资源简介

《直线和平面所成的角》说课材料
常州市第三职业高级中学 张志勇
教材分析
异面直线夹角、线面夹角及后面将学习的面面夹角是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求，复习异面直线夹角有利于学生进行对比联系，掌握线面夹角同时也为后继学习作好铺垫。平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念。
应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，强调解题步骤。
教学目标
认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角。
能力目标：培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等。
情感目标：培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣。
教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角
教学难点：线面夹角的概念
教学方法、手段的选用和课件设计思路
知识是学生自主建构的，在教学活动中必须充分重视学生学习的主体作用，因此采用“实验法”，利用几何画板制作课件为学生做数学实验创设情境，在平面、直线旋转的动态变化中借助于度量值发现直线和其射影夹角的最小性，是本节课的重要教学方法。另外，讲练结合、启发式、演示法相结合也是学生完全掌握知识的重要途径。
课件包括教师用和学生用两种，前者用于教师授课时演示用，后者主要作为实验平台供学生实验之用，两者相辅相成，互为补充。
课件制作说明
1．演示课件包括课题、复习、概念、例1、练习、例2、总结、作业等8个页面
2．课件中主要图形均可旋转变动，并提供手动、按纽两种方式操作，便于学生动态观察，从变化中发现规律；同时便于在不同的视图状态下观察图形，有利于题多解，培养学生的空间想象能力。
3．课件中所作几何图形均为空间图形的投影即为直观图，有利于加深学生对立体图形的感性认识，培养学生的立体感。
4．课件界面友好整洁，操作方便，主要页面均提供了纠错按纽，从而能弥补几何画板课件的一些不足之处。
5．大量使用函数功能，如度量两条直线夹角时，使用了函数，确保度量结果介于与之间（因为几何画板只能度量三点构成的角的角度）；又如度量平面外的直线与平面内的直线的夹角时用了的函数。
6．利用几何画板4.03所提供的工具功能，减少重复性劳动，大量节省制作时间。如在课件制作中自创虚线工具，弥补了几何画板所提供的虚线过细的缺陷。
技术手段永远是为教学服务的，几何画板软件为中学数学教学课程改革提供了非常好的工具，希望在电教馆的领导下尽快普及几何画板，为常州数学的课程改革贡献一分自己的力量。
直线和平面所成的角
（江苏省中等职业学校试用教材《数学》第四册§9.3）
一．教学目标设计
认知目标：理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角。
能力目标：培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等。
情感目标：培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣。
二．教材内容及重点、难点分析（特点及相应对策）
首先，平面外的直线和平面所成角（即线面夹角）是通过直线和平面内的直线的夹角（即线线夹角）来定义的，难点在于线线夹角的结果不确定，而斜线与其射影所成角是它与平面内任意直线所成角中最小的角，也就是说斜线与其射影所成角结果是确定的，因此直线和平面所成角是通过直线和它在平面内的射影的夹角来定义的。其次，求线面夹角关键在于找出它在平面内的射影，而找射影还须从斜线上一点引平面的垂线，从而求线面夹角时先找垂线后定射影最后求夹角。
教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角
教学难点：线面夹角的概念
三．教学对象分析（学生特点及相应对策，学法研究）
职业中学学生数学基础普遍较差，他们的分析推理能力、空间想象能力等尤为欠缺，表现在立体几何的学习上，就是入门难特别是概念含糊以及与平面几何知识的混淆。针对学生中存在的问题，教师在教学中应多联系生活实际，多利用直观教具、多媒体课件，使抽象概念具体化，数学知识生活化，从而培养学生对立体几何知识的感性认识，尤其是利用多媒体课件，为学生提供动态的立体几何情境，让学生在“做”数学中学习和接受知识、锻炼能力。
