资源简介

得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１．要使
３－x＋
１
有意义,则x应满足
(D
)
２x－１
A．１２≤x
≤３
B．x≤３
且x≠１２
C．１＜x＜３
D．１２
２＜x≤３
２ 若
x－２y
＋
y＋２＝０,则xy的值为
(A
)
A．８
B．２
C．５
D．－６
３
１
的有理化因式是
(A
)
x－
y
A
x＋
y
B
x－
y
C a
x－b
y
D a
x＋b
y
４ 下列计算中,正确的是
(D
)
A (
－５)２＝－５
B －(
－５)２＝－５
C －(
－５)２＝５
D
(－５)２＝５
５ 小明的作业本上有四道题:①
１６a４＝４a２;②
５a
１０a＝５
２
a;③a
１＝
a２ １a
a＝
a
;④
３a－
２a＝
a．做错的题是
(D
)
A ①
B ②
C ③
D ④
６ 下列二次根式中,是最简二次根式的是
(C
)
A
１５
B
０ ５
C
５
D
５０
７ 比较２
７,１
６２,
１７的大小顺序是
(B
)２
２
A ２
７２＜
１７＜
１
６２
B ２
７＜１２
２
２
６２＜
１７
C １２
６２＜２
７
２＜
１７
D
１
２
６２＜
１７＜２
７
２
—
１０１
—
８．一次函数y＝(３－a)x＋a－２的图象经过第一、二、三象限,化简
a２－４a＋４＋
９－６a＋a２,得
(C
)
A．５－２a
B．２a－５
C．１
D．－１
９ 计算(２
２－
３２＋
１２８)
３的结果是
(B
)
A
６
B ６
６
C ６
３
D ４
６
１０ 设４－
２的整数部分为a,小数部分为b,则a－１的值为
(b
A
)
A １－
２２
B
２
C １＋
２
２
D －
２
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 观察分析下列数据,寻找规律:０,３,６,３,２
３,
１５ ,那么第
１０个数据应是　３
３　．
１２．已知实数x,y满足|x－４|＋
y－８＝０,则以x,y的值为两边长的等
腰三角形的周长是　２０　．
１３．若a＋１＝
５,且a
０＜a＜１
,则a－１的值为a
　－１　．
１４．化简(７－５
２)２０１５×(－７－５
２)２０１６的结果为　－７－５
２　．
三、解答题(本大题共２小题,第１５题２０分,第１６题１０分)
１５ 计算:
(１)(１
９６－
０ ５－
８)－(２
３
０ １２５－
６
);
解:原式＝７３
６－
３
４
２
(２)７
a－(a
１－４
ab２)(a
b≥０
);
解:原式＝(６＋４b)a
(３)１０
１[(５＋１)２
(５－１)２];５
２
－
２
解:原式＝１０　
(４)(２
５＋
３)(２
５－
３)－２
５＋(３)２．
解:原式＝２０－２
５
—
１０２
—
１６ 解下列不等式与方程
(１)３x＋１＜２
２＋２x;
(２)５x＝(５＋
３)x＋２．
解:x＞－２
６－４
２＋
３＋２
解:x＝－
２
３
３
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７．若６＋
５与６－
５的小数部分分别为a,b,求a２＋３ab＋b２
的值．
解:∵
４＜
５＜
９,∴２＜
５＜３,
则８＜６＋
５＜９,
即６＋
５的整数部分为８,
∴a＝６＋
５－８＝
５－２;
由２＜
５＜３得－３＜－
５＜－２,
则３＜６－
５＜４,
即６－
５的整数部分为３,
则b＝６－
５－３＝３－
５,
∴a＋b＝１,
于是a２＋３ab＋b２＝(a＋b)２＋ab＝１＋(５－２)(３－
５)
＝５
５－１０．
１８．有一道题“先化简,再求值:(x－２＋
４x
)÷
１x＋２
x２－４
x２
,其中
－４
x＝
－
３”,小红做题时把“x＝－
３”错抄成“x＝
３”,但她的计算结果
也是正确的,请你解释这是怎么回事．
解:(x－２＋
４x
１x＋２
x２
)÷
－４
x２－４
(
＝［
x－２
)２
４x
(
］÷
１
x＋２)(x－２)＋x２－４
x２－４
x２＝
－４x＋４＋４x２
÷
１
x
－４
x２－４
＝x
２＋４
２
×(x
－４
x
２－４)
＝x２＋４
当x取－
３或
３时,原式＝７,与符号无关．
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１０３
—
五、(本大题共２小题,１９题１０分,２０题８分)
１９ 已知x＝
３＋
２,y＝
３－
２,求:
(１)y
x;x＋y
(２)２x２＋６xy＋２y２
的值
解:x＋y＝２
３,xy＝１,
２
２
２
(１)
x
＋y
(
原式＝
x＋y
)－２xy
；
xy
＝
xy
＝１２－２＝１０
(２)原式＝２(x＋y)２＋２xy＝２４＋２＝２６
２０．根据爱因斯坦的相对论,当地面上经过１秒钟时,宇宙飞船内只经
过
１－(r)２秒,公式内的r是指宇宙飞船的速度,c是指光速(约c
３０万千米/秒),假定有一对亲兄弟,哥哥２３岁,弟弟２０岁,哥哥乘
着以０．９８倍光速的速度飞行的宇宙飞船经过５年宇宙旅行后回
来了,这个５年是指地面上的５年,所以弟弟的年龄为２５岁,可是
哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁,只有２４岁,就这样,宇宙旅
行后弟弟比哥哥反而大了１岁,请你用以上公式验证一下这个结
论．
解:根据题意得,
当t地面
＝１秒时,
t
２飞船
＝
１－０．９８
＝
(１＋０．９８)(１－０．９８)
＝
１．９８×０．０２
＝
０．０１２×３９６
＝０．０１×
３９６
≈０．０１×２０
＝０．２(秒),
所以t地面∶t飞船
＝１∶０．２＝５∶１．
即地面上经过５年,宇宙飞船上才经过１年,所以结论是正确的．
—
１０４
—
六、(本大题满分８分)
２１
已知a、b
满足
４a－b＋１＋
１b－４a－３＝０,求
２a(
b３
a
÷
１
)的值
－b

ì ４a－b＋１＝０,
解:由题意,得
í
１

b－４a－３＝０,３
{a＝－１,∴
b＝－３,
原式＝２b
－a＝－６
七、(本大题满分９分)
２２ 如图,一个长方形被分割成四部分,其中图形①、②、③都是正方
形,且正方形①、②的面积分别为４和３,求图中阴影部分的面积
解:已知正方形①、②的面积分别为４和３,可
得正方形①、②的边长分别是２和
３,则
有正方形③的边长为２－
３,
长方形的长、宽分别为２＋
３和２,
阴影部分的面积＝长方形的面积－正方形①的面积－正方形②的
面积－正方形③的面积＝２(２＋
３)－４－３－(２－
３)２＝６
３－１０
—
１０５
—
八、(本大题满分９分)
２３ (拓展创新题)我们知道,在求某些代数式的值时,若直接求这个代
数式的值不容易求出,则可以通过求它的倒数或平方来完成．如:
２
２
已知x＋１＝３,求
x
．若直接求
x４
４
的值则不容易求出,我们x
x
＋１
x
＋１
４
不妨求其倒数x
＋１
x２
的值．
∵x＋１x＝３
,∴(x＋１)２＝３２,x
∴x２＋２x １＋１
,x
x２＝９
４
４
∴x２＋１＝７,而x
＋１＝x
＋１
２x２
x２
x２
x２＝x
＋
１
２＝７,x
∴
x
２
１
x４＋１＝７．
试用上述数学思想,求
３－
５－
３＋
５的值．
解:∵(
３－
５－
３＋
５)２
＝３－
５＋３＋
５－２
３－
５·
３＋
５
＝６－２×２＝２,
∵
３－
５－
３＋
５＜０,
∴
３－
５－
３＋
５＝－
２
—
１０６
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得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１．下列各方程中,是一元二次方程的为
(D
)
(１)y－y２＝１;(２)l２＝２;(３)１２＝３;(４)
x２－x＝０;(４
x
５
)x３－x２＝
５;(６)(x２＋１)２＋x－２＝０
A．(１)、(２)、(３)
B．(２)、(３)、(４)
C．(１)、(２)、(６)
D．(１)、(２)
２ 对于形如(x＋m)２＝n的方程,它的解正确表达式为
(B
)
