资源简介

为培养学生的思维方式而教学
——对《等腰三角形中的线段》的教学反思
一、教学说明：
本节课选自北京师范大学出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第一章《证明（二）》．
这个教学片段是在学生认识了等腰三角形的性质定理及其推论，并对运用综合法进行演绎推理有了一定训练的基础上展开的．课堂上通过对一个普通数学命题的发现与证明，旨在展现一个由合情推理与演绎推理组成的有序的探究过程．
二、教学目的：
⑴ 经历“探索—猜想—证明—拓广”的过程，初步体验合情推理与演绎推理在数学学习中辩证统一的关系；
⑵ 通过对具体命题的研究过程，使学生进一步体会证明的必要性，不断提高推理意识与推理能力；
⑶ 通过小组合作与组间交流，培养学生动手实践、合作交流和语言表达的能力，丰富他们与人交往的经历和体验．
三、教学过程：
教学环节
教学内容
设计意图
操 作 与 猜 想
请同学们拿出课前准备好的一张矩形纸片．
师：你能利用一张矩形的纸片，借助折纸的方法得到一个等腰三角形吗？
学生以小组为单位合作完成，其折纸过程大致如下图：
通过具体的操作活动引入课题，既培养了学生的动手实践的能力，提高了学习兴趣，又为下面的探究活动做好了铺垫．
事实上，对学生对操作方法本身的探究过程就是对图形性质的一个具体运用过程．
师：你能想办法折出这个等腰三角形两个底角的角平分线吗？
学生继续操作，折纸过程大致如下图：
师：我们给图中的一些点标上字母（如右图）．根据你的观察，说一说图中有哪些线段应该是相等的？
学生回答分别有：AB＝AC，AE＝AD，BE＝CD，BD＝CE，BO＝CO，DO＝EO．
这是一个合情推理的环节，希望学生通过直观感觉，对结论提出自己的猜想．
但需要指出的是，合情推理作为一种推理方式，不但应“合情”，更应“合理”．所以，合情推理也需要对获得的猜想进行验证，只不过这种验证是基于实验的验证，与演绎推理的证明有着本质的不同．
师：你能通过测量或借助刚才折纸的过程，验证你的猜想吗？
学生有的利用刻度尺进行测量、有的则继续使用折纸的方法使相关的线段重合，来验证自己的观察．
探 索 与 证 明
师：请选择一组你认为最感兴趣或最有挑战性的结论，编写一道数学证明题，并进行证明．
学生可以根据自己的喜好和能力来选择证明对象，即使选择相同结论的同学，证明的方法也可能是多样的．
这个步骤是演绎推理的环节，有了上面的铺垫，证明也就很顺利地成为了操作与猜想的自然延续和必要发展．
同时，这里的设计也满足了多样化的学习需要．虽然学生选择的结论不同，证明方法不同，书写方式也会不同．但相同的是，他们都会从活动中获得对证明的感悟和成功的喜悦．
师：你能把你的这道证明题，用自己的话叙述成一个数学命题的形式吗？
学生以小组为单位编写命题，最后每个小组宣读命题的文字表述，互相交流．
将一道证明题表述成文字命题的形式，目的在于实现数学语言与文字语言的“互译”．这个过程实际上是学生对所研究的问题进行归纳、概括、反思和再认识的过程．
延 伸 与 拓 展
师：我们通过前面的研究已经发现，等腰三角形两底角的平分线是相等的．由此联想到，等腰三角形其他一些重要的线段是否也会具有类似的性质呢？请每个小组继续展开探索：先结合图形大胆猜想，写出一个你认为正确的命题，再设法证明它．
学生联想到腰上的中线、腰上的高这些线段的相等关系，并进行证明，小组讨论活动后，进行集中发言，共享结论．
延伸与拓展是问题研究过程的一个重要的组成部分，也是使学生获得发展的一个重要环节．
对这个教学环节的处理，不在于学生探究的数学结论的多与少、正与误，重要的是引导学生逐步培养对现有问题能够自觉地、有意识地进行必要拓展的思维方式与思维习惯．
师：事实上，三角形的角平分线、中线等线段，都是一些特殊性很强的线段（如：角平分线需将一个角平分，而中线需将一条边平分）．那么，我们是否可以对这些条件在一定基础上加以“改造”呢？想一想，这样做前面的结论还成立吗？你能写出证明过程吗？
学生思考方向之一是对条件进行关联替换，例如将角平分线替换成角的三等分线，将中点替换成三等分点，等等；思考方向之二是对条件进行一般化，即原命题事实上只需有∠DBC＝∠ECB（∠ADB＝∠ACE）或DC＝EB（AD＝AE）等条件即可成立．
反 思 与 提 高
师：通过今天这节课的学习，你有什么体会和感受，试着说一说．
学生可自由发言，谈一谈自己的感受．随后，教师可引导学生体验下图的探究过程：
问题→猜想→证明→拓展
同样的课程给不同的学生会带来不同的感受．教师不必拘泥于学生总结的全面与否、深度如何，只要他们通过学习积累了属于自己的数学活动的经验就够了．
四、教学反思：
⒈ 关注学生学习数学的过程
在《数学课程标准》中，不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词．这就说明，数学的教学不但要以使学生掌握具体的知识和技能为目的，更要以促进学生的数学思考、锻炼学生解决实际问题、培养学生的情感与态度为目的．
