，
由此得到，，
又∵，∴。
（II）证明：由，得，
当时，有，此时。
∴在上是增函数。
例13．设函数，其中。
（I）解不等式；
（II）证明：当时，函数在区间上是单调函数。
解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。
（II）作差比较（略）。
解2：
（i）当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。
（ii）当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。
解方程，得或，
∵，
∴当且仅当时，，
综上，（I）当时，所给不等式的解集为：；
当时，所给不等式的解集为：。
（II）当且仅当时，函数在区间上时单调函数。
例14． 已知，函数设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①②若，则
解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题得，切线方程中令，得
，其中，
（ⅰ）由，，有，及，
∴，当且仅当时，。
（ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），，
所以。
例15． 已知为正整数.
（Ⅰ）设；
（Ⅱ）设
分析：本题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。
证明：（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴

即对任意
（Ⅲ）、强化训练
1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则等于 （ ）
A． B． C．3 D．2
3．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是 （ ）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
4．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
A．90° B．0° C．锐角 D．钝角
5．函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ）
A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16
6．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为（ ）
A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度
B．时间t时该物体的瞬时速度
C．当时间为△t 时该物体的速度
D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率
7．关于函数，下列说法不正确的是 （ ）
A．在区间（，0）内，为增函数
B．在区间（0，2）内，为减函数
C．在区间（2，）内，为增函数
D．在区间（，0）内，为增函数
8．对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为 （ ）
A． B． C． D．
9．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
10．设f(x)在处可导，下列式子中与相等的是 （ ）
（1）； （2）；
（3） （4）。
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
11．f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2 C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
12．若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切线方程是_____________。
13．设，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。
14．设，则_____________。
15．垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线相切的直线的方程是________．?
16．已知曲线，则_____________。
17．y=x2ex的单调递增区间是
18．曲线在点处的切线方程为____________。
19．P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。
20．在抛物线上依次取两点，它们的横坐标分别为，，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________。
21．曲线在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。
22．在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为。
23．判断函数在x=0处是否可导。
24．求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。
25．求曲线y=xcosx在处的切线方程。
26．已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).
27．已知曲线与。直线l与、都相切，求直线l的方程。
28．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
29．求曲线在点处的切线方程。
30．求证方程在区间内有且仅有一个实根
31． 、、、均为正数 且
求证：
32．（1）求函数在x=1处的导数；
（2）求函数（a、b为常数）的导数。

33．证明：如果函数y=f(x)在点处可导，那么函数y=f(x)在点处连续。
34． 已知函数，设，记曲线在点处的切线为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，证明：①；②若，则。
（Ⅳ）、参考答案
1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 11 B
12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1)
14．-6 15．3x+y+6=0 16．
17．(-∞,-2)与(0,+ ∞) 18．
19．2x-y-1=0 20．（2，4）
21．由导数定义求得，
令，则x=±1。
当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；
当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。
22．由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有
解得或， 由，得；
由，得； 则P（-1，1）或。
23．，
，
∵，
∴不存在。
∴函数f(x)在x=0处不可导。
24．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为。
由
，
得所求直线方程为
。
由点（2，0）在直线上，得，
再由在曲线上，得，
联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。
25．Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx
，切点为，
∴切线方程为： 即。
26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) ∴ =2x+a =2x+c ∴a=c ③ 又知52+5a+b=30 ∴5a+b=5 ④  由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5， d=－g(4)=42+2×4－=23
27．解：设l与相切于点，与相切于。对，则与相切于点P的切线方程为，即。 ①
对，则与相切于点Q的切线方程为 ，即。 ②
∵ 两切线重合，∴，
解得或，
∴直线方程为y=0或y=4x-4。
28．解：
∴

令x=1得

29．解：，则
。
∴切线方程为 即5x+32y-7=0。
30解：
在
∴ 在内与轴有且仅有一个交点
∴ 方程 在内仅有一解
31．证：由对称性不妨设
（1）若 显然成立
（2）若 设
∴
∵ ∴ ∴ 时
∴ ∴
32．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。
解（1） ，
， ∴。
（2）
，
。

∴y′=2x+a
说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。
33．分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点处连续，必须证明，由于函数f(x)在点处可导，因此根据函数在点处可导的定义，逐步实现这个转化。
已知： 求证：
证明：考虑，令，则，等价于△x→0，于是