A 当n≥０时,x＝m±
n
B 当n≥０时,x＝±
n－m
C 当n≥０时,x＝±
n－m
D 可用直接开平方法求得x＝±
n
３ 若m
为任意实数,则方程x２－mx－１＝０的根的情况是
(C
)
A 有两个相等的实数根
B 有两个实数根
C 有两个不相等的实数根
D 没有实数根
４ 用配方法解一元二次方程x２＋４x－１＝０时,配方结果正确的是
(C
)
A (x＋２)２＝１
B (x＋２)２＝４
C (x＋２)２＝５
D (x＋２)２＝３
５．已知关于x的一元二次方程x２－６x＋k＋１＝０的两个实数根是x１,
x２,且x２１＋x２２＝２４,则k的值是
(D
)
A．８
B．－７
C．６
D．５
６．方程(k－１)x２－
１－kx＋１＝０有两个实数根,则k的取值范围是４
(D
)
A．k≥１
B．k≤１
C．k＞１
D．k＜１
７ 若(a２＋b２－３)２＝２５,则a２＋b２
的值为
(A
)
A ８
B ８或－２
C －２
D ２８
８．在一次新商品交易会上,各位客户之间都要相互握一次手表示友好．已
知所有客户共握手１１０次,若有x名客户,依题意可列方程为
(C
)
A．x(x－１)＝１１０
B．x(x＋１)＝１１０
—
１０７
—
x(C．
x－１
)
(
)
２
＝１１０
D．
xx＋１
２
＝１１０
９ (２０１５年佛山市)如图,将一块正方形空地划出
部分区域进行绿化,原空地一边减少了２m,另
一边减少了３m,剩余一块面积为２０m２
的矩形
空地,则原正方形空地的边长是
(A
)
A ７m
B ８m
C ９m
D １０m
１０．某中学图书馆添置图书,用２４０元购进一种科普书,同时用２００元
购进一种文学书,由于科普书的单价比文学书单价高出一半,因此
学校所购买的文学书比科普书多４本,求文学书的单价,设这种文
学书的单价为x元,则根据题意所列方程正确的是
(B
)
A．１．５×２００－２４０＝４
B．２００－２４０x
x
x
１．５x＝４
C．２４０
２００
１．５×２００
２４０１．５x－
x
＝４
D．
x＋４
＝
x
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 若关于x的一元二次方程(k－３)x２＋２x＋k２－９＝０的常数项为
０,则k的值为　－３　
１２ 已知实数a、b满足a２－３a＋２＝０,b２－３b＋２＝０,则(a＋b)２－３(a
＋b)－２ab＝　－４　
１３ 某制药厂两年前生产１吨某种药品的成本是１００万元,随着生产
技术的进步,现在生产１吨这种药品的成本为８１万元,则这种药
品的成本的年平均下降率为　１０％
　．
１４ 在５月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛,当时洪水流速为
１０千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最
大速度航行１０千米所用时间,比以最大速度逆流航行１０千米所
用时间少用８分钟,则该冲锋舟在静水中的最大航速为　４０　千
米/时
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 用适当的方法解方程
(１)(x＋２)２－２５＝０;
解:可用开平方法求解,
解得x１＝３,x２＝－７
(２)x２＋４x－１＝０．
解:可用配方法求解,
解得x１＝－２＋
５,x２＝－２－
５
—
１０８
—
(３)(２x＋１)(４x－２)＝(２x－１)２＋２
解:用公式法求解,
±
解得x＝－１
６２
(４)(x＋４)２＝５(x＋４)
解:可用因式分解法求解,
解得x１＝－４,x２＝１
１６ 已知关于x的一元二次方程x２＋(２m－１)x＋m２＝０有两个实根
x１、x２．
(１)求实数m
的取值范围;
(２)当x
２－x
２１
２
＝０,求m
的值．
解:(１)由题意有
Δ＝(２m－１)２－４m２≥０
解得m≤１４．
(２)由x２１
－x２２
＝０,
得(x１＋x２)(x１－x２)＝０．
∵x１＋x２＝－(２m－１)≠０,
∴x１－x２＝０,即x１＝x２,
则
Δ＝０得m＝１４．
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 已知关于x的方程x２－２(m－１)x＋m２－３＝０有两个不相等的实
数根
(１)求实数m
的取值范围;
(２)若a、b是该方程的两个根,求代数式[a２－２(m－１)a＋m２][b２
－２(m－１)b＋m２]的值
解:(１)Δ＝４(m－１)２－４(m２－３)＝－８m＋１６,
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞０,即－８m＋１６＞０,∴m＜２,
∴实数m
的取值范围是m＜２．
(２)若a、b是方程的两个根,
则a２－２(m－１)a＋m２－３＝０,
即a２－２(m－１)a＋m３＝３,
同理b２－２(m－１)b＋m２＝３,
∴原式＝３×３＝９
—
１０９
—
１８ 已知实数x１、x２、c是△ABC
的三边长,c＝５,且满足x
２
２１
＋x２
＝
c２,其中x１、x２
是关于x的一元二次方程x２－(２m－１)x＋４(m－
１)＝０的两根,求m
的值
ìΔ≥０,
:
解
由题意,得
íx１＋x２＝２m－１,
x１·x２＝４(m－１),
∵x２＋x２＝c２＝２５,∴(x
＋x
)２１
２
１
２
－２x１x２＝２５,
∴(２m－１)２－８(m－１)＝２５,解得m＝４或m＝－１．
当m＝４时,原方程为x２－７x＋１２＝０,
∴x１＝３,x２＝４,符合题意．当m＝－１时,
原方程为x２＋３x－８＝０,
x
＝－３＋
４１１
,x
＝－３－
４１２
,２
２
∵x２＜０,不合题意,应舍去,
∴m＝４
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９ 设x１、x２
是关于x的一元二次方程x２＋２ax＋a２＋４a－２＝０的两
个实数根,当a为何值时,x
２１
＋x
２２
有最小值
最小值是多少
解:由根与系数的关系,得x１＋x２＝－２a,x１·x
２２＝a
＋４a－２,
∴x２＋x２
２
２
２１
２
＝(x１＋x２)－２x１x２＝(－２a)－２(a
＋４a－２)
＝２a２－８a＋４＝２(a－２)２－４,
∵方程有解,∴Δ＝(２a)２－４(a２＋４a－２)≥０,即a≤１,２
所以当a＝１时,x２１
＋x２２
取最小值１２
２．
２０．如图所示,在长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角都剪去一个
边长为x
的正方形．
(１)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积;
(２)当a＝６,b＝４,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正
方形的边长．
解:(１)ab－４x２
(２)６×４－４x２＝４x２,
解得x１＝
３,x２＝－
３(舍),
即正方形的边长为
３．
—
１１０
—
六、(本题满分１２分)
２１ 为落实素质教育,促进学生全面发展,我市某中学２０１３年投资１１
万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,２０１５
年投资１８．５９万元．
(１)求该学校的新增电脑投资的年平均增长率;
(２)从２０１３年到２０１５年,该中学三年为新增电脑共投资多少万
元
解:设该学校的新增电脑投资的年平均增长率为x,
根据题意得:１１(１＋x)２＝１８．５９,
解这个方程得x１＝０．３＝３０％
，x２＝－２．３(舍去)．
(２)１１＋１１(１＋x)＋１１(１＋x)２＝１１＋１４．３＋１８．５９＝４３．８９(万元)．
七、(本题满分１４分)
２２．(２０１５年淮安市)水果店张阿姨以每斤２元的价格购进某种水果若
干斤,然后以每斤４元的价格出售,每天可售出１００斤,通过调查
发现,这种水果每斤的售价每降低０．１元,每天可多售出２０斤,为
保证每天至少售出２６０斤,张阿姨决定降价销售．
(１)若将这种水果每斤的售价降低x