在新课程下，我们关注学生数学学习的结果，但更要关注学生数学学习的过程．事实上，让学生认识本节课中所涉及的数学结论，并不是最重要的，学生能否记住这个结论对其后续学习的影响也不大；但在这节课中所体现出的“发现—证明—拓广”的数学思维方式，对学生学习数学、学习其他知识乃至认识问题都会产生重要的、深远的影响．所以，从这个意义上讲，本节课的“过程”重于“结果”．
“让学生经历探索数学问题的过程”就是这节课的教学目的，至于学生能否在经历了这个过程之后正确地得出所谓的数学结论却在其次．《标准》中提出，数学课程应实现“不同的人在数学上得到不同的发展”．有些学生在一系列的数学活动之后能够获得预想的数学结论，有些学生需要在教师的帮助下才能获得预想的数学结论，而有些学生却始终不能很好地获得这些结论，但这并不表示他们在数学学习中一无所获，恰恰相反的是，他们可能在这些活动中获得的数学经验远比那些结论更重要．
⒉ 改变学生学习数学的方式
“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．在本节课中，设计了让学生剪纸、折叠、观察、测量等一系列的数学活动，我想这正是对动手实践、自主探索与合作交流的学习方式的最好诠释．
首先，剪切与折叠图形都是由学生自己动手实践来完成的．由于学生所处的文化背景、家庭环境和自身思维方式的不同，使得这个过程不但是一个生动活泼的、主动的学习过程，更是一个富有鲜明个性的过程．从学生那里看到的结果是教师根本没有想到的，他们的想象力和空间观念得到了充分的发展．
其次，从学生观察并猜想的数学结论可以看出，他们获得的结论和寻找到的证明方法，无论简单也好复杂也好，都是学生通过自己的思考与探索得到的．这样的过程真实地反映了学生的思维水平和对问题的理解程度，他们在自主探索的过程中获得的收获，也远远要比机械地模仿教师的示范性活动大得多．
再次，不管是探索发现的过程，推理论证的过程，还是总结归纳的过程，合作与交流贯穿着学习活动的始终．合作学习作为一种有效的学习方式，其体现出来的优越性是传统的学习方式所无法比拟的．学生们不仅在与同伴的合作与交流中积累了数学经验，也体验了与人相处并共同完成一件事情的乐趣．他们在各自的小组中，既合作又有分工，既配合也有竞争，既需要听取他人的意见也需要发表自己的看法，最终达到共同获益、共同提高的目的．
⒊ 正确认识学生思维方式的形成
《标准》中指出，学生通过“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”．我们应该看到，数学需要演绎推理，更需要合情推理，科学结论的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比……，即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想的正确和错误．所以，演绎推理和合情推理是相辅相成的两种重要推理方式，合情推理的实质是“发现”，而演绎推理的实质是“形式化”．
《标准》中提到“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例．”这就是说，学生获得数学结论应该经历合情推理—演绎推理的过程．
本节课的设计思路正是努力要给学生展示一个数学结论从最初发现到寻求理论支撑，再到联系于拓广的全过程．为了体现这个设计理念，教学中我还在每个环节加注了一个醒目的标题，如“回忆与再现——明确我们的基础”、“操作与实践——研究从这里开始”、“观察与猜想——问题源于猜想”、“探索与证明——寻找理论的支撑”、“延伸与拓展——展开联想的翅膀”、“回顾与反思——让我们的认识升华”，旨在通过这样有序的、层层深入的环节，使学生感受到研究问题的过程．在本节课的小结部分，我没有简单的让学生回忆和重复相关的数学结论，而是提出了以下的思考问题：
这节课我们研究了哪些问题？
我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程？
通过这个研究过程，你有什么感受和体会？
从而使知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标有机的融为一体，使学生体会到这节课的真正目的在于培养大家良好的数学思维方式．
当然，思维方式的形成并非一朝一夕，思维水平的发展不同于知识技能，它不是学生“听懂了”或“记住了”，而是学生“悟”出了其中的思想内涵和规律，并自觉地内化成自己的一种习惯的过程．这个过程只有在长期经历数学活动的过程中才能实现，所以教学活动就必须要给学生提供探索交流、操作思考的空间和时间．我想，任何试图将思维方式“讲授”给学生，把思维能力的培养“毕其功于一役”的做法，都不可能真正取得理想的效果．

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