本课时概念讲解中，借助于度量，让学生在动态中观察斜线与平面内直线的夹角的大小情况，从而发现其中最小夹角的存在性，为概念讲解创设情境，这样的数学实验既发挥学生的主体作用，又符合学生的认知特点。另外例题讲解、练习巩固中都可以变换图形的视角，从而提高学生解题能力，也发展了学生的空间想象能力。
四．教学策略及教法设计（什么策略或方法，如何运用，达到什么目的）
本课时主要采用概念形成策略。一方面，利用几何画板软件制作课件，为学生“实验”创设情境，通过学生的自主探索，从而在掌握线面夹角概念的同时也发展了观察思考能力和空间想象能力等。另一方面，结合讲授法、练习法、演示法等会求线面夹角。
五．网络教学环境设计（什么环境，如何运用）
在网络计算机教室中进行课堂教学，学生通过校园网下载课件（所用课件为学生用），在课件创设的情境中，将学生自主动手实验与教师演示（所用课件为教师用）引导相结合，充分发挥学生的主体作用，从而有助于学生认知结构的自主建构。此外，学生课余可通过访问学校主页调出课件（教师用、学生用均可）复习或寻求作业帮助，从而有助于学生的自主学习。
六．教学过程设计与分析
教学环节
教学过程
教师活动
学生活动
设计思路
复
习
引
入
异面直线夹角的概念
复习提问
演示课件
回忆、口答
异面直线夹角是化归为相交直线夹角来求解的，而线面夹角及后面所学的面面夹角都是化归为线线夹角来求的，通过复习，使学生能产生对比联系，为后继学习作好铺垫。
异面直线夹角为锐角或直角
转动平面
启发思考
引入课题
观察度量值的变化
思考
概
念
讲
解
线面夹角是利用线线夹角来定义的
讲解
理解识记
只有对概念的合理性有所认同，学生才会对概念真正理解。在直线转动的过程中，借助于对夹角大小的比较，使学生在实验中认识到线与其射影夹角的最小性，从而理解并接受线面夹角的概念。
斜线与平面内夹角的结果是不确定的，其中有最小值
提出问题
启发思考
实验，观察结果，思考答案
斜线与其射影的夹角是斜线与平面内直线所成夹角中的最小角
引导思考
讲解
比较结果
得出结论
线面夹角的概念
概念讲授
强调要点
认真听讲
理解识记
例题讲授1
求与平面ABCD的夹角
分析讲解
演示课件
归纳解法
认真听讲
观察思考
总结经验
在具体求线面夹角时必须让学生明确解题的步骤，即先找垂线后找射影最后确定夹角，而且在不同的视图状态下进行变式训练才能真正熟练求解
在不同的视图中理解与平面ABCD的夹角
旋转变换
观察
积累经验
练习巩固
求正方体中不同的线面夹角
启发思考
讲评要点
自主探究
变换思考
学生在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。
例题讲授2
求PC与面ABCD内的夹角
分析讲授
完成解题过程
在找射影时须把握不同的面，课件中将面用不同的面表现出来，有利于学生突破难点；同时结合线面垂直的判定，提高知识的深度和学生的知识迁移能力。
求PC与面PAB内的夹角
分析讲解
听讲笔记
归纳小结
线面夹角的概念及解题步骤
提问
强调要点
归纳小结
及时归纳知识要点有利于学生提高认识
作业布置
简要提示
听讲识记
七．教学过程流程图
选修2-1《3.2.4 二面角及其度量》说课稿
北京市房山区教师进修学校 卢寒芳
各位专家、各位老师：大家好！
我是北京市房山区教师进修学校的卢寒芳．很珍惜这次机会，希望得到各位专家和老师对我的帮助.我交流的内容是《向量法求二面角的大小》，下面我将分别从教学背景的分析、教学目标的确定、教学方法的选择、教学过程的设计及教学效果的评价与反思这五个方面来汇报我对这节课的教学认识．
一、教学背景的分析
1、教材分析
本节课的教学内容是人教高中数学B版选修2-1第三章第2.4节“二面角及其度量”的第2课时．第1课时学习了二面角及其平面角的概念，本节课主要探究如何用向量工具解决二面角的问题．
二面角是学生在学习异面直线所成角、直线与平面所成角的基础上对空间两个平面所成角进行的研究，是对学生知识结构的完善，也是研究空间两个平面位置关系的基础．课标对本节课的要求是能用向量方法解决面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化为向量的代数运算，具有突出的简化作用．本节课的学习用到了数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助于提高学生的思维能力．
2、学情分析
我所授课的班级是房山区一所普通中学的宏志班，学生思维活跃，有一定的探索和分析问题、解决问题的能力．在本节课之前，学生已学习了利用平面角求二面角的大小．已会建立空间直角坐标系、进行向量的坐标运算以及求平面法向量，掌握了利用向量方法解决线线、线面角的问题，这都为学习本节课的内容奠定了基础．