元,则每天的销售量是　１００
＋２００x　斤(用含x的代数式表示);
(２)销售这种水果要想每天盈利３００元,张阿姨需将每斤的售价降
低多少元
解:(１)将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是
１００＋
x
×０．１
２０＝１００＋２００x
斤；
(２)根据题意得:(４－２－x)(１００＋２００x)＝３００,
解得:x＝１或２
x＝１
,
∵每天至少售出２６０斤,
∴x＝１．
答:张阿姨需将每斤的售价降低１元．
—
１１１
—
八、(本题满分１２分)
２３ 如图,已知直线y＝４x＋８与x轴、y轴的交点分别为点A、C,点３
P
从A
点开始沿AO
边向点O
以１个单位/秒的速度移动,点Q
从O
点开始沿OC
向点C
以２个单位/秒的速度移动,当点P
到
达O
点时都停止运动．如果P、Q
两点分别从A、O
同时出发,经几
秒钟能使△PQO
的面积为８个平方单位
解:直线y＝４x＋８与x轴、y轴的交点坐标分别３
为A(－６,０),C(０,８)．
∴OA＝６,OC＝８,
设P、Q
移动的时间为x
秒,根据题意,
得１·
２
２x
·(６－x)＝８,
整理,得x２－６x＋８＝０,
∴x１＝２,x２＝４．
当x＝２时,AP＝２,OQ＝４,
P、Q
分别在OA、OC上,符合题意；
当x＝４时,AP＝４,OQ＝８,
此时Q
点与C
点重合,同样符合题意
∴经过２秒钟或４秒钟能使△PQO
的面积为８个平方单位．
—
１１２
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１ 要登上１２m
高的建筑物,为了保障安全,需使梯子底端离建筑物
５m远,则梯子的长度至少为
(B
)
A １２m
B １３m
C １４m
D １５m
２ 三角形三边长满足(a＋b)２＝c２＋２ab,则这个三角形是
(C
)
A 等边三角形
B 钝角三角形
C 直角三角形
D 锐角三角形
３ 一直角三角形的斜边长比一直角边长大２,另一直角边长为６,则斜
边长为
(B
)
A ８
B １０
C １２
D １４
４．如图,字母B所代表的正方形的面积是
(C
)
A．１２
B．１３
C．１４４
D．１９４
第４题图
第５题图
５ 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为１,则网格上的△ABC
中,边长为无理数的边数是
(C
)
A ０
B １
C ２
D ３
６．由下面条件所确定的三角形中,是直角三角形的有
(D
)
(１)三角形三个内角之比为１∶２∶３;(２)三角形三边长之比为３∶４∶５;
(３)三角形三边长分别为２ ５,６,６ ５;(４)三角形中,有两角互余
A．１个
B．２个
C．３个
D．４个
７．如图,已知１号、４号两个正方形的面积和为７,２号、３号两个正方
形的面积和为４,则a,b,c三个正方形的面积和为
(B
)
A．１１
B．１５
C．１０
D．２２
—
１１３
—
８．如图,△ABC和△DCE
都是边长为４的等边三角形,点B、C、E
在
同一条直线上,连接BD,则BD
的长为
(D
)
A．３
B．２
３
C．３
３
D．４
３
第８题图
第９题图
９ 如图,∠C＝９０°,AC＝１２,CB＝５,AM＝AC,BN＝BC,则
MN
的长
是
(D
)
A ２
B ２．６
C ３
D ４
１０ 已知等腰三角形的腰长为１０,一腰上的高为６,则以底边为边长的
正方形的面积是
(C
)
A ４０
B ８０
C ４０或３６０
D ８０或３６０
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称
为股,斜边称为弦
若勾为３,股为４,则弦为　５　;若勾为６,弦
为１０,则股为　８　
１２ (２０１５年东营市)如图,一只蚂蚁沿着边长为２的正方体表面从点
A
出发,经过３个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC
的长为　２
１０３
　．
　
　
　
　
第１２题图
第１３题图
第１４题图
１３ 如图,直线l过正方形ABCD
的顶点B．点A、C
到直线l的距离
分别为１和２,则正方形的边长是　
５　．
１４ 如图,在
Rt△ABC
中,∠C＝９０°,AC＝４cm,BC＝３cm,现将△ABC
进行折叠,使顶点A与点B重合,则折痕DE＝　１５８　cm
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 如图,△ABC中AB＝１３,BC＝１４,AC＝１５,求BC边上的高AD．
解:设BD＝x,则CD＝１４－x,
在
Rt△ABD
中,
AD２＝１３２－x２．
在
Rt△ABC中,
AD２＝１５２－(１４－x)２,
所以有１３２－x２＝１５２－(１４－x)２,
解得x＝５．在
Rt△ABD
中,
AD＝
１３２－５２＝１２．
—
１１４
—
１６ 如图所示,某人到岛上去探宝,从A
处登陆后先往东走４km,又往
北走１ ５km,遇到障碍后又往西走２km,再折回向北走到４ ５km
处往东一拐,仅走０ ５km就找到宝藏,问登陆点A
到宝藏埋藏点
B
之间的距离是多少
解:如图,
,
过点B
作BC⊥AD
于C,
则AC＝２ ５,BC＝６,
由勾股定理求得AB＝６ ５km
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 如图,∠CAB＝９０°,AC＝６,BC＝１０,AD＝１７,BD＝１５,问△ABD
是什么三角形
为什么
解:△ABD
是直角三角形,
理由:在
Rt△ABC中,AC２＋AB２＝BC２,
即６２＋AB２＝１０２,解得AB＝８,
在△ABD
中,
因为AB２＋BD２＝８２＋１５２＝２８９,
AD２＝１７２＝２８９,
所以AB２＋BD２＝AD２,
所以△ABD
是直角三角形
１８ 如图,小文和她的同学在荡秋千,秋千AB
在静止位置时,下端B
离地面０ ６米,当秋千荡到AB１
的位置时,下端B１
距静止位置的
水平距离EB１
等于２ ４米,距地面１ ４米,求秋千AB
的长
解:根据题意,得BE＝１ ４－０ ６＝０ ８(米),
设AB＝x,则AB１＝x,AE＝x－０ ８,
根据勾股定理,得(x－０ ８)２＋２ ４２＝x２,
解得x＝４,故秋千AB
的长为４米．
—
１１５
—
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９ 一艘船以１６海里/时的速度离开港口O,如图所示,向东南方向航
行,另一艘轮船在同时同地以１２海里/时的速度向南偏西一定的
方向行驶,已知它们出发一个半小时后相距BA
为３０海里,问另
一艘轮船的航行方向是南偏西多少度
解:由题意:OA＝１６×１ ５＝２４,
OB＝１２×１ ５＝１８,AB＝３０,
∵２４２＋１８２＝３０２,
∴OA２＋OB２＝AB２,
即△AOB
是直角三角形
∵其中一艘船是向东南方向航行的,
∴另一艘船是向西南方向,即南偏西４５°的方向航行．
２０ 如图所示,有一张边长为１的正方形纸片ABCD,将其对折后的折
痕为EF,再将C点折至折痕EF
上点P
的位置,这时折痕为BQ,
求EP
的长
解:根据题意,△BPQ≌△BCQ,
∴BP＝BC＝１,
又BF＝１BC＝１,２
２
在
Rt△PBF
中,
由勾股定理得PF＝
BP２－BF２＝
３,２
∴EP＝EF－PF＝１－
３２
—
１１６
—
六、(本题满分１２分)
２１ 如图所示,在△ABC
中,∠C＝９０°,D
是BC
的中点,DE⊥AB
于
E,说明:AE２－BE２＝AC２
解:连结AD,在
Rt△ADE
中,
AD２＝AE２＋DE２,
在
Rt△BDE
中,
BD２＝BE２＋DE２,
在
Rt△ACD
中,
AC２＝AD２－CD２,
∵BD＝CD,
∴AC２＝AE２＋DE２－BE２－DE２＝AE２－BE２．
七、(本题满分１４分)
２２．如图所示,一个长为１０m的梯子斜靠在竖直的墙上,梯子的顶端与
地面的垂直距离为８m．
(１)请你求出梯子底端离墙面的距离是多少
(２)小明将梯子的顶端向地面的方向移动２m,此时梯子的底端与