∴函数f(x)在点处连续。
说明：函数f(x)在点处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。
34．解：（1）的导数，由此得切线的方程
，
（2）依题意，在切线方程中令，得，
（ⅰ），
∴，当且仅当时取等成立。
（ⅱ）若，则，，且由（ⅰ），
所以。
数列问题的题型与方法
一．复习目标：
能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；
2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二．考试要求：
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证都成立。
3.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
5．注意事项：
⑴证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
⑷注意一些特殊数列的求和方法。
⑸注意与之间关系的转化。如：
=，=．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
（Ⅱ）范例分析
例1．已知数列{a}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S．
(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a}的公差d≠0，所以
Kpp是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d．
例2．已知数列中，是其前项和，并且，
⑴设数列，求证：数列是等比数列；
⑵设数列，求证：数列是等差数列；
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ①
已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ②
由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．
当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{a}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b}的通项b=a-ka(n∈N)，数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。
解：因为{a}是首项a＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
a=a·q，a=a·q．
所以 b=a-ka=a(q-k·q)．
T=b+b+…+b=(a+a+…+a)(q-k·q)=S(q-kq)．
依题意，由T＞kS，得S(q-kq)＞kS， ①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a1＞0，知a＞0，所以S＞0；
当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以S=
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S＞0总成立．
由①式可得q-kq＞k ②，
例4．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，
第n年投入800×（1－）n－1万元
所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1万元
bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］
(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0?
设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0?∴x＜，x＞1（舍)?即（）n＜，n≥5.?
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数，数列是首项为，公比为的等比数列，记，
求证：当时，对任意自然数都有=
解：。
记①
②
①+②得③
说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定是等差数列，等比数列。
解法一：设等差数列{a}的首项a=a，公差为d，则其通项为
根据等比数列的定义知S≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法)
解法二：
依题意，得
例7．设二次方程x-+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用表示a；
例8．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。
⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。
解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。
，
=
（3），
T中最大数.
设公差为，则，由此得
说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。
例9．数列中，且满足
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，
时，
故
（3）
若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7。
即存在最大整数使对任意，均有
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y轴的正半轴上依次有点其中点，且，在射线上依次有点点的坐标为（3，3），且
⑴用含的式子表示；
⑵用含的式子表示的坐标；
⑶求四边形面积的最大值。
解：（1），
（2）由（1）得
的坐标，
是以为首项，为公差的等差数列
（3）连接，设四边形的面积为，则
单调递减.
的最大值为.
说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比，为等差，（3）利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{a}为一等比数列，且a=4，a=16．
说明：试题涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．
（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．
（Ⅱ）设数列的前项和为，试比较与的大小．
解：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得
，故是以为公比的等比数列；
（2），故只要比较与的大小．
方法（一），
当时，； 当时；
当时，．
方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有,
则当时,.
a)，…
是公差为-1的等差数列，又2a-a，2a-a，…，2a-a，…
(1)求数列{a}的通项公式；
(2)计算(a+a+…+a)．
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a的方程组．
解：(1)设b=log(3a-a)，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log
3a-a＝2 ①
设c=2a-a，{c}是等比数列，公比为q，|q|＜1，
c=2a-a=
例14．等比数列{a}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为S，自然数b，c，d，e满足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：S·S＜S·S．
分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
(证明不等式首选方法是差比较法，即作差—变形—判定符号，变形要有利于判定符号．)
be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又
同理
(要比较S·S与S·S的大小，只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法．)
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)．
(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e，寻求变形的途径，c=b+e-d，d、e出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等变形只有目标明确，变形才能有方向．)
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因为q＞0．所以q-d＞0．
(运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=qx是减函数，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0；
②当q＞1时，y=qx是增函数，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0．
所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有S·S＜S·S．
说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力．
例15．（北京高考）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则
所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
例16．（2004年北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：
4
7
（）
（）
（）
……
……
7
12
（）
（）
（）
……
……
（）
（）
（）
（）
（）
……
……
（）
（）
（）
（）
（）
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。
（I）写出的值；（II）写出的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为，公差为的等差数列，因此
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
，从而
可见N在该等差数阵中。
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
（Ⅲ）、强化训练
1．设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
（ ）
A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71
2．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于． （ ）
A．5 B．6C．7 D．8
3．若数列中，，且，则数列的通项．
4．设在等比数列中，求及
5．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
⑵
⑶
6．数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式
7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为
求证
（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
8．（2002年春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段的中点，…。
（I）写出与、之间的关系式（≥3）
（II）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
9．(94年全国理)设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项；?(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；?
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
（Ⅳ）、参考答案
1．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
2．解：依题意知．数列单调递减，公差d＜0．因为
S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0
即 a4+a11=…=a7+a8=0，
故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用．
3．解：多次运用迭代，可得
4．解：，又，由以上二式得
或；由此得或.
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。
5．解：（1），，
（2）=
又解：由题意，对一切自然数成立，
