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2011高考必备之_精选数学压轴题
1.（海淀区高三年级第一学期期末练习）
给定项数为的数列，其中.
若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列是“k阶可重复数列”，
例如数列
因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
（Ⅰ）分别判断下列数列
① ②
是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为的数列一定是 “3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.
解：（Ⅰ）记数列①为，因为与按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为，因为、、、、 、没有完全相同的，所以不是“5阶可重复数列”. ……………….3分
（Ⅱ）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.若m＝11，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以，要使数列一定
是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11. ……………….8分
（III）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项，则存在，
使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，
如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等.
此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾！所以与按次序对应相等，从而
……………….14分

2. (湖北省武汉地区重点大学附中六校第一次联考)设函数，其中为正整数.（Ⅰ）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.
2.解：（1）在上均为单调递增的函数. …… 1分
对于函数，设 ，则
，
，
函数在上单调递增. …… 3分
（2） 原式左边


. …… 5分
又原式右边.
. …… 6分
（3）当时，函数在上单调递增，
的最大值为，最小值为.
当时，， 函数的最大、最小值均为1.
当时，函数在上为单调递增.
的最大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
的最大值为，最小值为. …… 9分
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，对任意且
，
以及 ，
，从而 .
在上为单调递增，则
的最大值为，最小值为. …… 11分
当为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数，有
，
.
函数的最大值为，最小值为.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 13分
3.（绵阳市高中2010级第二次诊断性考试）设数列{an}的各项均为正数，它的前n项和为Sn（n∈N*），已知点(an，4Sn)在函数f?(x)=x2+2x+1的图象上．
（1）证明{an}是等差数列，并求an；
（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由
3.解：（1）∵ ，
∴ (n≥2)．
两式相减得．
整理得 ，
∵ ，
∴ （常数）．
∴ {an}是以2为公差的等差数列． 又，即，解得，
∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分
（2）由（1）知，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．
由
≥≥=0，
即≥．………………………………………………………………7分
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则， ∵
，
把代入上式化简得
=≥0，
∴ Sm+Sp≥2Sk． 又=
≤
，
∴ ≥．
故原不等式得证．………………………………………………………………14分
4.(湖北省黄冈中学2010届高三10月份月考)
已知数列中，，且。
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；
(Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意，
都有 ．
解：(Ⅰ)由题知， ，
由累加法，当时，
代入，得时，
又，故． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（II）时，．
方法1：当时，；当时，；
当时，．
猜想当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分
下面用数学归纳法证明：
①当时，由上可知成立；
②假设时，上式成立，即.
当时，左边
，所以当时成立．
由①②可知当时,．
综上所述：当时,；当时, ；
当时,． ．．．．．．．．．．．．．．．10分
方法2：
记函数
所以 ．．．．．．．．．6分
则
所以．
由于，此时；
，此时；
，此时；
由于，，故时，，此时．
综上所述：当时，；当时,． ．．．．．．．．．．．10分
（III）
当时，
所以当时
＋．
且
故对，得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
…………………………14分

5.(湖南省师大附中2010届高三第二次月考数学理试题）（本小题满分13分)
已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列的前项之和为，求证：
.
【解】（Ⅰ）由题设. （1分）
由已知，所以.又b＞0，所以a＜3. （2分）
因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有. （3分）
因为，故. （4分）
（Ⅱ）设，即. （5分）
因为，则，所以. （6分）
因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3. （7分）
故. （8分）
（Ⅲ）由题设，. （9分）
当时，，当且仅当时等号成立，所以 （11分）
于是. （12分）
因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则
. (13分)
）

6.(湖南省长沙市一中2010届高三第四次月考试卷)对于函数，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．
(Ⅰ)试求b、c满足的关系式；
(Ⅱ)若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn·f()＝1，求证：＜＜；
(Ⅲ)设bn＝－，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009－1＜ln2009＜T2008．
(Ⅰ)设
∴ ………………………………2分
(Ⅱ)∵c＝2 ∴b＝2 ∴，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．
当n≥2时，2 Sn -1＝an－1－an－12 ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
当n＝1时，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．………………4分
∴要证待证不等式，只要证 ，
即证 ，
只要证 ，即证 ．
考虑证不等式(x＞0) **．…………………………………………………6分
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴g '(x)＝， h '(x)＝，
∵x＞0， ∴g '(x)＞0， h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．
令则**式成立，∴＜＜，……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn＝，则Tn＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，
得，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．…………………………………………………………………12分
7.(南开中学高2010级高三10月月考试题)设函数为奇函数，且，数列与满
足如下关系：
(1)求的解析式；
(2)求数列的通项公式；
(3)记为数列的前项和，求证：对任意的有
解：(1)由是奇函数，得，由，得故
(2)Q
∴
∴，而，∴
证明：(3)由(2)
要证明的问题即为
Q 当时，
当时， ∴
则
故
则
得证
8. (江西师大附中高三数学（理科）期中考试试卷)
已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，且
求证：；
（3）求证：.
8．解：（1）当时，，
，可得：，
．
可得，
（2）当时，，不等式成立．
假设当时，不等式成立，即那么，当时，
所以当时，不等式也成立.
根据（），（）可知，当时，
（3）设
在上单调递减，
∵当时，
，
9(东北育才高中部高三数学月考试题（理科）
已知函数相切，
（1）求的值
（2）若方程上有且仅有两个解求的取值范围，并比较的大小。
（3）设，求证：
（1）设切点，则，，
， ……………………3分
（2）由，得
令，
在（0，1）上，，故在（0，1）单调减
在（1，）上，，故在（1，）单调增
若使图像内与轴有两个不同的交点，则需
，此时
所求的范围是。 …………………………… 8分
由上知，方程上有且仅有两个解，满足，
（3）求导数可证f(x)≤x，即ln(x+1) ≤x …………………………… 10分
…………………………… 12分
10.设函数的定义域为，当时，恒有，且过图象上任意两点的直线的斜率都大于1，求证：
（1）为增函数；
（2）；
（3）.
证明：（1）设
为增函数
（2）函数的定义域为，当时，恒有
若，则不符合要求
若，则得不符合题意要求
（3）过图象上任意两点的直线的斜率都大于1

；
过图象上任意两点的直线的斜率都大于1
综上，.
11.设, 求证：

，所以结论成立
12.在平面直角坐标系，已知平面区域 A={ (x,y)| x + ty < 2,且tR,，若平面区域B={ (x, y ) | (x+y, x-y )A }的面积不小于1，则t的取值范围为t 1 .
13是否存在a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由。
假设存在这样的a，b，使得对任意的x∈[0，1]成立，则
①，两式相加可得0＜＜3，[来源:21世纪教育网
所以函数f(x)在区间[]递减，在区间[]递增,
所以②，
由不等式组中的第二式加第三式可得，
由不等式组中的第一式加第三式可得。 …………10分
记，，a=3，
又，在为减函数，
又，所以，所以，
所以a=1，代入②式可得，所以存在a=1，，
使得对任意的x∈[0，1]成立。 …………16分
14.函数＝＋＋，x∈(0，＋∞)．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意正数，证明：．
解 （1）略
（2）对任意给定的，，因为
，若令，则 ①
②
（一）先证：因为，，
又由≥，∴≥6
所以
（2）.再证：由①、②中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0（Ⅰ）.当a+b≥7，则a≥5，∴x≥a≥5
，
∴
（Ⅱ）若a+b<7，由①得，∴ ③
因为
∴ ④
同理得 ⑤，于是
⑥
今证明 ⑦
因为，则只要
只要，即证，即a+b<7，而这显然成立。
综上，对任意正数，．

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