二、教学目标的确定
根据课标的要求，结合本节课教材的特点、以及学生的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标：
1、教学目标
（1）通过类比异面直线所成的角、直线与平面所成角的解决方法，得到用向量求二面角大小的方法，并能用之解决有关问题，体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．
（2）在探究用向量法求二面角大小的过程中，体会数形结合、类比转化的数学思想，进一步提高空间想象能力、分析和解决问题的能力．
（3）通过经历向量法求二面角大小的推导过程，培养大胆探索的精神，提高学习立体几何的兴趣．
2、教学重点与难点
我确定的教学重点和难点如下：
重点：用法向量的夹角求二面角方法的探究及应用
难点：二面角与两个半平面的法向量夹角的关系
三、教学方法的分析
为实现上述教学目标，本节课采用教师启发点拨与学生自主探究相结合的教法突出方法的形成过程，采用“精讲精练”的教法落实双基要求．教学中还使用了多媒体来辅助教学，为学生提供直观的感性材料，加深对问题的理解．
下面我就对具体的教学过程做出阐述：
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，本节课的教学过程按照“温故知新－探究方法－实践操作－归纳总结”的顺序设定为4个主要阶段．
1、温故知新
为了引入向量工具，我以“如何度量二面角的大小”入手，复习二面角的平面角的概念，然后复习求异面直线所成的角、求直线和平面所成的角的向量方法；
提出问题：如果不作出二面角的平面角，能否用向量法求二面角的大小？引入课题。
【设置意图】通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线面角的解决方法，自然引出可以用向量探究二面角的大小.
2、探究方法
在此环节，我引导学生思考下面两个问题：
问题1、二面角的平面角能否转化成向量的夹角？
目的是引导学生从平面角出发，找到二面角的平面角与向量的关系，得到用向量求二面角的第一种方法——利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
，转化为数量积求角
【设置意图】通过教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
然后提出问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？
我借助实物教具展示一个二面角，作出法向量后，?引导学生观察教具，思考法向量夹角与二面角的平面角的关系.
课上学生交流的很活跃，能判断出法向量夹角与二面角的平面角相等或互补，我将学生的讨论结果在黑板上画图演示，然后利用几何画板演示不同的情况，验证学生的结论并且说明理由（如下图）.
?
?
???????????????????? 图1?????????????????????????????????? 图2
结论1：，?
?????????????????? 图3????????????????????????????????? 图4
结论2：，
【设置意图】通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系．这一探究过程体现了学生的主体地位和教师的主导作用。
在得到法向量夹角与二面角大小的关系之后，我会引导学生继续探讨问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？
通过再次演示课件，由学生发现下面的规律：?
当法向量，一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小；
当法向量，同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小．
【设置意图】进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，结合规律加深学生对这一难点内容的理解．
在得到用向量求二面角的大小的两种方法后，我设计了应用方法解决问题，进入第三个环节．
3、实践操作
给出例题：已知ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，?，求平面SAB与平面SCD 的所成二面角的余弦值．?
