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2011年河北省中考数学复习备考交流
石家庄市第40中学 梁建辉
电话：13930196672 邮箱：liangjianhui40Z@163.com
据我了解，现在很多学校都进入了复习、或即将结课进入复习。下面就我个人的经验和各位老师交流一下中考复习的安排。
象我们复习进入的早，复习就分三个阶段：基础（一轮）复习阶段、专题复习阶段、套题训练阶段。三月份进入中下旬后进入复习的学校时间不足，前两个阶段合二为一较为合理。不管是哪种情况，复习时知识都按要数与代数、空间与图形、统计与概率三大领域进行模块整理强化训练。下面结合我平时的做法，我认为需要做好以下几方面的工作：
A 把学生调动起来，不用自己教多好，认准一本好资料用下去，成绩一定不差；
B 研读中考说明与课标，不做无用功；
C 归纳研究近几年河北省中考题考查的知识、试题的特点，使复习重点明确、有的放矢；
D 确定复习的方式安排、时间安排，每个阶段的得分目标、主攻方向、要解决的问题；
下面就这几方面和各位老师进行交流：
一、把学生调动起来
把学生调动起来，不用自己教多好，认准一本好资料用，成绩一定不差
怎么样来调动学生的学数学积极性呢？
（一）让学生喜欢你。
亲其师信其道。这方法简单、直接、实用，特符合初中生的年龄特点。
你有过这样的经历与感觉吗？
学生一天不见就想你，
你不来学生就打电话问你不来的原因，
和你同头其他老师都害怕，因为学生总是把你的数学作业摆在第一位（记住：这不是你压的而是学生自觉自愿的）。
如果有，那么不用急，你的学生的数学成绩一定是各科中最好的，或都将要成为最好的，如果不是，赶快努力吧，改变自己——记住是改变自己，使自己成为学生最喜欢的教师，使数学成为学生最喜欢的学科！不管用什么方法。
（二）让你的学生建立起“我能学好数学”的自信。
怎么建立学生的“自信”？很简单，
了解你的学生，知道他跳一跳就能达到的目标，告诉他，他行！ “三人市虎”嘛！
大家应该都有这样的经历：您的老师、或同学、或朋友、或一面之缘的人（最好是你佩服的人或跟你没什么交情的人）说过你在某方面比别人强，结果你就真得比别人强了。
学生也一样，您告诉他能达的某个分数，只要他（她）相信了，有这份渴求了，并为这份渴求而持之以恒努力最后他（她）一定能达到。
我们做过调查：
凡是23-26中有哪题一字不写、或只写了几笔的，基本上是认为难、不想看，直接放弃的，或根本没读完题的。想想咱们自己其实也一样。
如果是想拿并且一定要拿到高分的人就不一样了，就算难，也一定会硬着头皮读下去，看看能否有得分的可能，能得一分算一分。两种心态，天壤之别。
学生有了拿到高分这种渴求，他（她）就不允许自己犯计算这样低级错误，运算准确能力就会快速提高；
学生有了这种渴求，对老师的批评、建议、要求就听得进；
学生有了这种渴求，自然会主动地去钻难题，专题复习效果好……
告诉学生他能行、建立学生自信、调动学生的主动性是这学期要做、要勤做的，是人前人后做的，不仅自己要做，而且要家长、学生帮你做的！自已深信不已、他人深信不已、自然学生本人也就深信不已了。
下面举个例子佐证一下：
近几年参加工作的老师可能不知道，早几年工作的老师大概听说魏书生其人，或者学习过魏书生老师的文章，或者听过魏书生老师的报告。
现在是改革大潮起，学习榜样到处都是，而且是多以学校闻名，过去不是，过去的传媒也不行，我们所听到的有名校，但学习的是名师。
魏老师是辽宁盘锦的一中学语文教师。他在一次讲学中说到：人们学习他，听他的课，连续听了几天后他问人家感觉如何，人家的评价是“魏老师的课讲的一般，不过班主任做得很好！”
什么意思啊！就是魏老师教得一般，可人家学生学得起劲！这才是他带的班成绩好的诀窍！
不管这评价正确与否，但他道出了一个真理：学生的积极调动起来了，成绩想不好都不行！
想想咱们自己，当你不愿意做一件事时，爹妈让你做你不愉快，爱人让你做你拖拉。学生也一样，当他不愿意做而老师让他做时，好学生应付，差学生干脆就不做。自己乐意做的事正好相反。
看看身边的学生，学习好的一定是想学的、爱学的！
鼓动起了学生的劲，咱自己怀里揣得就不是石头，而是含有受精卵的鸡蛋了，下面该自己加温了；
二、研读中考说明
认真学习、研读中考说明，弄清河北省考数学试题的命题范围和原则，不做无用功。
（一）弄清河北省考数学试题的命题范围和依据
在《河北省2010年初中毕业生升学考试数学学科说明》(以下简称“中考说明”) 倒数第7行～第4行写着“数学学科命题是以《全日制义务教育数学课程标准》第三学段所规定的内容为考试范围，考查7～9年级所学数学基础知识与技能、数学活动过程与用数学解决问题的意识。我省各地各校的初中毕业生，无论在教学时所使用的是哪种版本的义务教育课程标准实验教科书，中考数学命题均以本说明所规定的考试内容及要求为依据 。”