墙面的距离是多少
解:(１)设梯子底端与墙面的距离是xm,
根据勾股定理得８２＋x２＝１０２,
解得x＝６或x＝－６(不合题意,舍去)．
答:梯子底端离墙面的距离是６m．
(２)设此时梯子底端离墙面的距离是ym,
根据勾股定理得(８－２)２＋y２＝１０２,
解得y＝８或y＝－８(不合题意,舍去)
答:此时梯子的底端与墙面的距离是８m．
—
１１７
—
八、(本题满分１２分)
２３ 如图,A
城气象台测得台风中心在A
城正西方向３２０km
的B
处,
以每小时４０km的速度向北偏东６０°的BF
方向移动,距离台风中
心２００km的范围内是受台风影响的区域
(１)A
城是否受到这次台风的影响
为什么
(２)若A
城受到这次台风影响,那么A
城遭受这次台风影响的时
间有多长
解:(１)作AP⊥BF
于点P,
则AP＝１６０km＜２００km,
所以A
城会受到这次台风的影响
(２)以点A
为圆心,以２００km
为半径画弧交
BF
于点C、D,
连接AC,AD,可求出CD＝２４０km,
２４０÷４０＝６(小时),
所以A
城遭受这次台风影响的时间为６小时
—
１１８
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１．计算
(－３)２的结果是
(A
)
A．３
B．－３
C．±３
D．９
２．下列二次根式中,是最简二次根式的为
(C
)
A．
２７
B．
１
x３
C．４
D．
０ ３x
３．已知０是关于x的一元二次方程(m－１)x２＋mx＋m２－１＝０的一
个根,则m
的值是
(B
)
A．１
B．－１
C．０
D．无法确定
４．有下
列
各
式:(１)
(a＋２b)２
＝a＋２b;(２)
x２－４＝
x＋２
x－２;(３)
３a＝１
３ab 其中一定成立的有
(b
b
A
)
A．０个
B．１个
C．２个
D．３个
５．已知△ABC
中,三边长a、b、c满足关系|b－６|＋
(a－１０)２
＋
c－８＝０,则△ABC是
(A
)
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
６ 已知x＝２是方程x２＋mx－２＝０的一个根,则方程的另一个根是
(B
)
A １
B －１
C ２
D －２
７．生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件,全组互赠了１８２件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方
程是
(B
)
A．x(x＋１)＝１８２
B．x(x－１)＝１８２
C．x(x＋１)＝１８２×２
D．x(x－１)＝１８２×２
８．如果关于x的一元二次方程kx２－
２k＋１x＋１＝０有两个不相等
的实数根,那么k的取值范围是
(D
)
A．k＜１
B．k＜１且２
２
k≠０
C．－１≤k＜１
D．－１２
２
２≤k＜
１且
２
k≠０
９ 若关于x的一元二次方程ax２＋２(a－b)x＋(b－a)＝０有两个相
等的实数根,则a∶b的值为
(B
)
—
１１９
—
A －１或２
B １或１２
C －
１或
２
１
D －２
或１
１０ 如图,在
Rt△ABC
中,∠C＝９０°,BC＝６cm,CA
＝８cm,动点P
从点C
出发,以２cm/s的速度沿
CA、AB
移动到B,则点P
出发　　　　时,可
使S△BCP＝１４S△ABC
(C
)
A １s
B ３１４s
C １s或３１４s
D ２s
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 写出一个代数式,使它与１＋
x的积是不含根式的整式,这个代数式
是　１－
x(或
x－１)　
１２ (２０１５年泸州市)设x
２１、x２
是一元二次方程x
－５x－１＝０的两实数
根,则x２＋x２１
２
的值为　２７　．
１３．如图,一根旗杆高１２．８米,一次“台风”过
后,倒下的旗杆的顶端B
落在离旗杆底部
C
点９．６米处,那么这根旗杆断裂处A
距
地面　２．８　米．
１４．(２０１５年衡阳市)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设
置一块面积为９００平方米的矩形绿地,并且长比宽多１０米,设绿
地的宽为x米,根据题意,可列方程为　x(x＋１０)＝９００　．
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 计算
(１)－４
１８÷(２
８×１３
５４
)
解:原式＝－４
１８÷(４×
２×６)
＝－４
１８÷８
３
＝－
６２
(２)(５
８－
２５)－８
１－(４２
３
＋６
４)
３
３
解:原式＝(１０
２－５
２)－８
３－(４２
３
３
３＋４
３
)
＝１５
２－８
３＋４
３２
３
－４
３
＝１５
２２
－４
３－４
３
＝１５
２２
－８
３
—
１２０
—
１６ 解下列方程
(１)９(２x＋３)２＝４(２x－５)２
解:(２x＋３)２＝４(２x－５)２,９
２x＋３＝±２(２x－５),３
∴２x＋３＝２(３
２x－５
)或２x＋３＝－２(３
２x－５
),
∴x１＝－１９,
１２
x２＝１０．
(２)x２－２
７x＋２＝０
２
解:
±x＝－b
b
－４ac＝２
７
±
(－２
７)２－８,
２a
２
∴x１＝
７＋
５,x２＝
７－
５．
(３)(x－１)２－４＝２x
解:整理原方程得,x２－４x－３＝０,
∵b２－４ac＝(－４)２－４×１×(－３)＝２８,
(
∴x＝－
－４
)±
２８
±
,
２
＝２
７
x１＝２＋
７,x２＝２－
７．
(４)５(x＋６)(x－１)＋４x(x－１)＝３x(x＋６)
解:整理原方程得６x２＋３x－３０＝０,
因式分解得３(２x＋５)(x－２)＝０,
∴x
＝－５１
,２
x２＝２．
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 已知
x－２y＋
３x＋２y－８＝０,求(x＋y)x
的值
{x－２y＝０,
{x＝２,解:由题意可得
得３x＋２y－８＝０,
y＝１,
∴(x＋y)x＝３２＝９．
—
１２１
—
１８ 已知△ABC的两边AB、AC
的长是关于x
的一元二次方程x２－
(２k＋３)x＋k２＋３k＋２＝０的两个实数根,第三边BC
的长是５,试
问:k取何值时,△ABC是以BC
为斜边的直角三角形
解:原方程可化为:［x－(k＋１)］［x－(k＋２)］＝０,
x１＝k＋１,x２＝k＋２,
由勾股定理得(k＋１)２＋(k＋２)２＝５２,
∴k２＋３k－１０＝０,
∴k１＝－５,k２＝２．
当k＝－５时,方程x２＋７k＋１２＝０,
∴x１＝－３,x２＝－４(不合题意,舍去),
当k＝２时,方程为x２－７x＋１２＝０,
∴x１＝３,x２＝４,
综上可知,
当k＝２时,△ABC是以BC
为斜边的直角三角形
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９．如图,AD
是△ABC
中BC
边上的高,P
是AD
上任意一点,当P
从A
向D
移动时,线段PB、PC的长都在变化,试探索PB２－PC２
的值如何变化．
解:根据勾股定理得PB２＝BD２＋DP２,
PC２＝CD２＋DP２,
∴PB２－PC２＝(BD２＋DP２)－(CD２＋DP２)
＝BD２－DC２,
∵BD２－DC２
为定值，
∴PB２－PC２
的值不变．
２０ 若最简二次根式
３a－１０
２a＋b－５和
a－３b＋１１是同类二次根式
(１)求a、b的值;
(２)求两个二次根式平方和的算术平方根
{３a－１０＝２,
a＝４,解:(１)由题意得
解得２a＋b－５＝a－３b＋１１，
{b＝３．
(２)
３n－１０
２a＋b－５＝
６,a－３b＋１１＝
６,
(６)２＋(６)２＝２
３．
—
１２２
—
六、(本题满分１２分)
２１ 已知关于x的方程x２＋２(２－m)x＋３－６m＝０
(１)求证:无论m
取什么数,方程总有实数根;
(２)如果方程两个实数根x１、x２
满足x１＝３x２,求实数m
的值
解:(１)∵Δ＝［２(２－m)］２－４(３－６m)＝４(m＋１)２≥０,
