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最值问题的常用解题方法
珠海市第四中学（519015）　邱金龙
在高考试题中，经常会出现求最值的问题，此类问题解法很多，有时解起来会很复杂、困难，但掌握一些解题方法，将这些方法灵活应用在求最值问题中，会有意想不到的效果，下面举例说明。
一、配方法
例1、（2002上海文，19）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈［－5，5］，当a=－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
分析：本题给出的函数是二次函数，二次函数求最值一般采用配方法，其顶点的纵坐标就是最值，对于给定区间求最值，则可根据其单调性来求解。
解：当a=－1时，f（x）=x2－2x+2=（x－1）2+1，x∈［－5，5］
∴x=1时，f（x）的最小值为1
x=－5时，f（x）的最大值为37
例2、（2003北京春，理4）函数f（x）=的最大值是（ ）
A. B. C. D.
分析：函数的分母是关于x 的二次代数式，通过配方，可以求出其最值。
解：首先讨论分母1－x（1－x）的取值范围：1－x（1－x）=x2－x+1=（x－）2+≥.因此，有0<≤.所以，f（x）的最大值为.
故选（D）。
二、参数法
　　例3、(2005福建卷)设的最小值是（ ）
A、 B、 C、－3 D、
　　分析：如果设a＋b＝t，求得a，代入已知方程，则方程可化为关于b的一元二次方程，又因为b为实数，通过根的判别式可求参数t的取值范围。
　　解：设a＋b＝t，则a＝t－b，将a＝t－b代入已知方程，得：
（t－b）2＋2b2＝6，化简，得：3b2－2tb＋t2－6＝0，
因为b为实数，所以上述关于b的方程有实数根，即
△＝（－2t）2－4×3×（t2－6）＝－8t2＋72≥0
解不等式，得：－3≤t≤3，
所以，t的最小值为－3，即a＋b的最小值为－3，故选（C）。
三、换元法
例4、若x、y为正实数，且x+y=1，求　的最小值。
分析：题目给出的条件是x、y为正实数，且x+y=1，容易联想到三角函数中的公式：
sin2α＋cos2α＝1，所以本题可以引入三角函数换元。
解：∵若x、y为正实数，且x+y=1，∴可设x=sin2α,y=cos2α,
则
=·
= (2+cot2α)(2+tan2α)=4+2(cot2α+tan2α)+ cot2αtan2α
=5+2(cot2α+tan2α)≥5＋2×2 cotαtanα＝9
故　的最小值为9。
例5、求函数y＝x＋的最小值。
分析：设u＝换元，两边平方后能去掉根号，将无理式变为有理式，再结合配方法来解答。
解：设u＝，则u≥0，且x＝，
∴　y＝＋u＝（u＋1）2，又∵u≥0
所以，函数y＝x＋有最小值是。
四、判别式法
　例6、求函数y＝的最大值。
　分析：对形如y＝（a2＋d2≠0）的函数，求其最值，可采用判别式法，即将原函数转化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式求出y的最值。
　　解：将原函数化为：（y－2）x2－（y－2）x＋（y－3）＝0
当y＝2时，此方程无解。
当y≠2时，上述关于x的一元二次方程有实数根。即有
△＝［－（y－2）］2－4（y－2）（y－3）≥0，　解得：2＜y≤，
所以，函数有最大值为。
五、数形结合法
例7、(2005福建卷)非负实数满足，则x＋3y的最大值为 。
　　分析：对于二元一次不等式组，通常是在平面直角坐标系中画出不等式组的解的区域，数形结合，便于分析。
解：依题意，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的区域如图，
解方程组：，得两直线的交点P（1,2），
设t＝x＋3y，通过平移直线x＋3y＝0可以看出，当直线x＋3y经过点（0,3）时，t值最大为9。
所以，x＋3y的最大值为9。
　　例8、求函数y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣的最小值。
分析：函数的解析式中有两个绝对值式子，要根据绝对值的性质分类讨论去掉绝对值，这其实是一个分段函数，可画出其图象，数形结合来解决。
解：y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣＝
画出其图象如右图所示。
由图象可知，函数y＝∣x＋3∣＋∣x－5∣的最小值为8。
六、基本不等式法
　　例9、(2005重庆卷)若x、y是正数，则的最小值是 ( )
(A) 3； (B) ； (C) 4； (D) 。
分析：基本不等式是：若，本题中先由a2＋b2≥2ab，再根据x、y是正数，可以基本不等式求解。
解：≥2
＝2（xy＋＋1）≥2（2＋1）＝4
“＝”成立的条件是不矛盾，故“＝”成立。答案（C）。
　例10、（2005全国卷I）当时，函数的最小值（ ）
A．2 B． C．4 D．
　　解：＝cotx＋4tanx
∵，　∴　cotx＞0，tanx＞0，
∴cotx＋4tanx≥2＝4，所以，选（C）。
七、利用函数的单调性
例11、（2000上海，19）已知函数f（x）＝，x∈［1，＋∞．当a＝时，求函数f（x）的最小值；
分析：如果能证明一个函数在给定的区间上是增函数或减函数，则在给定的区间上能求得最大值或最小值，本题中给定的区间是x∈［1，＋∞。
解：当a＝时，f（x）＝x＋＋2，设，∈［1，＋∞，且＜
f（）－f（）＝＋＋2－（＋＋2）＝（－）＋（－）
　　　　　　　　＝（－）（1－）
∵≥1，≥1，∴≥1，∴≤，∴1－＞0
又－＜0，∴f（）＜f（）
所以，f（x）在区间［1，＋∞）上为增函数，
∴f（x）在区间［1，＋∞）上的最小值为f（1）＝．
八、分离分式法
例12、求函数y＝的最小值。
分析：注意分式的结构，分子与分母都有（x2－x），分子适当变形后，将分式分离，分子不含字母，只考虑分母，问题将容易解答。
解：将函数变形为：y＝＝1－
∵x2－x＋1＝（x－）2＋≥，　　　∴0＜≤
∴－≤1－＜1，即－≤＜1
所以，函数的最小值为－。

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