《课程标准》、《中考说明》和教材既是中考命题的依据，也是衡量日常教学效果的重要标尺． 因此，做好备考2011年中考的最重要的事之一就是仔细阅读，认真研究、体会《河北省2011年初中毕业生升学考试数学学科说明》，以便适应当前中考的变化，有的放矢，使我们的教学和复习事半功倍。
举个例子：中考说明的（四）图形的相似 之考试要求的第3条是这样的：
2010年前：了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件与性质。
2010 年：了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件与性质，并能够进行简单推理计算和应用。[来源:学科网]
注意到了添加的这几个字，应对10年的第24题就游刃有余了。
再举个例子：
2010中考说明的第72页第20题是
20．（2009年济南22题9分）已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
第74页第24题（09湖北孝感25题12分）
如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分）
（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）
②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）
全是关于反比例函数的大题，如果注意它，10年的第22题也就应对有余了。
（二）弄清2011年河北省中考数学命题的指导思想与命题原则
如2010年的《中考说明》在其第一段第六行到第九行的命题原则中写到：
首先要关注《数学课程标准》中必须掌握的核心观念和能力；
注重考查学生进一步学习所必须的数与代数、空间与图形、统计与概率的基础知识和基本技能；
不仅注重对学习结果的考查，还要注重对学习过程的考查；
即要有对学生思维能力的考查，也有对学生思维方式的考查；
要着重考查学生运用所学知识解决简单实际问题的能力，还要注意对学生数学创新意识的考查。
把这些简单概括就是：关注核心、狠抓基础、注重过程、渗透思想、突出能力、强调应用、着重创新。
这些，就是自己选题的标准，不会再选老题、偏题、怪题、难题了。
注：核心观念与能力指的是：数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力、应用意识。
三、归纳研究近几年河北省中考题
归纳研究近几年河北省中考题考查的知识、试题的特点，使复习重点明确、有的放矢；
（一）归纳近几年河北省的中考数学知识点，使自己的复习重点明确、有的放矢。
每年的中考说明上都列举有考试内容与要求，但那么多字，不知哪个是重点、考点，好办！把近几年的河北中考题拿来，把其中的考点一一列举，并根据自己的复习资料的分类去分类，使自己在复习中重点明确，实现高效复习。
（二）分析中考题，知晓各类知识的常见考法，以便做到训练的针对性。如：
1、不易与在大题中与其它知识整合的知识在中考中多以选择填空题的形式出现。
例1．①(09河北第14题)据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约为12?000?000千瓦．12?000?000用科学记数法表示为 ．
②(10河北第3题)下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
2、好想，但写起来麻烦的题在中考中多以选择填空题的形式出现。
例2．①(10河北第9题)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15?km/h，水流速度为5?km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是
②(10河北第10题)如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是
A．7 B．8
C．9 D．10
3、几乎所有的概念、性质、公式、法则、定理的基本辨别、运用都可在中考中的选择填空题的形式出现。
4、基本技能、简单应用题目的在选择题填空题解答题中均有出现。如：
例3．①(10河北第7题)化简的结果是
A． B． C． D．1
②(10河北第8题)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
③(10河北第19题)（本小题满分8分）解方程：．
5、基本思想方法的考查常融于基础知识于基本技能之中。
例4．①（09河北第18题）如图3-2，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在 桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55?cm，此时木桶中水的深度是 cm．