∴方程总有实数根．
ìx１＋x２＝－２(２－m),
(２)

íx１＝３x２,

x１·x２＝３－６m,
∴m＝０或m＝－４．
七、(本题满分１４分)
２２．如图,甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的长分别
为a,b,斜边长为c．如图乙,丙,分别取四个与直角三角形ABC
全
等的三角形,放在边长为a＋b的正方形内．
(１)图中①②的面积分别是多少
(２)图中①②的面积之和是多少
(３)图中①②的面积之和与正方形③的面积有什么关系,为什么
(４)由此你能得到关于直角三角形三边长的关系式吗
解:(１)①a２,②b２．
(２)a２＋b２．
(３)相等,理由略．
(４)可以,c２＝a２＋b２．
—
１２３
—
八、(本题满分１２分)
２３．菜农李伟种植某蔬菜计划以５元/千克对外批发销售,由于部分菜
农盲目扩大种植,造成蔬菜滞销,李伟为加快销售,减少损失,对价
格经过两次下调后,以３．２元/千克对外批发销售．
(１)求平均每次下调的百分率;
(２)小华准备到李伟处购买５吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给
予两种优惠方案选择:
方案一:打九折销售;
方案二:不打折,每吨优惠现金２００元．
试问小华选择哪种方案更优惠,并说明理由．
解:(１)平均每次下调的百分率是２０％；
(２)选择方案一,理由:
方案一:所需费用为:３．２×０．９×５０００＝１４４００(元)；
方案二:所需费用为:３．２×５０００－２００×５＝１５０００(元),
故小华选择方案一更优惠．
—
１２４
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１．估计
８×
１＋
３的运算结果应在
(C
)２
A．１到２之间
B．２到３之间
C．３到４之间
D．４到５之间
２．已知m＝(－
３)×(３
－２
２１
),则有
(A
)
A．５＜m＜６
B．４＜m＜５
C．－５＜m＜－４
D．－６＜m－５
３．已知方程x２＋bx＋a＝０有一个根是－a(a≠０),则下列代数式的值
恒为常数的是
(D
)
A．ab
B．ab
C．a＋b
D．a－b
４．关于x的一元二次方程x２－mx＋２m－１＝０的两个实数根分别是
x１、x２,且x２１＋x２２＝７,则m
的值是
(B
)
A．５
B．－１
C．－１或５
D．８
５．如图,将长方形ABCD
沿直线EF
折叠,使顶点
C恰好落在顶点A
处,已知
AB＝４cm,AD＝
８cm,则折痕EF
的长为
(B
)
A．５cm
B．２
５cm
C．２
３cm
D．３
５cm
６ 已知α２＋α－３＝０,β２＋β－３＝０,且α≠β,则αβ＋α＋β的值为
(B
)
A －３
B －４
C ０
D －３或－４
７．关于x的方程(a－６)x２－８x＋６＝０有实数根,则整数a的最大值
是
(C
)
A．６
B．７
C．８
D．９
８．甲、乙、丙三家超市促销一种价格相同的商品,甲超市连续两次降价
１５％
;乙超市一次性降价３０％
;丙超市第一次降价２０％
,第二次降
价１０％
,你选择到哪家超市购买更合算
(B
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．都一样
—
１２５
—
９．若关于x的分式方程２m＋xx－３
－１＝
２无解,则m
的值为
(D
)x
A．－１．５
B．１
C．－１．５或２
D．－０．５或－１．５
１０．如图,在直角△ABC
中,∠BAC＝９０°,AB
＝８,AC＝６,DE
是AB
边的垂直平分线,垂
足为D,交BC
于点E,连接AE,则△ACE
的周长为
(A
)
A．１６
B．１４
C．１２
D．１８
二、填空题(本大题共４小题,每小题５分,满分２０分)
１１．如图,数轴上与１,２对应的点分别为A,B,点B
关于A
的对称点
为点C．设点C表示数x,则|x－
２|＋２x＝　３
２　．
１２ 在解关于x的方程x２＋bx＋c＝０时,甲看错了一次项系数b,解
得两根为－１和６;乙看错了常数项c,解得两根为－３和４时,那
么正确的方程应是　x２－x－６＝０　
１３．学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐
角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”(如
图)．他们仅仅少走了　４　步路(假设２步为
１m),却踩伤了花草．
１４ 某校八年级在学校体育节中组织举办了象棋比赛,规定所有参赛
选手每两个人之间都要进行一场比赛,全年级共进行了１３６场比
赛
设
参
加
这
次
比
赛
的
选
手
共
有
x
人,则
可
列
方
程
为
　１
(２xx－１
)＝１３６　
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 计算
(１)(２－
５＋
１０)(２＋
５－
１０);
解:原式＝［２－(５－
１０)］［２＋(５－
１０)］
＝(２)２－(５－
１０)２
＝２－５＋２
５×
１０－１０
＝－１３＋１０
２
—
１２６
—
(２)(３
２－２
３)２－(３
２＋２
３)２．
解:原式＝(３
２－２
３＋３
２＋２
３)(３
２－２
３－３
２－２
３)
＝６
２×(－４
３)
＝－２４
６
１６ 解下列方程
(１)x２－２x＝２x＋１;
解:原方程可化为x２－４x－１＝０
∴a＝１,b＝－４,c＝－１．
∵b２－４ac＝(－４)２－４×１×(－１)＝２０,
∴x＝－
(－４)±
２０
２
＝２
±
５，
∴x１＝２＋
５,x２＝２－
５．
(２)(x－３)２－２(x＋１)＝x－７．
解:原方程可化为x２－９x＋１４＝０,
分解因式得(x－２)(x－７)＝０,
∴x－２＝０或x－７＝０,
∴x１＝２,x２＝７．
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 已知x＝
１
,y＝
１
,求下列各式的值:
２＋１
２－１
(１)１＋１２
２;x
y
(２)x２＋xy＋y２．
解:x＝
１
＝
２－１,y＝
１
＝
２＋１．
２＋１
２－１
(１)原式＝(１＋１)２－２x
y
xy＝
(２＋１＋２－１)２－
２
＝６．
(２－１)(２＋１)
(２)原式＝(x＋y)２－xy＝(２－１＋２＋１)２－(２－１)(２＋１)＝７．
—
１２７
—
１８ 小萍说,无论x,y取何实数,代数式x２＋y２－１０x＋８y＋４２的值
总是正数,你的看法如何
请谈谈你的理由．
解:小萍的说法是正确的,此代数式的值总是正数．理由:
∵x２＋y２－１０x＋８y＋４２＝x２－１０x＋２５＋y２＋８y＋１６＋１
＝(x－５)２＋(y＋４)２＋１,
又∵无论x,y取何值,(x－５)２≥０,(y＋４)２≥０,
∴(x－５)２＋(y＋４)２＋１≥１＞０．
∴代数式的值总是正数．
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９．如图所示,要在长为１００m、宽为９０m
的长方
形绿地上修建宽度相同的道路,６块绿地的面
积共８４４８m２,求道路的宽．
解:设道路宽为xm,列方程得
１００×９０－１００x－２×９０x＋２x２＝８４４８,
解得x１＝２,x２＝１３８(舍去)
∴道路的宽为２m．
２０ 为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB
所在的
直线建一图书室,本社区两所学校所在的位置在点C
和点D
处,
CA⊥AB
于A,DB⊥AB
于B,已知AB＝２５km,CA＝１５km,DB
＝１０km,试问:图书室E
应建在距点A
多少千米处,才能使它到
两所学校的距离相等．
解:设AE＝x,则BE＝２５－x．
在
Rt△ACE
中,CE２＝AC２＋AE２．
在
Rt△DBE
中,
DE２＝BE２＋BD２．∵CE＝DE,
∴AC２＋AE２＝BE２＋BD２．
∴１５２＋x２＝１０２＋(２５－x)２,
∴x＝１０．
即图书室E
