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高频考点1 集合与简易逻辑
命题动向
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础，是中学数学四大符号表述系统之一．本知识板块在近年高考命题中有以下特点：
（1）对集合运算、集合有关术语与符号、在集合问题中逆求参数值问题、集合的简单应用、命题真假的判定、四种命题间的关系、充要条件的判定等基础知识的考查，多以选择题、填空题形式出现，一般难度不大，属于基础题；
（2）以函数与方程、三角函数、不等式、向量、圆锥曲线等知识为内核，以集合语言和符号语言为外在表现形式，结合简易逻辑知识考查数学思想与方法，多以解答题形式出现，这类题往往具有“稳中求新”、“稳中求活”等特点．
押猜题1
对于集合、，定义，.设，，则（ ）
A. B. C. D.
解析 由题意，.故选D.
点评 本题是一道信息迁移题，弄懂及的本质含义并掌握集合的基本运算是正确求解的关键.
押猜题2
已知命题不等式的解集为；命题在三角形中，是成立的必要而非充分条件，则（ ）
A．真假 B．且为真
C．或为假 D．假真
解析 依题意，由得解得所以命题正确；在三角形中， 所以命题是假命题.故选A.
点评 本题以命题真假的判断为载体，考查解不等式和三角形中的三角变换，值得考生细细品味.
高频考点2 函数
命题动向
函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用．
押猜题3
已知是定义在R上的偶函数，且对于任意的R都有若当时，则有（ ）
A． B．
C． D．
解析 的最小正周期为4.因为是定义在R上的偶函数，则则 因为当时，为增函数，故故选A.
点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题.
押猜题4
（理）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.
解析 因为所以
（1）令或，所以的单调增区间为和；
令或
所以的单调减区间为和
（2）令或函数在上是连续的，又所以，当时，的最大值为
故时，若使恒成立，则
（3）原问题可转化为：方程在区间上恰好有两个相异的实根.
令则令解得：
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增.
在和处连续，
又
且当时，的最大值是的最小值是
在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：
点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能.
（文）已知函数与函数互为反函数，且函数与函数也互为反函数，若，则=（ ）
A．0 B．1 C． D．
解析 求得函数的反函数为又函数与函数也互为反函数，所以 故选C.
点评 本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出是解题的关键，是推理的基础，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度.
高频考点3 数列
命题动向
数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，它蕴含着高中数学的四大思想及累加（乘）法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等基本数学方法；本部分内容在高考中的分值约占全卷的10％~15％，其中对等差与等比数列的考查是重中之重．
近年来高考对数列知识的考查大致可分为以下三类：
（1）关于两个特殊数列的考查，主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前项和公式等，多以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于中低档题；
（2）与其他知识综合考查，偶尔结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等知识考查，以最值与参数问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现，一般难度比较大，多为压轴题，并强调分类讨论与整合、转化与化归等数学思想的灵活运用；
（3）数列类创新问题，命题形式灵活，新定义型、类比型和探索型等创新题均有出现，既可能以选择题、填空题形式出现，也可能以压轴题形式出现．
押猜题5
已知为等差数列为等比数列，且则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析 依题意得解得所以由得故选B.
点评 本题考查等差数列和等比数列的概念和性质，将简单对数不等式的解法融入其中考查体现了学科内知识的交汇性.
押猜题6
（理）已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：且求证：；
（3）求证：
解析 （1）当时，
两式相减得：
可得，
（2）①当时，不等式成立.
②假设当时，不等式成立，即那么，当时，
所以当时，不等式也成立.
根据①、②可知，当时，
（3）设则
函数在上单调递减，
当时，


点评 本题是数列、数学归纳法、函数、不等式等的大型综合题，衔接自然，叙述流畅，毫无拼凑的痕迹，情景新颖，具有较好的区分度，入口较宽，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，同时还要求学生具有较高的数学素养和数学灵气.该题已达到高考压轴题的水准.
（文）已知函数对任意实数都满足：且
（1）当N*时，求的表达式；
（2）设N*),是数列的前项的和，求证：；
（3）设N*),设数列的前项的和为，试比较与6的大小.
解析 （1）
N*),
是以为首项，以为公比的等比数列，
即N*).
（2）
①
②
①－②得：