②(10河北第18题)把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．
6、解答题的考法、特点将在专门说明，此处略。
了解了中考哪些知识在哪考？怎么考？在出复习题时就分门另类，针对性强了。
初中数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及其内容所反映出来的数学思想和方法，是发展能力、提高学生数学素养的基础和依托，对学生后续学习意义重大，“是有价值的数学”。纵观全国各地中考试题，无例外地都突出了对学生基础知识、基本方法、基本数学思想的掌握及领悟的程度考查。特别地，属于死记硬背的河北省基本不考，如垂径定理的推论。
因此，基础知识，不要死记，理解记忆，必须记死。
在基础训练中除了第19~22题的题型外，其它用选择填空题可节省时间、节约纸张、扩大容量，另外，要注意进行选择题、填空题的答题技巧培养。
四、确定复习的方式安排、时间安排，每个阶段的得分目标、主攻方向、要解决的问题；
我们采用的三轮复习方案，就以我们的复习为例说明：
（一）狠抓基础，搞好一轮复习，瞄准基础90分。
根据学生的水平，定下一轮复习知识目标、要达的分数目标。
中考试卷前22题76分及后4题的前一、二问的基础部分得分，体现着的一轮复习的效果。
我所说的基础包括：基础知识、基本技能、基本思想、简单应用。
基础90分是这样算来的：前22题共计70分，后面的23、24、25、26题的前一二问，依次得到5、5、5、5分即可。
做好以下两方面，力争一轮复习好效果：
A 把“审题到位与解题的正确性规范性”一抓到底，确保会做的题得满分
B 夯实基础知识与熟练基本技能
1、把“审题到位与解题的正确性与规范性”一抓到底，确保会做的题得满分。
哪些学生是匆匆一看便急于下笔类，哪些学生是总看串行类，哪些人是计算能力差类，找准毛病一抓到底，尽可能避免“会而不对”、“对而不全”的现象。
我做过多次统计，一般地，题会做但失分了，班平均失分应在5∽15分之间。可怕吧!如果不信，不妨您亲自做一个“题会做但做错与没得满分的总失分”统计，来验证一下(注意样本的代表性哦!)去年讲课时，我就和大家说过我的做法，不知有老师试着统计过没有，您的统计结果如何呢？
可见，只有做到审题正确、答题规范、表述准确、推理严谨，才能保证学生考试时会做的题不丢分．只要我们两三个月内狠抓正确性与规范性，就能有3∽8分的提升．多便宜的事啊!

2、夯实基础知识与熟练基本技能
抓“四基”方法老师们都各有高招，我不再赘述，谨提示注意以下两方面
A 早做准备，把必考题型练透、常考题练熟
B 构建知识体系、沟通知识联系、掌握解题通法，大幅提升学生能力
（1）早做准备，把必考题型练透、常考题练熟。
（首先提示：这是想走点捷径，千万不要因此忽视其它知识点。）
通过前面的分析我们知道，中考必考题分别是：三数（相反数、倒数、绝对值）、科学记数法、一次方程应用、整式运算、垂径定理与圆有关的角、统计三数、分式化简单求值、函数图象信息…，复习中重点抓，先搞彻底。
①每天5分钟2道题，用三周时间强化训练分式求值、分式方程、解不等式。
第19题的程序性解答题高达8分，并且只要练就增分。但此题得分并不理想，平均3-4分的学校很多。用三周的时间来训练提高2～3分是非常值得的。
两道题每题100分，学生很容易拿满分，错一题扣50分，对学生挺震憾的。
特别地，差生知道动笔写了，这个收获最大。
②四周搞定函数图象信息。具体做法是上课每天5分（可让学生提前2分钟回教室以增加时间），采用1+1模式，即1道图形信息，加一道简单题，如科学记数法，或相反数与式的小综合、或简单的面积比等于相似比平方等，一眼就看出答案，自己学生又爱错的小题；
第22题的一次函数或二次函数图象信息题，也是可以通过训练达到较满意的收效的。在这个过程中训练了学生用待定系数法求解析式、理解记住了函数性质，同时还有其它的生多收获，如：快整高效做事的习惯、一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法、方程函数的转化意识、坐标系中三角形多边形面积的求法，转化思想、图像法解题、数形结合思想、结论合理性的检查等等。
③如果你觉得有必要，圆与三角形的简单应用、统计都可以这样。
（2）培养学生利用几何直观掌握知识、分析问题的习惯。如：
① 利用几何直观快速掌握几何图形性质。如平行四边形的性质。
② 利用几何直观快速掌握函数的性质。如y正负的判定、二声四声与增减性相结合掌握培养性等。
③ 培养学生数形结合的方法与习惯。
（3）至少上一次“特殊值法（几何中的特殊位置法）”，的小专题课，让学生体验“由特殊到一般”和“由一般到特殊”的常用思维方法，提升中上等生做难题的能力，提高差生“蒙”的本事。
例5、① (08河北)若互为相反数，则 .