（3）是首项为
公比为的等比数列，
说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。
6．解：由可得当时，，，，，是公比为的等比数列. 又当时，，，。
说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化。
7．（1）证明：由已知可得确定后，表示如下：=
即=80%+16%=+
（2）解：由=+可得：=（）=（）2（）=…=
故有=，若则有即
两边同时取对数可得
故，故使得上式成立的最小为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
8．（I）解：当n≥3时，
（II）解：
.
由此推测。
证法一：因为，且
（n≥2）所以。
证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。
那么当时，
=式仍成立。
根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。
9．解：(1)由题意=an＞0
令n=1时，=S1=a1解得a1=2
令n=2时有==a1+a2?解得a2=6
令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10?
故该数列的前三项为2、6、10.?
(2)解法一：由(1)猜想数列｛an｝有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2(n∈N)?
1°当n=1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.?
2°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2?
由题意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2
由题意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)?
整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0?由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k?
所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2?
这就是说n=k+1时，上述结论成立.?
根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.?
解法二：由题意有，=(n∈N)?整理得Sn=(an+2)2?
由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］?
整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4
即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2,公差d=4，
所以an=a1＋(n-1)d=2+4(n-1)?即通项公式an=4n-2.?
(3)令cn=bn-1,?
则cn===
b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+cn?
=
说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数n的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.
立体几何问题的题型与方法
一．复习目标：
1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．
2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．
3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．
4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．
二．考试要求：
（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。
（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。
（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
（5）会用反证法证明简单的问题。
（6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
（9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
（10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.
1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．
判定两个平面平行的方法：
（1）根据定义——证明两平面没有公共点；
（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；
（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3．两个平面平行的主要性质：
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。
4．空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角
θ∈(0，]，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π]．
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角(－l－(的平面角（记作(）通常有以下几种方法：
(1) 根据定义；
(2) 过棱l上任一点O作棱l的垂面(，设(∩(＝OA，(∩(＝OB，则∠AOB＝((图1)；
(3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面(内一点A，分别作另一个平面(的垂线AB(垂足为B),或棱l的垂线AC(垂足为C)，连结AC，则∠ACB＝( 或∠ACB＝(－((图2)；
(4) 设A为平面(外任一点，AB⊥(，垂足为B，AC⊥(，垂足为C，则∠BAC＝(或∠BAC＝(－((图3)；
(5) 利用面积射影定理，设平面(内的平面图形F的面积为S，F在平面(内的射影图形的面积为S(，则cos(＝.
图 1 图 2 图 3
5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．
求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离．
6．棱柱的概念和性质
⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。
⑶须从棱柱的定义出发，根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导，以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。
⑷关于平行六面体，在掌握其所具有的棱柱的一般性质外，还须掌握由其定义导出的一些其特有的性质，如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和应用。还须注意，平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质，恰当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。
⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与《直线、平面、简单几何体》第一部分的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．多面体与旋转体的体积问题是《直线、平面、简单几何体》课程当中相对独立的课题．体积和面积、长度一样，都是度量问题．常用“分割与补形”，算出了这些几何体的体积．
7．欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2.
计算棱数E常见方法：
(1)E＝V+F-2；
(2)E＝各面多边形边数和的一半；
(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半。
8．经纬度及球面距离
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，设球O的地轴为NS，圆O是0°纬线，半圆NAS是0°经线，若某地P是在东经120°，北纬40°，我们可以作出过P的经线NPS交赤道于B，过P的纬线圈圆O1交NAS于A，那么则应有：∠AO1P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（线面角）。
⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长，因此，求两点间的球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。
例如，可以循着如下的程序求A、P两点的球面距离。
线段AP的长 ∠AOP的弧度数 大圆劣弧AP的长
9．球的表面积及体积公式
S球表=4πR2 V球=πR3
⑴球的体积公式可以这样来考虑：我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三角形”；以球心为顶点，以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点，得到若干个小三棱锥，所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数无限增加，且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时，小三棱锥的体积和就变成球体积，同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第n个小三棱锥的体积＝Snhn（Sn为该小三棱锥的底面积,hn为小三棱锥高），所以V球＝S球面·R＝·4πR2·R＝πR3.
⑵在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R，而在实际问题中常给出球的外径（直径）.
⑶球与其它几何体的切接问题，要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。
10．主要题型：
⑴以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。
⑵利用欧拉公式求解多面体顶点个数、面数、棱数。
⑶求球的体积、表面积和球面距离。解题方法：求球面距离一般作出相应的大圆，转化为平面图形求解。
11．注意事项
⑴须明确《直线、平面、简单几何体》中所述的两个平面是指两个不重合的平面。
⑵与“直线与直线平行”、“直线与平面平行”的概念一样“平面与平面平行”是
指“二平面没有公共点”。由此可知，空间两个几何元素（点、直线、平面称为空间三个几何元素）间“没有公共点”时，它们间的关系均称为“互相平行”。要善于运用平面与平面平行的定义所给定的两平面平行的最基本的判定方法和性质。
⑶注意两个平行平面的画法——直观地反映两平面没有公共点，将表示两个平面的平行四边形画成对应边平行。两个平面平行的写法与线、线平行，线、面平行的写法一议，即将“平面平行于平面”，记为“∥”。
⑷空间两个平面的位置关系有且只有“两平面平行”和“两平面相交”两种关系。
⑸在明确“两个平行平面的公垂线”、“两个平行平面的公垂线段”、“两个平行平面的距离”的概念后，应该注意到，两平行平面间的公垂线段有无数条，但其长度都相等——是唯一确定的值，且两平行平面间的公垂线段，是夹在两平行平面间的所有线段中最短的线段，此外还须注意到，两平行平面间的距离可能化为“其中一个平面内的直线到另一个平面的距离”又可转化为“其中一个面内的一个点到另一个平面的距离。
⑹三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos=来求。
⑺有七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。
（Ⅱ）范例分析
例1、⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是 （ ）
A. 或 B. >或 <
C. > D. <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )条.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( ).
A. 30 B. 50 C. 60 D. 90
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.
分析与解答:
⑴ 如图1所示,易知直线上点Ａ在平面上的射影是ι上的点B,过点B作BC⊥b,
则AC⊥b. 在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.显然，AC>BC,
∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故选C.　　　　　　　　　　　　　　　　