N*,
（3）
N*,
点评 本题是函数与数列的交汇综合题，体现了在知识交汇点处设计试题的高考命题思想.其中第（1）问所用的“赋值法”，第（2）问所用的“错位相减法”，第（3）问所用的“裂项相消法”等是高考必考的重要方法和技巧.
高频考点4 三角函数
命题动向
三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．本章主要包括以下内容：
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、三角函数的图象和性质、解斜三角形．全国各地高考都很重视对三角函数的考查，主要考查三角函数的概念、恒等变换、图象和性质、解斜三角形．
解斜三角形是平面几何研究的主体内容，是教学大纲要求熟练掌握的重点知识，也是高考常考的题型之一，支撑这一知识板块的核心是正弦定理和余弦定理．通过对近年高考题的分析，我们不难发现，高考一般以直接解斜三角形或者以平面向量、立体几何、解析几何、实际生活等问题为载体考查这一问题．高考对考生应用正弦、余弦定理的考查主要体现在以下两个方面：
其一是考查考生是否能通过对正弦、余弦定理变形技巧的熟练掌握，实现边角转换；其二是在解斜三角形问题中，考查考生能否根据题目的条件，实现正弦、余弦定理的优化选择，得到最佳解答.
押猜题7
关于函数有下列命题：
①其表达式可写成；
②直线是函数图象的一条对称轴；
③函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；
④存在，使得恒成立.
其中正确的命题序号是_________.（将你认为正确的命题序号都填上）
解析 对于有
而对于则有所以①错误；因为所以②正确； 的图象是由的图象向右平移个单位得到的，所以③错误；因为是函数的最小正周期，取所以④正确.故应填②④.
点评 本题给出多个命题，要求答题者对每个备选命题判断其真伪性，填写满足要求的命题序号.这是近年出现的新题型，属于选择题中的多选题，排除了“唯一性”中“猜”的成份，多个结论的开放加大了问题的难度，必须对每个备选命题逐一研究其真伪性，才能探索出正确答案，这类题型考查容量大，多选或少选一个全题皆错.
押猜题8
在中，、、分别为角、、的对边，若，，且.
（1）求角的度数；
（2）当，时，求边长和角的大小.
解析 (1)，
.
，
即，就是.又，.
（2），即.①
在中，由余弦定理，得
，即.②
由①、②解得，或.
当时，由正弦定理得；
当时，，.
综上，或.
点评 本题是一道用平面向量“包装”的三角题，考查三角形中的三角函数问题，其中正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等的参与，给本题增色添彩.本题难易适中，能有效稳定考生的考试情绪，吊起考生的解题胃口.
高频考点5 平面向量
命题动向
平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理及坐标运算、数量积及非零向量的平行与垂直等．平面向量的加减运算将平面向量与平面几何联系起来；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础，它揭示了平面向量的基本结构；平面向量的坐标运算，将平面向量的运算代数化，实现了数与形的紧密结合．平面向量来源于实践，又应用于实际，是高中数学中的知识工具，应该给予重视．
本部分内容在高考中的命题热点是：向量加减法的坐标运算；向量加减法的几何表示；实数与向量的数乘的基本运算；实数与向量积的坐标运算．
押猜题9
已知的外接圆的圆心为，且则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
解析 设的外接圆的半径为R，
则
由已知得所以
所以
即所以故选D.
点评 涉及三角形中的向量的数量积问题，常常可以考虑利用向量的数量积的定义、正弦定理、余弦定理来解决.
押猜题10
已知向量满足且若映射则在映射下，向量（其中的原象的模为________.
解析 设则由题意，得解得
故应填
点评 本题考查平面向量的坐标运算和三角变换的基本技能，其中映射的参与使本题显得新颖别致，韵味十足.
高频考点6 不等式
命题动向
不等式是解决初等数学问题的重要工具，它既可以解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程相结合来解决代数、几何及各实际应用领域中的问题．在高考注重改革和创新的今天，对不等式应用的考查所占比重越来越大，在高考卷中，不等式应用越来越普遍地渗透到考题之中，既可以通过小题考查不等式基础知识和基本公式的应用，也可以在大题、压轴题中考查学生的逻辑思维和综合解决问题的能力．
押猜题11
设以下不等式：①；②；③；④中恒成立的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解析 对于①，由得即
对于②，由得恒成立；
对于③，
因此；
对于④，由得
即恒成立.
因此，不等式②④恒成立.故选D.
点评 本题考查不等式的性质和不等式证明的基本方法，是一道中规中矩，注重通性通法的基础题.
高频考点7 直线和圆的方程
命题动向
直线在高考中的考查热点之一是与直线有关的基本概念（如直线的倾斜角、斜率、截距、夹角、到角、两直线平行与垂直的条件等）与基本公式（如过两点的斜率公式、两点间的距离公式等），二是求不同条件下的直线方程．
近几年高考对圆的考查有以下几种形式：
考查位置关系，重点是直线与圆的位置关系；考查求解圆的方程；利用圆的参数方程求最值或范围问题．在以解析几何问题为主的大题中圆与直线及圆锥曲线的综合问题也占有一定的比重．
这类试题所考查的数学思想与方法有：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想及换元法、待定系数法等．
线性规划的考查特点：一是以选择题、填空题形式将直线方程、不等式、最值等内容融为一体，考查线性规划的基础知识与基本应用；二是将线性规划与实际生活或其他知识结合而命制试题，考查考生的综合素质.
押猜题12
若直线与圆交于N两点，且N关于直线对称，动点在不等式组所表示的平面区域的内部及边界上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析 由题意可知直线与直线垂直，所以，由题意知圆心在直线上，可求得.则不等式组即为其所表示的平面区域如图中阴影部分所示，的几何意义是点与平面区域上的点的连线的斜率.而所以的取值范围为：故选A.
点评 本题考查了直线与圆的位置关系，两直线垂直时其斜率关系的应用，线性规划的运用.运用“等价转化”的数学思想，将位置关系转化为求斜率范围的问题.

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