评析：绩差生可能不理解字母，但给个数如0，则此题得解。
②已知M＝、N＝，其中x：y=5：2，则M－N= 。
评析：绩差生可能不会分解因式、约分，但此题代入x=5，y=2、求出M、N再相减即可。
③在同一坐标系中函数y=ax2-a与y=ax+a的图象大致为（ ）
评析：中等生可能记不住两函数性质不会做，但他可以画出a=1和a=-1时的图象对比来正确解答此题。
例6、①（10郴州）如图1，将一个直角三角形纸片剪去直角后得到一个四边形，则 度．
②（09山东枣庄）如图2将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则 ．
③(09朝阳10题)如图3，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．，则_____________．

图1 图2 图3
评析：①既然剪法是任意的，又求的值，它一定是个定值，与剪法无关，随便给两锐角一个度数进行计算可以了；同理给②中∠AOC一个度数就可以了。同理③中点是边上任意一点，所以取D在BC中点或B点或C点的位置时易得结论。
不要以为特殊值法（特殊位置法）只解决选择填空题，只对中下等生有帮助，它对解大题、对优秀同样有很大帮助。
例7、①（10鸡西）如图，在锐角△ABC中,∠BAC=60°,
BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则结论
BE+CD=BC正确的吗？为什么？

评析：其中结论BE+CD=BC的正确性采用正规渠道
很多人不会，也麻烦，一取特殊值非快就能得出判定。
②(06西岗)如图16，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系。然后证明你的结论。
评析：结论的探索可由特殊到一般，先取△ABC等腰直角三角形看AM与ED的关系，再取△ABC一般直角三角形看结论是否一样。再进行一般性猜测。很容易得到线段AM与线段ED的关系。即使不会证明，也能得到一定的分数。
我们学习代数，学用字母表示数，就是为了用数学符号、图形简捷地表示与反映其数或数量的规律性。特别是双字母分式求值、函数大致图形判题，很多可以用特殊值法；凡是几何上的在满足条件的任意点都满足的关系几乎都可以用特殊位置去推断。能主动地运用“特殊值法”是一种能力。
（4）、实施“联想法”构建知识体系、沟通知识联系
课堂复习效果不是以做了多少道题来评价的，教学任务的制定应有针对性，使不同层次的学生在复习课上都能有所收获，确实能在复习课上查漏补缺，巩固知识，提高能力。联想法就可以达到这样的效果：
“联想法”主要的作用有二，第一是整合构建自己的知识网络，第二是沟通知识联系、拓展思路。具体做法是用一个重要的概念为“扦子”把其它相关知识串起来。
“联想法”通俗地解释是：见到一个概念或知识想到“知道了它推也什么？用它能解决什么？”“解决什么问题用到它？”下面以直角三角形为例说明：
①当已知直角三角形（或垂直）时 可以想到：A勾股定理、B 30度角所对边等于斜边的一半、C特殊角直角三角形三边比、D锐角三角函数、E斜边上中线等于斜边一半、F求面积或借用面积法建立方程、G遇垂直出相似、H是等腰直角三角形可以证明或造全等、I作轴对称得等腰三角形或矩形、J垂径定理、K切线切点、L可以构造以斜边为直径的圆（即直角三角形外接圆半径等于其斜边一半）……下面举例说明：
例8、①（09衡阳）如右图，矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，折叠纸片使AB边与对角线BC重合，折痕为AG，则BG的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
②(09杭州) 如右图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
⑵见到什么时需要找（造）直角三角形（或垂直）解决问题
需要用直角三角形（垂直）的：A求边、B求高、C见到300、450、600角时造直角三角形、D求多边形面积、E与锐角三角函数有关的、F求关于圆的线段计算、G遇等腰三角形作高、H反比例函数遇面积造矩形……
例9 ①（10年24题）在右图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1?=?∠2?=?45°，若AO?=?OB，求证：AC?=?BD，AC?⊥?BD；
②(09天津)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧两个凉亭之间的距离(如右图)，现测得m，m，，请计算两个凉亭之间的距离．
③如图，已知点A在圆O上，sin∠BAC=0,6，弦BC=3，求的个圆的直径
④如图6-2，已知AP=10，BP=17，AB=21，求三角形ABP的面积。

图1 图2 图3
⑤数学兴趣小组想测量一颗树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影子长为0.8米，同时另一名同学测量一颗树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图6-4），其影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度．
几何可以用“联想法”，代数也可以，如：通过一次函数构建一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式（组）的知识结构。（代数知识学生不怕，略。）
（5）实施“多题一解”，实现“多题归一” 掌握解题通法，大幅提升学生解题能力。
如果说“一题多解”是在拓宽思路，那么“多题一解”就是在举一反三。
如有中点的题目，一般用下列方法之一就能解决：
⑴面积问题找中线，连中线或延长边造中线
⑵已知直角三角形斜边中点利中直角三角边斜边上的中线等于斜边的一半
⑶作中位线造相似，特别是已知两边中点更是如此。
⑷见“小旗型”造全等，完成计算或证明
例10 ①如图1，△ABC的面积为5．把“延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，延长边AB到点F，使CD=BC，AE=CA，BF=AB，连结DE”叫做完成一次操作．则完成两次操作后得到的△GHM的面积为_____，完成n次操作后所得三角形的面积为_____。 图1图2图3图4
②如图2，在△ABC中，AC=BC=2,C=900,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交△ABC 的边AC、边CB于D、E两点。(1)三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并证明。(2) 在完成（1）后，再观察图，写一个新的发现。
③ (09大兴安岭26题)，已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．当点旋转到如图3的位置时，与有何数量关系？请写出猜想，并证明之．
④如图4，梯形ABCD的面积是4cm2，M为腰CD的中点，连结AM，BM，求的面积。
⑤(10北京西城二模)在△ABC中点P为BC的中点．延长AB到D使得BD=AC，延长AC到E使得CE=AB连结DE．请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系,写出并证明你的结论；图5