⑵如图2所示，过空间一点O分别作∥a,∥b, ι
则所求直线即为过点O且与都成60角的直线。
∵=110，∴∴将两对对顶角的平分线绕　　　　　　　　　图１
O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成
60角的直线。故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条，
70.从而选 D. O
⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与
a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 图2
所成角都为60，如图3示，如果或 　　　　　　　　　　
则或，过 O点只有两条直线与 O
都成60角。如果=90，则，那么过点 O有四 　　　　　　　　　　　　　　　
条直线与所成角都为60。如果=60，则， 图 3
此时过点 O有三条直线与所成角都为60。其中一条
正是角的平分线.
⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面.
说明： 本组新题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
例2、如图1，设ABC-ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且

(1)求证：AF⊥AC； (2)求二面角C-AF-B的大小．
分析：先来看第1问，我们“倒过来”分析．如果已经证得AF⊥AC，则注意到因为AB=2AA=2a，ABC-ABC是直三棱柱，从而若设E是AB的中点，就有AE⊥AF，即AF⊥平面ACE．那么，如果我们能够先证明AF⊥平面ACE，则就可以证得AF⊥AC，而这由CE⊥平面AABB立得．
再来看第2问．为计算二面角C-AF-B的大小，我们需要找到二面角C-AF-B的平面角．由前面的分析知，CE⊥平面AABB，而AF⊥AE，所以，若设G是AF与AE的中点，则∠CGE即为二面角C-AF-B的平面角，再计算△CGE各边的长度即可求出所求二面角的大小．
解：(1)如图2，设E是AB的中点，连接CE，EA．由ABC-ABC是直三棱柱，知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC，所以CE⊥AA，
∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；
(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a，
∴， ∴，
∴tan∠CGE=，∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。
说明：假设欲证之结论成立，“倒着”分析的方法是非常有效的方法，往往能够帮助我们迅速地找到解题的思路．《直线、平面、简单几何体》关于平行与垂直的问题都可以使用这种分析方法．但需要注意的是，证明的过程必须是“正方向”的，防止在证明过程中用到欲证之结论，从而形成“循环论证”的逻辑错误．
例3、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面(、(之间，AB与(成45o角，与(成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
以CD为轴，将平 以AB为轴，将平
面BCD旋转至与 面ABD旋转至与
平面ACD共面 平面ABC共面
图 1 图 2 图 3
解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1)，连结DF，则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．
为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1，EF＝，BF＝＝．在移出图3中，
∵ cosB＝＝,
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ( BF ( cosB
＝()2＋()2 －2( ( ( ＝．
（注：其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF，∴ AB⊥平面DEF，∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面(，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高，于是由BC ( DF＝CD ( BD可直接求得DF的长．）
在△DEF中，由余弦定理：
cos∠DEF＝＝＝.
∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE ( CH ( cos( (*)
（注：这里的(是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜( o≤90o，( 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜( ＜180o，异面直线所成的角为180o－( .）
∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，
从而算得 cos(＝， ∴ (＝arccos.
说明：(1)解空间图形的计算问题，首先要解决定位问题（其中最基本的是确定点在直线、点在平面上的射影），其次才是定量问题．画空间图形的“平面移出图”是解决定位难的有效方法，必须熟练掌握．
(2) 解法２具有普遍意义，特别是公式(*)，常可达到简化运算的目的．
例4、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，
D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，
求二面角D－AC1－C的大小．
解：由已知，直三棱柱的侧面均为正方形， 图 7
∵ ∠ADC1＝90o，即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC， 图1
∴ D为BC的中点．
过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1，
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF，则CF⊥AC1．
连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝，CF＝.
∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin.
∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin.
例5、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为锐角θ，问能否确定θ使直线MN是异
面直线AB与PC的公垂线？若能，求出相应θ的值；若不能，说明理由.
解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是
以PC为斜边的直角三角形，，又M为AB的中点，
∴MN⊥AB.
（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA为所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.
设AB=a，PA=b，AD=d，则，
设PM=CM则由N为PC的中点，
∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，∴MN为
PC与AB的公垂线，这时PA=AD，∴θ=45°。
例6、 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积
为从而只要算出四棱锥的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA，
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，
∠PAB=60°.
而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a,
.
（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形.
作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，
是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.
设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

在
故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.
说明：本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.
例7、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.
（1）求证：AB1⊥平面CED；
（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1—AC—B的平面角.
解:（1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1，
∴AB1⊥平面CDE；
（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1,
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；
（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴,
∴ , ∴.
说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.
例8、 如图，在三棱锥中，平面，，，D为BC的中点.
（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；
（2）若三棱锥的体积为，且为 钝角，求二面角的平面角的正切值；
（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离.
解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；
（2）设，则
解得 ，所以（舍），.
平面ABC，AB=AC，D为BC的中点
，
则是二面角S—BC—A的平面角.
在中，,
故二面角的正切值为４；
（3）由（2）知，平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,
从而即A到平面SBC的距离为.
例9、如图a—l—是120°的二面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形∠ACB=
求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求二面角D—AC—B的大小；
（3）求异面直线AB、CD所成的角.