应该建在距点A１０km处,才能使它到两所学校的距离
相等．
—
１２８
—
六、(本题满分１２分)
２１ 如图,在一次实践活动中,小兵从A
地出发,沿北偏东４５°的方向
行走了５
３千米到达B
地,然后再沿北偏西４５°方向行进了５千
米到达目的地C地．
(１)求A,C两地之间的距离;
(２)试确定目的地C
在点A
的什么方向(在直
角三角形中,３０°角所对的直角边为斜边的
一半)
解:(１)由题意知,∠ABN＝４５°．
又∵∠CBM＝４５°,∴∠ABC＝９０°．
在
Rt△ABC中,
∵AB＝５
３,BC＝５,
∴AC＝
AB２＋BC２＝
７５＋２５＝１０(千米)．
(２)在
Rt△ABC中,
∵AC＝２BC,∴∠BAC＝３０°．
∴目的地C在点A
北偏东４５°－３０°＝１５°的方向上．
七、(本题满分１４分)
２２．某商场购进一批单价为１６元的日用品,销售一段时间后,为了获
得更多的利润,商店决定提高销售价格,经调查发现,若按每件２０
元的价格销售时,每月能卖３６０件;若按每件２５元的价格销售时,
每月能卖２１０件,若每月销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满
足关系式y＝kx＋b．
(１)确定k与b的值,并指出x的取值范围;
(２)为了使每月获得的利润为１９２０元,问商品应定为每件多少元
(３)为了获得最大的利润,商品应定为每件多少元
解:(１)k＝－３０　b＝９６０　１６≤x≤３２
(２)由题意有(x－１６)(－３０x＋９６０)＝１９２０,
化简得x２－４８x＋５７６＝０,解得x１＝x２＝２４．
(３)商品利润为y＝(x－１６)(－３０x＋９６０)
＝－３０x２＋１４４０x－９６０×１６
＝－３０(x２－４８x)－９６０×１６
＝－３０(x２－４８x＋５７６)＋３０×５７６－９６０×１６
＝－３０(x－２４)２＋１９２０,
∴当x＝２４时,－３０(x－２４)２
的值最大,
即为获得最大利润,商品应定为每件２４元．
—
１２９
—
八、(本题满分１２分)
２３．在某段限速公路BC
上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车
的最高行驶速度不能超过６０千米/时(即５０米/秒),并在离该公路３
１００米处设置了一个监测点A．在如图所示的直角坐标系中,点A
位于y
轴上,测速路段BC在x
轴上,点B
在A
的北偏西６０°方向
上,点C在A
的北偏东４５°方向上,另外一条高等级公路在y
轴
上,AO
为其中的一段．
(１)求点B
和点C
的坐标;
(２)一辆汽车从点B
匀速行驶到点C
所
用的时间是１５秒,通过计算,判断该
汽车在这段限速路上是否超速
(参
考数据:３≈１．７)
(３)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶,一辆小汽车在高等
级公路上由A
处向北行驶,设两车同时开出且小汽车的速度是
大货车速度的２倍,求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多
少
解:(１)在
Rt△AOB
中,OA＝１００,∠BAO＝６０°,
∴∠ABO＝３０°．∴AB＝２OA＝２００(m)．
∴OB＝
AB２－OA２＝
２００２－１００２＝１００
３(m)．
在
Rt△AOC中,∵∠CAO＝４５°,
∴OC＝OA＝１００．∴B(－１００
３,０),C(１００,０)．
(２)∵BC＝OB＋OC＝１００
３＋１００,
∴１００
３＋１００≈
１５
１８．
∵１８＞５０,３
∴这辆车超速了．
(３)设大货车行驶到某一时刻行驶了x米,则此时小汽车行驶了２x
米,且两车的距离为
y＝
(１００－x)２＋(１００－２x)２＝
５(x－６０)２＋２０００,
当x＝６０时,y有最小值是
２０００＝２０
５(米)．
答:两车相距的最近距离为２０
５米．
—
１３０
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１ 如图,△ABC
中,D
为AB
中点,E
在AC
上,且
BE⊥AC,若DE＝１０,AE＝１６,则BE
的长度为
(C
)
A １０
B １１
C １２
D １３
２ 如果需要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要
(A
)
A 三个正三角形,两个正方形
B 两个正三角形,三个正方形
C 两个正三角形,两个正方形
D 三个正三角形,三个正方形
３ 多边形的每一个内角都等于１５０°,则从此多边形的一个顶点出发
引出的对角线有
(C
)
A ７条
B ８条
C ９条
D １０条
４．在下列条件中,能判定四边形ABCD
是平行四边形的是
(A
)
A．AB＝CD,AD＝BC
B．∠A＝∠B,∠C＝∠D
C．AB∥CD,AD＝BC
D．AB＝AD,CB＝CD
５ (易错题)三角形三条中位线的长分别为３、４、５,则此三角形的面积
为
(B
)
A １２
B ２４
C ３６
D ４８
６ 如图,矩形ABCD
中,AB＝８,BC＝６,E、F
是AC
上的三等分点,
则S△BEF为
(D
)
A ２４
B １６
C １２
D ８
　　　　
第６题图
第７题图
７．如图,点P
是矩形ABCD
的边AD
上的一个动点,矩形的两条边
—
１３１
—
AB、AD
的长分别为３和４,那么点P
到矩形的两条对角线AC
和
BD
的距离之和是
(A
)
A．１２５
B．
６
C．２４５
５
D．
不确定
８．如图,等边三角形AEF
的边长与菱形ABCD
的边长相等,点E、F
分别在BC、CD
上,则∠B
的度数是
(B
)
A．９５°
B．８０°
C．７５°
D．７０°
　　　　
第８题图
第９题图
９ 如图,E、F、G、H
分别是正方形ABCD
各边的中点,要使中间阴影
部分小正方形面积为５,则大正方形的边长应该是
(C
)
A．２
５
B．３
５
C．５
D．５
１０ 如右图所示矩形ABCD
中,BC＝x,CD＝y,且xy＝９,等腰直角
三角形AEF
的斜边EF
过C
点,M
为EF
的中点,则下列结论正
确的是
(D
)
A 当x＝３时,EC＜EM
B 当x增大时,EC CF
的值增大
C 当y＝９时,EC＞EM
D 当y增大时,BE DF
的值不变
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 一个正多边形的内角和是外角和的４倍,则这个正多边形的边数
是　１０　
１２ 如图,在平行四边形ABCD
中,已知∠ODA＝９０°,AC＝１０cm,BD
＝６cm,则AD
的长为　４cm　．
　　　　
第１２题图
第１３题图
１３ 如图,以正方形
ABCD
的对角线AC
为边长作菱形AEFC,则
∠EAF
的度数为　２２．５°　
１４ 如图,沿DE
折叠长方形ABCD
的一边,使点C
落在AB
边上的点F
处,若AD＝８,且△AFD
的面积为６０,则△DEC的面积为　２８９８
　
—
１３２
—
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 在四边形ABCD
中,∠D＝６０°,∠B
比∠A
大２０°,∠C是∠A
的２
倍,求∠A、∠B、∠C的度数
解:设∠A＝x(度),则∠B＝x＋２０°,
∠C＝２x,由四边形内角和定理得,
x＋(x＋２０°)＋２x＋６０°＝３６０°,
解得x＝７０°．
∴∠A＝７０°,∠B＝９０°,∠C＝１４０°．
１６ 如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC
的同侧作等边
△ABD,等边△ACE,等边△BCF．证明:四边形DAEF
是平行四
边形．
证明:∵△ABD
和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF＋
∠FBA＝
∠ABC＋
∠FBA＝
６０°．
∴∠DBF＝∠ABC．
又∵BD＝BA,BF＝BC,
∴△ABC≌△DBF．
∴AC＝DF．又∵AC＝AE,∴DF＝AE．
同理可证△ABC≌△EFC,∴AB＝EF．