(二)搞好专题复习，提高优秀率
搞好专题复习，主要从两方面来着手:
一要整理好专题题目，带领学生进行好专题复习。二要研究中考题的出题思路与答题技巧。
去年我说第一条帮不上忙，今年我整理了一本二轮专题复习用书，如果老师们需要，请跟我联系。今年还是从第二方面谈谈自己的体会，和老师们交流：
第一、问题的解决不能等专题。要发现问题及时解决，方法在平时渗透，经常有小专题。比如上面谈到的特殊值问题、几何直观的培养、见中点怎么办等等，见缝插针。
第二、是我们要针对河北中考进行专项训练。
1、第23题的特点：“照着做”。
河北第23题的位置一般是一道阅读理解题、或操作探究题、或方案设计题、或定义新运算。这些题有共同的特点，就是：一般地，第一问都给出了解题策略或操作方法的提示，后面基本上照搬就可以了，即“照着做”。
下面举例说明：
例11-1 (07河北第23题10分)在图15中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例 当2b＜a时，如图14-1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究 （1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展 小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
例11-2．(08河北23题10分)在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
观察计算
（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）．
探索归纳
（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，
就（当时）的所有取值情况进
行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
例11-3．(09河北23题10分)如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB?=?c时，⊙O恰好自转1周．
（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB?=?2c，则⊙O自转 周；若AB?=?l，则⊙O自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC?= 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC?= 60°，则⊙O在点B处自转 周．
（2）如图15-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转 周．
拓展联想：
（1）如图15-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
（2）如图15-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
相比以住，2010年的河北第23题有了新的变化：不再提供解决方法与式例。因为本题的解法、思维过程很复杂，不单一。但它又从实物中抽象出了数学模型，这一来就简单多了，因为抽象出的数学图形就为问题的解决定了调，也可以照着做”。
例11-4．(10河北23题10分) 观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH?⊥l于点H，并测得OH?=?4分米，PQ?=?3分米，OP?=?2分米．
解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．
（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

正确做对第23题的关键是静下心来读懂它。
下面欣赏几道外省的同类题目：
1、 (10内江)阅读理解：们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点的对称中心是点则点的坐
标为_________；
（2）另取两点有一电子青蛙从点处开始依次关于点
作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，…则点的坐标分别为_________、_________.
拓展延伸：
（3）求出点的坐标，并直接写出在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标.
2．(10湖南永州)探究问题
(1)阅读理解：①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此为托勒密定理．
(2)知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图3，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB＋PC＝PA．
②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120o)的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图4，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上取一点P0，连接P0A、P0B、P0C、P0D．
易知P0A＋P0B＋P0C＝P0A＋(P0B＋P0C)＝P0A＋ ；
第三步：请你根据(1)①中定义，在图4中找出△ABC的费马点P，线段 的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难．为解决老百姓饮水问题，解放军某部到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120o)，现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
3．(10湖北咸宁)问题背景
（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积 ，
△EFC的面积 ， △ADE的面积 ．
探究发现
（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）[来源:学科网ZXXK]
中的结论求△ABC的面积．
4． (10江苏连云港)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是_____；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
5． (10青岛)问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个
正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
，整理得：，
我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：
结论2： ．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： .