解: (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
为二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=
（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,
异面直线AB,CD所成的角为arctan

例10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。
类比性质叙述如下 ：
解：立体几何中相应地性质：
⑴从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离
之比为定值。
⑵从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面
的距离之比为定值。
⑶在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离
之比为定值。
⑷在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变。
⑸在空间，射线上任意一点到平面、、的
距离之比不变。
说明：（2）——（5）还可以有其他的答案。
例11、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）
为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：,
即,
所以母线和底面所成的角为
（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与
AC的交点，则OO1//AB且
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得
R2=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:
一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母
线长为1，则该几何体的体积等于 ．
例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；
（3）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC
为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
（2）平面∥平面SAD
即为二面角D—EF—C的平面角
中
而且
为等腰三角形，
(3)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。

例13、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
解: ∵F、G分别为EB、AB的中点，
∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，
∴FD∥面ABC.
（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.
（3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.
∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求.

例14、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
P、Q分别是线段AD1和BD上的点，
且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ∥平面CDDC；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.
解：（1）在平面AD内，作PP∥AD与DD交于点P，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q，连结PQ.
∵ , ∴PP1QQ .?
由四边形PQQP为平行四边形, 知PQ∥PQ，而PQ平面CDDC，
所以PQ∥平面CDDC?
（2）AD⊥平面DDCC， ∴AD⊥PQ，?又∵PQ∥PQ， ∴AD⊥PQ.?
（3）由（1）知PQ PQ,
，而棱长CD=1. ∴DQ=. 同理可求得 PD=.
在Rt△PDQ中，应用勾股定理, 立得PQ=
.?
做为本题的深化, 我们提出这样的问题： P, Q分别是BD, 上的动点,试求的最小值, 请应用函数方法计算， 并与如下对照, 可以得到一些启示。
如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
求MN的长；
当为何值时，MN的长最小；
当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。
立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.
例15、如图，
四棱锥的底面是边长为1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，。

（I）求证；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：如图1
图1
底面ABCD是正方形
底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得
（II）解：底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，

又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为

图2 图3
（III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点

面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为

例16、在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．
图① 图②
解: 设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,

.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
用导数的方法，三次函数的最值问题用导数求解最方便，不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关. 类似的问题是：
某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.

（Ⅲ）、强化训练
1．下列命题中错误的是 （ ）
A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
B．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
C．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
D．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设α、β是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，那么α∥β的一个充分条件是（ ）
A．lα，mα，且l∥β，m∥β B．lα，mβ，且l∥m
C．l⊥α，m⊥β，且l∥m D．l∥α，m∥β，且l∥m
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，那么A1E和C1F所成的角是（ ）
A．60° B．arccos C．arcsin D．45°
4．下列四个命题：
（1）如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行；
（2）直线a∥平面α，直线b∥平面α，且a、b都在平面β内，则平面α∥平面β；
（3）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角
必相等或互补；
（4）两个二面角的面分别对应平行时，它们的平面角相等或互补；
其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．从P点出发的三条射线PA、PB、PC两两成60°角，则PC与面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
6. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 （ ）
A. B. C. D.
7.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A. B. C. D.
8．球面上有3个点，其中任意两点的球面积距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为 （ ）
A．4 B．2 C．2 D．
9．正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成
30°的二面角，则此截面面积为 （ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
10．二面角α—a—β的平面角为120°，在面α内，AB⊥a于B，AB=2在平面β内，CD⊥a
于D，CD=3，BD=1，M是棱a上的一个动点，则AM+CM的最小值为 （ ）
A．2 B．2 C． D．2
11．如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图
上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为 （ ）
A．180° B．120° C．60° D．45°
12．如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面
AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与
底面ABCD成30°的二面角，AB=1，
则这个多面体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
13．在三棱锥A—BCD中，P、Q分别是棱AC、BD上的点，连AQ、CQ、BP、DP、PQ，
若三棱锥A—BPQ、B—CPQ、C—DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A—BCD的
体积是 （ ）
A．20 B．28 C．40 D．88
14．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥
15．已知三棱锥中，顶点在底面的射影是三角形的内心，关于这个三棱锥有三个命题：①侧棱；②侧棱两两垂直；③各侧面与底面所成的二面角相等。其中错误的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
16．若一棱台上、下底面面积分别是和，它的中截面面积是，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17．两两相交的三个平面将空间分成___________个部分。
18．正四棱柱的底面边长为，高为，一蚂蚁从顶点出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为_________。
19．正四棱锥的高与底面边长都是1，侧棱与底面所成的角是，则________。
20．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有_________个。
21．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是____________。
22．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_________。
23．三棱锥中，侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别是，那么________。
24．直三棱柱中，，，是上的一点，则到截面的距离等于__________。
25．正四面体中，分别是的中点，那么与平面所成的角的大小为___________。
26．正三棱锥的底面边长为，侧棱，则二面角的大小是______。
27．设棱长为4的平行六面体的体积为，分别是棱
上的点，且，则三棱锥的体积_______。
28．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。其中正确的结论是___________________。（把你认为正确的序号都填上）
29．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
那么这个球面的表面积是 .
30．正三棱锥S—ABC的侧棱长为1，两条侧棱的夹角为45°，过顶点A作一截面交SB于D，交SC于E，则△ADE的周长的最长小值是 .
31．α，β是两个不同的平面，m , n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β； ④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .
32．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且”为真命题的是 （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
33．三棱锥中，，其余棱长均为1。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
34．直二面角中，分别是线段上的点（不包括端点），
且,。
（1）若与平面所成的角为，求的值；
（2）求函数的解析式及定义域、值域。
35. 如图，平面(∩平面(＝MN，
二面角A－MN－B为60o,点A∈(，
　　B∈(，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45o.
AC＝1,
(1) 求点A到平面(的距离；
(2) 求二面角A－BC－M的大小．　 第35题图
36. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，F为BB1上的一点，BF＝BC＝2a，
FB1＝a.
(1) 若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EF⊥FC1；
(2) 若A1B1＝3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小．
37. 如图1，直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠D＝90o，AD＝CD＝a，AB＝2a，
将△ADC沿AC折起，使点D到D(.
(1) 若二面角D(－AC－B为直二面角(图2),求二面角D(－BC－A的大小；
(2) 若二面角D(－AC－B为60o(图3)，求三棱锥D(－ABC的体积．