又∵AB＝AD,∴EF＝AD．
∴四边形DAEF
是平行四边形．
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 如图,在正方形ABCD
外作一正三角形ABE,连结BD、EC,交于
点F,连结AF,求∠AFD
的大小
解:∵四边形ABCD
是正方形,
△ABE
是正三角形,∴∠ABC＝９０°,
∠ABE＝∠AEB＝６０°,
∠CDF＝∠ADF＝∠CBD＝４５°,
∴∠CBE＝１５０°,∠BCE＝１(２
１８０
°－∠CBE)＝１５°,
∠CFD＝∠CBF＋∠BCF＝６０°,
在△CDF
和△ADF
中,∵CD＝AD,∠CDF＝∠ADF,DF＝DF,
∴△CDF≌△ADF,∴∠AFD＝∠CFD＝６０°
—
１３３
—
１８ 如图,AD
是△ABC
的角平分线,DE∥AB,在AB
上截取BF＝
AE,求证:EF＝BD．
证明:∵AD
是△ABC的角平分线,
∠BAD＝∠CAD,∵DE∥AB,
∴∠EDA＝∠BAD,
∴∠EDA＝∠CAD,
∴AE＝DE,
∵BF＝AE,
∴BF＝DE,
∴BDEF
为平行四边形,
∴EF＝BD．
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９ 如图,在△ABC中,AD
是BC
边上的中线,E
是AD
的中点,过点
A
作BC
的平行线交BE
的延长线于点F,连接CF．
(１)求证:AF＝DC;
(２)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF
的形状,并证明你的结论．
证明:(１)∵AF∥BC,
∴∠AFE＝∠DBE．
∵E
是AD
的中点,
AD
是BC
边上的中线,
∴AE＝DE,BD＝CD．
ì∠AFE＝∠DBE,
,

在△AFE
和△DBE
中
í∠FEA＝∠BED,
AE＝DE,
∴△AFE≌△DBE(AAS)．
∴AF＝BD,∴AF＝DC．
(２)四边形ADCF
是菱形．
证明:∵AF∥BC,AF＝DC,
∴四边形ADCF
是平行四边形．
∵AC⊥AB,AD
是斜边BC
的中线,
∴AD＝DC．
∴平行四边形ADCF
是菱形．
—
１３４
—
２０
已知:如图,在平行四边形
ABCD
中,AE
是BC
边上的高,将
△ABE
沿BC
方向平移,使点E
与点C
重合,得△GFC
(１)求证:BE＝DG;
(２)若
∠B＝６０°,当
AB
与BC
满足什么数量关系时,四边形
ABFG
是菱形
说明理由
证明:(１)∵四边形ABCD
是平行四边形,
∴AB CD,由平移可知,
AB GF,BE＝CF,∴GF DC,
∴四边形GDCF
是平行四边形,
∴DG＝CF,∴BE＝DG
(２)解:当BC＝３AB
时,四边形ABFG
是菱形,２
理由:∵AB GF,
∴四边形ABFG
是平行四边形,
∵在
Rt△ABE
中,∠B＝６０°,
∴∠BAE＝３０°,∴BE＝１２AB
,
∵BE＝CF,BC＝３２AB
,∴EF＝１２AB
,
∴BF＝BE＋EF＝１２AB＋
１
２AB＝AB
,
即AB＝BF,∴四边形ABFG
是菱形
六、(本题满分１２分)
２１．由于矩形和菱形特殊的对称性和矩形四个内角都是直角,为拼图
提供了方便,因此墙面瓷砖一般设计为矩形,图案也以菱形居多．
如图所示,小明家有一面长４．８m,宽３．２m
的墙壁,准备用矩形瓷
砖进行装修,已知矩形瓷砖的边长分别是０．３m和０．２m,四个三角
形部分为淡蓝色花纹,中间部分为白色菱形图案,菱形的顶点分别
是矩形各边的中点．
(１)这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块
(２)全部贴满这面墙壁后,淡蓝色花纹的菱形有多少个
解:(１)(４．８÷０．３)×(３．２÷０．２)＝１６×１６＝２５６
(块)．
(２)(１６－１)×(１６－１)＝１５×１５＝２２５(个)．
—
１３５
—
七、(本题满分１４分)
２２ 如图,把矩形纸牌ABCD
沿EF
折叠,使点B
落在边AD
上的点
B′处,点A
落在点A′处
(１)求证:B′E＝BF;
(２)设AE＝a,AB＝b,BF＝c,试猜想a、b、c之间的一种关系,并
给予证明
　(１)证明:由题意得B′F＝BF,
∠B′FE＝∠BFE,
在矩形ABCD
中,AD∥BC,
∴∠B′EF＝∠BFE,∴∠B′FE＝∠B′EF,
∴B′F＝B′E,∴B′E＝BF
(２)解:a、b、c三者关系,有两种情况
(ⅰ)a２＋b２＝c２,
证明:连接BE,则BE＝B′E,
由(１)知B′E＝BF＝c,∴BE＝c,
在△ABE
中,∠A＝９０°,∴AE２＋AB２＝BE２,
∵AE＝a,AB＝b,∴a２＋b２＝c２
(ⅱ)a＋b＞c,
证明:连接BE,则BE＝B′E,
由(１)知B′E＝BF＝c,∴BE＝c．
在△ABE
中,AE＋AB＞BE,∴a＋b＞c
八、(本题满分１２分)
２３ 如图,四边形ABCD
中,M、N
分别是AD、BC
的中点,求证:MN
≤１(
)２
AB＋CD
证明:如图所示,连接AC,取AC的中点E,
连接
ME、NE．∵ME
是△ADC的中位线,
∴ME＝１２CD．
∵NE
是△ABC的中位线,
∴NE＝１２AB．
在△MEN
中,
MN＜ME＋EN,∴MN＜１CD＋１AB,即
MN＜１(２
２
２
AB＋CD
)．
当点E
在MN
上时,MN＝１(２
AB＋CD
),
∴MN≤１(２
AB＋CD
)．
—
１３６
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１ 在统计中,频率分布的主要作用是
(C
)
A 可以反映总体的平均水平
B 可以反映总体的波动大小
C 可以估计总体的分布情况
D 可以看出总体的最大值和最小值
２．已知一组数据的方差是s２＝１
[(
)２
(
)２
１５×
x１－２０
＋
x２－２０
＋
＋
(x１５－２０)２],则１５和２０分别表示这组数据的
(C
)
A．个数和方差
B．平均数和个数
C．个数和平均数
D．方差和平均数
３．１６位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前８位进入决
赛,如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,其他１５
位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是
(C
)
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
４．七年级(１)班共５０名同学,如
图所示是该班一次体育模拟测
试成绩的频数分布直方图(满
分为３０分,成绩均为整数)．若
将不低于２９分的成绩评为优
秀,则该班此次成绩达到优秀
的同学人数占全班人数的百分比是
(B
)
A．２０％
B．４４％
C．５８％
D．７２％
５．东门某商场销售一种新款衬衫,一周内销售情况如下表所示:
型号(厘米)
３８
３９
４０
４１
４２
４３
数量(件)
２５
３０
３６
５０
２８
８
商场经理要了解哪种型号最畅销,则上述数据的统计量中对商场经理
来说最有意义的是
(B
)
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
６．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况,随机调查了４０
名学生,将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图,则参加绘画
—
１３７
—
兴趣小组的频率是
(D
)
A．０．１
B．０．１５
C．０．２５
D．０．３
７ 已知样本容量为３０,在样本频数分布直方图中各小长方形的高的
比依次为２∶４∶３∶１,则第二小组的频数为
(B
)
A ４
B １２
C ９
D ８
８．两组数据如图,设图(１)中数
据的平均数为x１,方差为s２１
图(２)中数据的平均数为x２,
方差为s２２,则下列关系中,成
立的是
(B
)
A．x
＝x