验证3：
结论3： .
6．(本小题满分9分)
(10济南)已知：△ABC是任意三角形．
⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．
⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．
（请直接将该小问的答案写在横线上．）
7．(10江苏无锡)如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．本
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

2、第24题的特点：找两（或多）个多边形的复合图形在变换中的不变关系。
（1）特殊位置得结论，一般情况证明之；
（2）两条线段相等、多条线段关系和或差；
（3）两角关系相等互余或互补、交角一般等于特殊角（或等于背景多边形的内角或外角）。
（4）证明手段：利用或参照第一问（个别第二问）的方法。提示：注意利用背景特征。
例12-1．(08河北24题10分)如图1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
结论不变，方法照旧
例12-2．(09河北24题10分)在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
结论不变，方法参照旧
例12-3．（10河北24题）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1?=?
∠2?=?45°．　　（1）如图1，若AO?=?OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO?=?OB．
求证：AC?=?BD，AC?⊥?BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．
由上分析可知，第24题也是“照着做”，但它不同于23题的是，23题是在题目的第一问前两二问给出解决问题的思路与方法，让你照着做，24题则是你自己在第一问或前两问发现简单问题中的证法，然后在后面套用。
　　其它省市的考法也基本一样。请看下面外省市的几个例子：
1、 (10沈阳24)如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM(直线a于点M，CN(直线a于点N，连接PM、PN；
(1) 延长MP交CN于点E　(如图2)。( 求证：△BPM(△CPE；( 求证：PM = PN；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时
PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN
的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。
2、 (10抚顺25题)如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90, 连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；
(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；
(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.
3、(10晋江26题)如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.
(1) 填空：度；
(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；
(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.
4、 (10义乌23题)如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC= ▲ °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y与的函数关系式．
下面是与河北思路不同的题目，欣赏一下吧！
5、 (10宁德25题）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
6、(10大连23题)如图12，ACB=，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分
m=1（如图13）　　　　m=1，k=1（如图14）
　
3、第25题特点。
A 以各种实际为背景的纯代数类（即：函数、方程、不等式）实践与综合题（河北省2009年之前一直如此）；或以几何图形为背景的几何代数实践与综合题（河北省2009年如此，其它省市早已就有）。
B命题技术上采用“低起点、宽入口、坡度缓、步步高、窄出口”的分层考查的手段，即使平时及格水平的人，只要去做它，不要放弃，能做一步是一步，能得一分是一分，是能得到4分以上分数的。
C 本题的解法：可概括为“找到等量关系建立方程或函数式、找准不等关系建立不等式确定自变量取值范围、根据性质求最值”。
D 题型大约分为：一次函数方案设计类，二次函数求嬴利或投资本钱类、实抛物线（桥梁涵洞跳水等）类、求几何图形面积类、图形剪拼类、车辆行程（加速刹车）类、各种效率类等等。
审清题、读出题目中的数量关系加计算正确，此题多数学生可能得8分以上。
特别地，读题不完整、不能从题中读出有用信息、计算出错是解答本题时学生存在的主要问题。
选几道有代表性的题目好练练，让学生掌握函数综合应用类题的解法。11年应该考一次函数综合应用题，咱们先看下面几道题：
例13-1．（2010年石家庄市模拟）将右图所示的长方体石块（a > b > c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图13-1 ~ 图13-3所示．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
在这三种情况下，水槽内的水深h cm与注水时间 t s的函数关系如图13-4 ~ 图13-6所示．根据图象完成下列问题：（1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来；
（2）水槽的高= cm；石块的长a= cm；宽b = cm；高c= cm；
（3）求图13-5中直线CD的函数关系式；
（4）求圆柱形水槽的底面积S．
例13-2．(09河北25题4分）某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
2
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m = ，n = ；(……2分)
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；(……4分)
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，
并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
多少张？(……6分)
例13-3．(07河北第25题12)一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进 价（单位：元/部）
900
1200
1100
预售价（单位：元/部）
1200
1600
1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；(代数式2分)
（2）求出y与x之间的函数关系式；(方程3分)
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；(一次函数2分)
（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．(不等式5分)
10年一次函数综合应用题有不少好题，咱们再欣赏几道：
1.(10新疆)张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图（1）.然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图（2），中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长为，宽为，且
（1）请你求出图（1）中与的函数关系式；
（2）求出图（2）中与的函数关系式；
（3）在图（3）中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；
（4）根据以上讨论完成下表，观察与的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图（1）和图（2）的图形？说出你的理由.