图1 图2 图3
38.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm，
它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90o,E是AB的
中点．
(1) 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm；
(2) 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小．
39．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，
D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥
P—ABC所成两部分的体积比．
40．已知ABC—A1B1C1为正三棱柱，D是AC
的中点.
（Ⅰ）证明：AB1//平面DBC1；
（Ⅱ）若AB1⊥BC1，BC=2.
①求二面角D—BC1—C的大小；
②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积.
41．在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′
矩形，C′B′⊥AB．
（Ⅰ）求证：平面CA′B⊥平面A′AB B′；
（Ⅱ）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60O，求直线AC′与平面BCC′B′所成角以及三棱锥A—BB′C′的体积．
42、直三棱柱中，，，分别是棱、
上的点，且。
（1）求直三棱柱中的高及的长；
（2）动点在上移动，问在何位置时，的面积才能取得最小值。
43．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数。
（Ⅳ）、参考答案
1-5.CCBBB； 6-10.CCBCC； 11-15.CDCDA； 16.C
17．6,7,8； 18．； 19．； 20．4个； 21．；
22．2或14； 23．7 ； 24． ； 25．；26．；
27．； 28．（2）（3）（4）（5）； 29. ； 30.
31. ①m⊥n ③n⊥β ④m⊥α②α⊥β（或②α⊥β③n⊥β④m⊥α①m⊥n）
32. ①③④
33．解：（1）取中点，∵与均为正三角形，∴，
∴平面。
（2）当平面时，三棱锥的高为，此时。
34.解：（1）作于，则平面，∴，。
，，由。
（2）函数解析式，定义域，值域.
35. (1)； (2)arctan(提示：求出点A在平面 ( 的射影到直线BC的距离为).
36. (2) arcsin.
37. (1) 45o； (2).
38. (3) arccos.
39．解: (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．
由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．
（2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．
由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．
又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2．则
h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

故截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1
说明：值得注意的是, “截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,不要犯这种“会而不全”的错误.
40．解：（Ⅰ）连结CB1交BC1于O，连结OD
（Ⅱ）①
②
41．（Ⅰ）证明　在三棱柱ABC—A′B′C′中，C′B′//CB，
∵C′B′⊥AB，∴CB⊥AB．
又四边形BCC′B′是矩形，CB⊥B′B，∴CB⊥平面A′AB B′．
而CB平面CA′B ，故平面CA′B⊥平面A′A B B′．
（Ⅱ）解　过A作AH⊥BB′于H，连C′H．
∵CB⊥平A′AB B′，CB平面BC C′B′，
∴平面BCC′B′⊥平面A′AB B′．
∴AH⊥平面BCC′B′．
∴∠AC′H为AC′与平面BCC′B′所成的角．
连结A′B交于A′B于O，由四边形A′ABB′是菱形，ABB′=60O，
可知△ABB′为等边三角形， AB′=AB =4，而H为BB中点，于是AH=2
在Rt△C′B′A中，
AC′=,
在Rt△AH C′中，
故直线AC′与平面BCC′B′所成的角为
又AH⊥平面BCC′B′.
∴点A到平面BCC′的距离即为AH=2.
= ．
42．答案：（1），。
（2）即当与重合时，的面积才能取得最小值。
43．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，
∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,
∵，∴,又，
∴的可能取值为，,,
当或时（1）中无整数解；
当,由（1）得,
∴, ∴，
综上可知:，，.
解析几何问题的题型与方法

