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高考数学递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例3:已知， ，求。
解：
。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列中，若，则该数列的通项_______________
（key:）
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例5:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例6: 数列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
练习:已知数列中，,,，求。
。
变式:（2006，福建,文,22）
已知数列满足求数列的通项公式；
（I）解：
　　
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：利用与消去 或与消去进行求解。
例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛｝中，，求数列
解：由两边取对数得，
令，则，再利用待定系数法解得：。
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
变式:（2006，江西,理,22）
已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n(1）
类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列满足，若，则的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
高考数学递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
例3:已知， ，求。
解：
。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
类型3 （其中p，q均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4:已知数列中，，，求.
解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列中，若，则该数列的通项_______________
（key:）
类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。
例5:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。
例6: 数列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
练习:已知数列中，,,，求。
。
变式:（2006，福建,文,22）
已知数列满足求数列的通项公式；
（I）解：
　　
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：利用与消去 或与消去进行求解。
例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
类型7
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛｝中，，求数列
解：由两边取对数得，
令，则，再利用待定系数法解得：。
类型8
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
变式:（2006，江西,理,22）
已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n(1）
类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列满足，若，则的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．

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