2．(10东营)如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.
（1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽；
（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由.
3．(10十堰)如图所示，某地区对某种药品的需求量y1（万件），供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=－x + 70，y2=2x－38，需求量为0时，即停止供应.当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.
4．（10长春)如图①，A、B、C三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A、B、C三个容器的水量分别为yA、yB、yC(单位：升)，时间为t(单位：分)．开始时，B容器内有水50升．yA、yC与t的函数图象如图②所示．请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：
(1)求t＝3时，yB的值．
(2)求yB与t的函数关系式，并在图②中画出其图象．
(3)求yA∶yB∶yC＝2∶3∶4时t的值．
5．(10盐城)整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：
（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？
（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？
营销利润类的二次函数题，河北省的题就很有代表性：
例14-1．(10河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润?=?销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2?元的附加费，设月利润为w外（元）（利润?=?销售额－成本－附加费）．
（1）当x?=?1000时，y?= 元/件，w内?= 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
例14-2．(08河北25题12分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线的顶点坐标是．
每每题课本上就有，不再列举，二次函数综合应用较好的题不少，如：
1.(10本溪)丹东市“建设社会主义新农村”工作组到东港市大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌装置，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需要种子、化肥、农药等开支0.3万元。每公顷蔬菜平均可卖7.5万元。
（1）基地的菜农共修建大棚x（公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y（万元）,写出y关于x的函数关系式。
（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获利5万元收益，工作组应建议他修建多少公顷大棚？（用分数表示即可）
（3）除种子、化肥、农药投资只能当年收益外，其他设施3年内不需增加投资仍可继续使用。如果按三年计算，是否大棚面积越大收益越大？修建面积为多少是可以获得最大利润？请帮工作组为基地修建大棚提一条合理化建议。
2．(10重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：
周数x
1
2
3
4
价格y（元/千克）
2
2.2
2.4
2.6
进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－ x2＋bx＋c.
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；
（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．
（参考数据：372＝1369，382＝1444，392＝1521，402＝1600，412＝1681）
3．(09安徽23题14分)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发
量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标
系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，
以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量
与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经
销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零
售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售
的方案，使得当日获得的利润最大．
本题为：较新颖的图象类一次函数、二次函数综合题
河北省01、02、03、04、06五年连续考过的类似型
4．（09聊城23题10分)徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息(如图①)．大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图②)，跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m．
(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况，一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥？
本题为：较常见的桥梁类二次函数与方程综合题。河北省00年考过一道类似的跳水题。
5．(09吉林27题)某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中．准备在形如Rt的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
品种
红色花草
黄色花草
紫色花草
价格（元/米2）
60
80
120
设的长为米，正方形的面积为平方米，
买花草所需的费用为元，解答下列问题：
（1）与之间的函数关系式为 ；
（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求的长．
本题为：图形面积分割与二次函数综合题，和第26题的动不同。
7．（08聊城25题12分）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸
板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方
体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
本题为：图形的剪拼与二次函数的综合题。非常接近2009年河北省中考题。
个人认为：题型尽可能练到，但心里有个偏重。
4、第26题特点。
A 以平移、旋转、轴对称为手段，综合了相似三角形、直角三角形、四边形、中位线、面积公式、函数、函数、方程等多方面的知识，全面考查学生的阅读理解能力（包括对文字、符号、图形的理解）、观察分析能力、空间想象能力、猜想归纳能力以及分类讨论的数学思想。
B命题技术上采用“低起点、宽入口、坡度缓、步步高、窄出口”的分层考查的手段，即使平时及格水平的人，只要去做它，不要放弃，能做一步是一步，能得一分是一分，是能得到4分以上分数的。
C 本题的解法：可概括为“一图推得2分定基础、二析动点明状态、三用含t代数式表线段做准备、四看问题画出符合问题图形执果索因、五有要求的找相似（勾、锐）、六慎思分类是否齐全”。
D 题型大约分为：动点、动线、动定图、动变图类。
10年不再是动点动线的综合，成了点带动的图形变化，但变得是形，根本没变。