在读题的过程中我先引导学生分析已知和垂直关系，确定解决方法：利用两个半平面法向量的夹角解决。然后请学生思考如何建系，因为学生对建立坐标系掌握得较好，学生很快就能说出由已知SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD两两互相垂直．选择以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，对于x轴的选取有说以AB 所在的直线为x轴，有说以AD 所在的直线为x轴，我补充说明建系基于计算方便，建系不同不影响最后的结果．
【设置意图】建立坐标系是本题的关键，通过分析垂直关系培养学生的空间想象能力和建立适当的坐标系的能力．
确定坐标系后师生共同完成解答，教师板书示范解题步骤：
解：由SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD两两互相垂直．以A 为坐标原点，AD 所在的直线为x轴，AB 所在的直线为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，则
，，，，，
设平面SCD的法向量为，则，，转化为坐标运算，得
取z=1，则，
．
对法向量z的选取，学生有取，得到，，我通过课件演示法向量坐标的两种情况，引导学生利用法向量的方向来判断平面SAB与平面SCD 的所成二面角与法向量夹角的关系，统一学生的认识，得出最后结论，．
图一：
?
图二：
【设置意图】本题是一个典型的无棱二面角的问题，通过本例题，使学生经历从建立坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方法．
这个题目利用二面角的平面角也可以解决，我给同学提示后请他们课下思考．
通过解题步骤，我引导学生总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：
1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；
2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；
3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果．
【设置意图】明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的能力和意识．
为了检验学生对向量法求解二面角的大小的掌握程度，我设计了1个巩固练习，由学生自主完成，通过投影仪展示学生的做法．
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
【设置意图】从练习中及时发现学生对本节课的掌握情况。
4、归纳总结
由学生总结本节课的内容，我作适当的补充，概括为：
两种方法：利用向量求二面角大小的方法：
（1）转化为两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角；（2）转化为两个平面的法向量求解
一个步骤：利用法向量求二面角大小的一般步骤；
两个思想：数形结合的思想方法、类比转化的思想方法．
【设置意图】引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。
最后布置作业：
1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．
2、P111练习A第3题，练习B第2题
【设置意图】作业1鼓励学生选择不同的解题方法，巩固求二面角大小的几种方法。作业2巩固本节所学知识和思想方法，深化学生的认识．
五、教学效果的评价与反思
设计学习效果评价表，由师生共同完成，对于教学效果进行评价.
学习效果评价设计
项目
A（优秀）
B（良好）
C（合格）
个人
评价
同学
评价
教师
评价
旧知识掌握
情况
牢固
比较牢固
一般
?
?
?
课前预习情况
自己主动
完成
依照同学才
完成
不能
完成
?
?
?
独立思考积极程度
积极
较积极
一般
?
?
?
交流讨论情况
有交流讨论
有交流
没有
交流
?
?
?
参与学习的积极性
很高
比较高
一般
?
?
?
本节课的掌握情况
好
较好
不好
?
?
?
课后作业完成情况
独立完成
与同学合作
完成
不能
完成
?
?
?
教学反思：
本节课的教学设计和实践有以下结果特点：
1、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。在设计上注重与学生已有知识联系，使学生体验了方法的形成过程。
2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。?
3、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决例题。?
4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透，渗透数形结合和类比转化的思想。
不足之处：1、例题只讲解了用向量法求角的大小，用综合法作平面角的方法由于时间关系没有让学生探究。如果两种方法都讲授并进行对比，使学生体会从不同的角度解决立体几何问题，体现出用向量法解决立体几何问题的优越性会更好。2、在课堂上，对例题法向量z的坐标取-1只是用课件演示说明，如果改由学生发现、分析，根据图形或法向量方向分析判断二面角的取值，更有助于他们更好地掌握方法。
以上是我对《向量法求二面角大小》的教学设计的汇报。不足之处，恳请各位专家和老师批评、指正．谢谢!

展开更多......

收起↑