一．复习目标：
能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.
2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.
理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.
4．掌握圆的标准方程：（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.
5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.
二．考试要求：
(一)直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。(二)圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。4．了解圆锥曲线的初步应用。
三．教学过程：
（Ⅰ）基础知识详析
高考解析几何试题一般30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。
(一)直线的方程
1.点斜式：；2. 截距式：；
3.两点式：；4. 截距式：；
5.一般式：，其中A、B不同时为0.
(二)两条直线的位置关系
两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.
设直线：=+，直线：=+，则
∥的充要条件是=，且=；⊥的充要条件是=-1.
(三)线性规划问题
1．线性规划问题涉及如下概念：
⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.
⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.
⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.
⑷满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.
⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.
⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解.
2．线性规划问题有以下基本定理：
⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形.
⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.
⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到.
3.线性规划问题一般用图解法.
(四)圆的有关问题
1.圆的标准方程
（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r.
特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为.
2.圆的一般方程
（＞0）称为圆的一般方程，
其圆心坐标为（，），半径为.
当=0时，方程表示一个点（，）；
当＜0时，方程不表示任何图形.
3.圆的参数方程
圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：
（θ为参数）
（θ为参数）
(五)椭圆及其标准方程
椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.
2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(六)椭圆的简单几何性质
椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.
⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
(七)椭圆的参数方程
椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.
说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
(八)双曲线及其标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
(九)双曲线的简单几何性质
1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.
2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.
在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.
(十)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：
、、、.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。
(十一)轨迹方程
⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.
（十二）注意事项
1． ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k存在与否，要分别考虑.
⑵ 直线的截距式是两点式的特例，a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距，因为a≠0，b≠0，所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.
⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.
⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直
⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.
2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在.
⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.
⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：
，其中k是一个不为零的常数.
⑸双曲线的标准方程有两个和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.
（Ⅱ）范例分析
例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。
解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m，∵直线l交x轴于，交y轴于由，得，代入①得所求直线的方程为：
解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，因为l的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行，∴，∴代入②得所求直线l 的方程为
说明：与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式。

例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。
解：直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内，角的21世纪教育网都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。
例3、已知x、y满足约束条件
x≥1，
x-3y≤-4，
3x+5y≤30，
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
解：根据x、y满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分（包括边界）.
作直线：2x-y=0，再作一组平行于的直线：2x-y=t，t∈R.
可知，当在的右下方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＞0，即t＞0，而且直线往右平移时，t随之增大.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当在的左上方时，直线上的点（x，y）满足2x-y＜0，即t＜0，而且直线往左平移时，t随之减小.当直线平移至的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小.
x-3y+4=0，
由 解得点B的坐标为（5，3）；
3x+5y-30=0，
x=1，
由 解得点C的坐标为（1，）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？
解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得
x≤10，
y≤5，
x+y≤11，
48x+56y≥60，
x，y∈N，
且z=350x+400y.
x≤10，
y≤5，
即 x+y≤11，
6x+7y≥55，
x，y∈N，
作出可行域，作直线：350x+400y=0，即7x+8y=0.
作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A（，5），由于点A的坐标不都是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点A（，5）不是最优解.
为求出最优解，必须进行定量分析.
因为，7×+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当通过B点时，z=350×10+400×0=3500元为最小.
答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司所化的成本费最低为3500元.
例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0(1)写出直线的方程；
（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
解: (1 ) 显然, 于是 直线的方程为；
（2）由方程组 解出 、；
（3）, .
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
说明：需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例6、设P是圆M：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值。
解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复数为x+yi，则S点对应的复数为：
(x+yi)·i=-y+xi，即S(-y, x)
∴
其中可以看作是点P到定点B(9, -9)的距离，共最大值为最小值为，则
|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为
例7、 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
，
故，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。

例8、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.（1）求证：;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

解: （1）易求得抛物线的焦点.
若l⊥x轴，则l的方程为.
若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得 .
综上可知 .
（2）设，则CD的垂直平分线的方程为
假设过F，则整理得

，.
这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。
例9、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴，
，点M到椭圆左准线的距离
，∴，∴，∴或，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。
例10、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。
解：（Ⅰ）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又
故a=3， ∴所求的椭圆方程为
（Ⅱ）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2
又设A
由 得
① ②
∵点M坐标为M（0，2） ∴
由∴
∴代入①、②得… ③ ④
由③、④ 得 ∴
∴线段AB所在直线的方程为：。
说明：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。
另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。
例11、已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程 得

化简后，得关于的一元二次方程

于是其判别式
由已知，得△=0．即 ①
在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．
说明：方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例12、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
解：∵（1）原点到直线AB：的距离.
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则


即
故所求k=±.
说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例13、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：
把代入椭圆方程得：，即
，，
∴，此时
令直线的倾角为，则
即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。
例14、已知常数，向量
经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
解：∵=（1，0），=（0，a）， ∴+λ=（λ，a）， －2λ=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点的坐标满足方程.
整理得 ……①
因为所以得：
（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；
（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.
说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。
例15、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。
例16、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，，求直线和椭圆C的方程。
解： 椭圆离心率为，，
所以椭圆方程为，设方程为：，
由消去得