例15-1．(10河北)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD?=?6，BC?=?8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP?=?1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
例15-2 (08河北26题12分)如图15，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）．
（1）两点间的距离是 ；(勾2分)
（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由；(矩形2分)
（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；(相似与方程4分)
（4）连结，当时，请直接写出的值．(4分)
例15-3．(07河北第26题12)如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；(………方程2分)
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?？(………平行四边形与方程2分)
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） (………4分)
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．(4分)
例15-4(09河北26题12分)如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；(勾与相似2分)
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）(二次函数2分)
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；(直角梯形4分)
（4）当DE经过点C?时，请直接写出t的值． (相似4分)
再欣赏其它省份的动态几何题：
1. (10福州)如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H。
（1）求证：;
（2）设EF=，当为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面颊最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式。
2． (10青岛)已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
3．(10长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个
定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
4．(10广东)如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线时，可得，过三边的中点作PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为秒．试解答下列问题：
（1）说明∽QWP；
（2）设0≤≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问为何值时，PQW为直角三角形？当在何范围时，PQW不为直角三角形？
（3）问当为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
5．(10咸宁)如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当时，求线段的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
6. (10大连)如图15，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD//BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离，连接BF，设大 （1）△ABC的面积等于
（2）设△PBF的面积为，求与的函数关系，并求的最大值；
（3）当BP=BF时，求的值
7. (10荆州)如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．
8．(10温州)如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A ′C ′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．
9、(10宁波)如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为
（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的
中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。
（1）求的度数;
（2）当点F的坐标为(-4,0)时，求点G的坐标。
（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。
10．(10吉林)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2．设EP＝xcm，FQ＝ycm，解答下列问题：
(1)直接写出当x＝3时y的值；
(2)求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
(3)当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？
(4)直接写出线段PQ在运动过程中成能扫过的区域的面积．
友情提示：
1、专题复习别丢掉基础。否则期末70分左右学生收支相抵，60分以下学生这段时间基本浪费；
2、精讲精炼不图快，一步一脚印抓落实。
综上可以确定地说：
即使平时及格水平的人，只要去做它，不要放弃，能做一步是一步，能得一分是一分，是能得到4分以上分数的。
不管动点、动线、动定图、动变图，“一相似（勾）、二分类，执果索因”基本可以概括本题的解法：
（三）、套题阶段，着重训练学生对考试的把握能力
1、套题训练即实战训练，需要让学生体验怎样处理好以下关系：
A、把握审题与解题的关系，不做哭了半天不知谁死了的事；
B、把握“会做”与“得分”的关系，不犯低级错误；记往“会的不失分就能得高分”。
C、把握快与准的关系，掌握好答题节奏；一次正确、“准”能节时、欲速则不达。
D、把握难题与容易题的关系，做到先易后难，先简后繁，易不随意，难不畏惧。
附：训练学生对考试时间的把握。
第一步：让学生按1-12、13-18、19、20、21、22、23、24、25、26进行计时，并提示。考后体会1-18题中一个2分或3分的题有的用时比19-22中8分9分的题用时还长，得不偿失。分析自己的时间哪儿用的好？哪儿需要改进？以便把会的答完，不能前松后紧。
第二步：让学生按1-12、13-18、19-22、23、24、25、26进行计时，分块计时。让学生对时间的把握再上一个层次：
1、好学生：让能考105以上的学生体会到，1-18题用时应在15-20分较为合理，19-22题用时15-25分较为合理，用时少了，就会导致审题不清、计算失误，用时多了影响后面的题目。
2、中上学生：让能考85-100分的学生体会到，会的题不失分是最主要的
3、85分以下的学生：用90分钟左右时间，把会做的做完了，该检查的也检查了，后30分钟把不会的也填上了。
2、培养学生遇错必克的习惯，纠正只做不纠一错再错效率低下的作法。
以上所讲，可以归结为：
让上考场的主人学生自身动起来，咱才不对牛弹琴，咱干起来才更有劲、更有成效。
精研11中考说明，拿准考试范围、难度，不做无用功，拿准考试新要求不遗漏；
夯实基础该得的分不失手，砸死常考的题确保平均分；
相互配合力争资料最优化，交流心得力争教学效果最优化；
捕捉中考信息，适时调整复习“对路，到位”不跑偏；
“静做”后四题力争最优成绩；
练好应对考试的策略自信进考场；
易不随意＋难不畏惧＝自己的最好成绩；
最后，祝大家的六月捷报频传，有个好收成。
2011年3月6日

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