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向量法在立体几何中的应用举例
1.（2010辽宁理数）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN ……6分
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则 ……9分
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分
2.（2010重庆文数）（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）
如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
3.（2010四川理数）（18）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*m
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. w_w w. k#s5_u.c o*m解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0w_w w. k#s5_u.c o*m
所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分
(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)
=(0,-1,), ＝(－1,0,1)
即
取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m
取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)
cos
由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分
(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝
设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) w_w w. k#s5_u.c o*m
＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)
即
取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)
点M到平面OBC的距离d＝w_w w. k#s5_u.c o*m
VM－OBC＝…………………………………………12分

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