……（1） ……（2）
所以
而
所以
所以……（3）又，， 从而……（4） 由（1）（2）（4）得……（5）
由（3）（5）解得， 适合，
所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为
说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。
例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
解法一：（1）设, 对 由余弦定理, 得
， 解出
（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为………………①
椭圆方程为
由 得 .
于是椭圆方程可转化为 ………………②
将①代入②，消去得 ,
整理为的一元二次方程，得 .
则x1、x2是上述方程的两根．且
，
，
AB边上的高

ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

由①②知S的最大值为 由题意得=12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
解法二：设过左焦点的直线方程为：…………①
椭圆的方程为：
由得：于是椭圆方程可化为：……②
把①代入②并整理得：
于是是上述方程的两根.
,
AB边上的高,
从而

当且仅当m=0取等号，即
由题意知, 于是 .
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

例18、已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ。
解：（Ⅰ）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得

所以

于是， 是公差小于零的等差数列等价于
即
所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。
（Ⅱ）点P的坐标为。。
因为 0〈， 所以
说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。
（Ⅲ）、强化训练
1、已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。
3、求直线l2：7x-y+4=0到l1：x+y-2=0的角平分线的方程。
食物P
食物Q
食物R
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
6
5
4
4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示.
现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？
5、某人有楼房一幢，室内面积共180，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x-6=0，BC：x-2y-8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。
8、已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。
9、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。
11、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.
12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。
13、 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
14、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，
试确定实数的取值范围．
16、 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。
（Ⅳ）、参考答案
1、解：设c为为椭圆半焦距，∵　∴
又 ∴
解得： 选（D）。
说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。
2、解：设B(a, b)，B在直线BT上，∴a-4b+10=0① 又AB中点在直线CM上，∴点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 ∴② 解①、②组成的方程组可得a=10，b=5 ∴B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又 ∴ ∴ ，∴BC所在直线的方程为即2x+9y-65=0
3、解法一：设l2到l1角平分线l的斜率为k，∵k1=-1，k2=7
∴，解之得k=-3或，由图形可知k<0，
∴k=-3，又由解得l1与l2的交点，
由点斜式得 即6x+2y-3=0
解法二：设l2到l1的角为θ，则，所以角θ为锐角，而，由二倍角公式可知 ∴或 为锐角，
∴，∴k=-3等同解法一。
解法三：设l：(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴，由解法一知，∴，代入①化简即得：6x+2y-3=0
解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P(x, y)，则P到l1与l2的距离相等。
∴整理得：6x+2y-3=0与x-3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分线，
k<0，∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y-3=0.
4、分析：由x+y+z=100，得z=100-x-y，所以上述问题可以看作只含x，y两个变量.设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.于是问题就归结为求k在已知条件下的线性规划问题.
解：已知条件可归结为下列不等式组：
x≥0，
y≥0，
x+y≤100，
400x+600y+400（100-x-y）≥44000，
800x+200y+400（100-x-y）≥48000.
x+y≤100，
即 y≥20， ①
2x-y≥40.
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分.
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100-x-y）=2x+y+400.
作直线：2x+y=0，把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小.
2x-y=40， x=30，
由 得 即点E的坐标是（30，20）.
y=20， y=20，
所以，=2×30+20+400=480（元），此时z=100-30-20=50.
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.
5、解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足
18x+15y≤180，
1000x+600y≤8000，
x，y∈N，
且 z=200x+150y.
所以 6x+5y≤60，
5x+3y≤40，
x，y∈N，
作出可行域及直线：200x+150y=0，即4x+3y=0.（如图4）
把直线向上平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B（，）.由于点B的坐标不是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点B不是最优解.
为求出最优解，同样必须进行定量分析.
因为4×+3×=≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z取最大值1800元.
6、解：解方程组可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：
解之得：D=，E=4，F=30
所以所求的△ABC的外接圆方程为：

7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为，而
，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线的方程为y=x-x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），
Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0，
x2+2y2=12
，，则
∴，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）。

8、解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。

9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。
解：设M（x，y），过M作于A，，，∴，又过M作轴于O＇，因为点M为短轴端点，则O＇必为椭圆中心，
∴，，∴，∴化简得y2=2x，∴短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x≠0）。

10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。
11、解:（1）设A、B两点的坐标分别为 得
,
根据韦达定理，得

∴线段AB的中点坐标为（）.
由已知得
故椭圆的离心率为 .
（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为
解得
由已知得
故所求的椭圆方程为 .

12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。
解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方程为：
即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，
∴，
∴为定值。

13、解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
,
∴M在双曲线的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

14、分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，|F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。
证明：（1）在中，由正弦定理可知，则
∴
∴
（2）在中由余弦定理可知
y
∴
∴。
15、解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .
∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | =
∴动点P的轨迹是椭圆 .
∵
∴曲线E的方程是 .
（2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得

设M1（, 则

i) L与y轴重合时，
ii) L与y轴不重合时，
由①得 又∵,
∵ 或
∴0＜＜1 , ∴ .
∵
而 ∴∴
∴ , ,
∴的取值范围是。
16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为
（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即。

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