,s２１
２
１＝s２２
B．x１＞x
２
２２,s１＞s２
C．x１＜x２,s２１＞s２２
D．x
＞x
,s２１
２
１＜s２２
９ (２０１５年铜仁市)在一次数学模拟考试中,小明所在的学习小组７
名同学的成绩分别为:１２９,１３６,１４５,１３６,１４８,１３６,１５０．则这次考试
的平均数和众数分别为
(B
)
A．１４５,１３６
B．１４０,１３６
C．１３６,１４８
D．１３６,１４５
１０．(２０１５年常德市)某村引进甲乙两种水稻良种,各选６块条件相同
的实验田,同时播种并核定亩产,结果甲、乙两种水稻的平均产量
均为５５０kg/亩,方差分别为S２甲
＝１４１．７,S２乙
＝４３３．３,则产量稳定,
适合推广的品种为
(B
)
A．甲、乙均可
B．甲
C．乙
D．无法确定
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 对某班最后一次数学测试成绩(得分取
整数)进行统计分析,将所有成绩由低到
高分成五组,并绘制成如图所示的频数
分布直方图,根据直方图提供的信息,在
这次测试中,成绩为A
等(８０分以上,不
含８０分)的百分率为　３７　％．(精确到１％)
１２ 某校９名同学的身高(单位:cm)分别是:１６３,１６５,１６７,１６４,１６５,
１６６,１６５,１６４,１６６,则这组数据的众数为　１６５　cm．
１３ 某食品店购进２０００箱苹果,从中抽取１０箱,称得质量分别为(单
位:千克):１６,１６．５,１４．５,１３．５,１５,１６．５,１５．５,１４,１４,１４．５．若每
千克苹果售价为２．８元,则利用这组数据的平均数估计这批苹果
—
１３８
—
的销售额是　８４０００　元．
１４ 小芳测得连续五天日最低气温并整理后得出下表:由于不小心被
墨水污染了两个数据,这两个数据分别是　４　,　２　
三、解答题(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ 在引体向上项目中,某校１００名男生考试成绩如表:
成绩/次
１０
９
８
７
６
５
４
３
人数/人
３０
２０
１５
１５
１２
５
２
１
分别求这些男生成绩的众数、中位数与平均数
解:众数为:１０次　中位数为:８ ５次　平均数为:８．１３次
１６．某班同学参加公民道德知识竞赛,将竞赛所得成绩(得分取整数)
进行整理后分成五组,并绘制频数分布直方图(如下图)．请结合直
方图提供的信息,解答下列问题:
(１)该班一共有多少名学生
(２)６０．５~７０．５分这一分数段的频数和频率分别是多少
(３)根据直方图,提出一个问题,并回答所提出的问题．
解:(１)１８＋１２＋９＋６＋３
＝４８(名)
(２)频数为１２
频率为０．２５
(３)可以从及格率、优
秀率、中
位
数
等
方
面
提出问题．
四、(本大题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７．将某雷达测速区测到的一组汽车的时速数据进行整理,得到其频
数及频率如下表(未完成):
数据段(千米)
频数
频率
３０~４０
１０
０．０５
４０~５０
３６
０．１８
５０~６０
７８
０．３９
６０~７０
５６
０．２８
７０~８０
２０
０．１０
总计
２００
１
(注:３０~４０为时速大于或等于３０千米而小于４０千米,其他类同)
(１)请你把表中的数据填写完整;
—
１３９
—
(２)根据表格可得,被监测的汽车时速的中位数所在的范围是　５０
~６０　;．
(３)如果此地汽车时速不低于６０千米即为违章,则违章车辆共有
　７６　辆．
１８ 某鱼塘养鱼２０００条,现准备打捞出售,为了估计鱼塘中鱼的总质
量,现从鱼塘中捕捞了三次,得到的数据如下表:
鱼的条数
平均每条鱼的质量
第一次捕捞
１５
１ ６千克
第二次捕捞
１５
２ ０千克
第三次捕捞
１０
１ ８千克
(１)鱼塘中平均每条鱼的质量约是　１ ８　千克,鱼塘中所有鱼的
总质量约是　３６００　千克,若将这些鱼不分大小,按每千克
７ ５元的价格出售,鱼塘约可收入　２７０００　元;
(２)若鱼塘中鱼的总质量就是(１)中估计到的量,现将鱼塘中的鱼
分为大鱼和小鱼两类出售,大鱼每千克１０元,小鱼每千克６
元,要使鱼塘的此项收入不低于(１)中估计到的收入,问鱼塘中
大鱼的总质量至少应该有多少千克
解:设鱼塘中大鱼的总质量至少应该有x千克,
则１０x＋６(３６００－x)≥２７０００,
解得:x≥１３５０,
所以鱼塘中大鱼的总质量至少应该有１３５０千克．
五、(本大题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９ 小华和小明参加某体育项目训练,近期的８次测试成绩如下(单
位:分):
(１)近期的８次测试成绩,谁比较稳定
(２)历届比赛表明,成绩达到１３分就很可能夺冠,你认为为了夺冠
应选谁参加这项比赛
如果历届比赛成绩表明,成绩达到１６
分就能打破纪录,
那么你认为为了
打破纪录应选谁
参加这项比赛
解:(１)小明比较稳定．
(２)为夺冠应选小明；
为打破纪录应选小华．
—
１４０
—
２０ 红星煤矿人事部欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候
选人进行专业知识测试,成绩如表所示;并依录用的程序,组织
２００名职工对三人进行民主评议投票推荐,三人得票率如图(没有
弃权票,每位职工只能投１票,每得１票记作１分)
测试成绩/分
测试项目
甲
乙
丙
　　
专业知识
７３
７４
６７
(１)请填出三人的民主评议得分:甲得　７０　分,乙得　６８　分,丙
得　６２　分;
(２)根据招聘简章,人事部将专业知识、民主评议二项得分按６∶４
的比例确定各人成绩,成绩优者将被录用
那么谁将被录用,
他的成绩为多少分
解:甲将被录用,成绩为７１ ８分
六、(本题满分１２分)
２１ 某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况,收
集了学生在作业和考试中的常见错误,编制了１０道选择题,每题
３分,对她所任教的八年级(１)班和(２)班进行了检测,如图所示为
从两班各随机抽取的１０名学生的得分情况:
(１)利用图中提供的信息,补全下表:
班级
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
(１)班
２４
２４
２４
(２)班
２４
２４
２１
(２)若把２４分以上(含２４分)记为“优秀”,两班各有４０名学生,请
估计两班各有多少名学生成绩优秀
(３)观察图中的数据分布情况,你认为哪个班的学生纠错的整体情
况更好一些
解:(２)八年级(１)班１０人中有７人获得优秀,
∴优秀率＝７＝７０％
,则八年级(１)班获优秀的学生有１０
４０
×７０％
＝２８(人)；
八年级(２)班１０人中有６人获得优秀,
∴优秀率＝６＝６０％
,则八年级(２)班获优秀的学生有１０
４０
×６０％
＝２４(人)
(３)八年级(１)班的学生纠错的整体情况更好一些
—
１４１
—
七、(本题满分１４分)
２２
某厂为了解工人单位时
间内加工同一种零件的
技能水平,随机抽取了５０
名工人加工的零件进行
检测,统计出他们各自加
工的合格品数是
１
到
８
这八个整数,现提供统计
图的部分信息如图,请解答下列问题:
(１)根据统计图,求这５０名工人加工出的合格品数的中位数;
(２)写出这５０名工人加工出合格品数的众数的可能取值;
(３)厂方认定,工人在单位时间内加工出的合格品数不低于３件
为技能合格,否则,将接受技能再培训,已知该厂有同类工人
４００名,请估计该厂将接受技能再培训的人数
解:(１)∵把合格品数从小到大排列,第２５、２６个数都是４,
∴中位数为４件
(２)众数可能值为４件、５件、６件
(３)这５０名工人中,合格品低于３件的有８人,
因为４００×８＝６４,所以该厂约６４人将接受技能再培训５０

八、(本题满分１２分)
２３ 在某旅游景区上山的一条小路上,有一
些断断续续的台阶 下图是其中的甲、
乙段台阶路的示意图,图中的数字表示
每一级台阶的高度(单位:cm)
请你用
所学过的有关统计知识(平均数、中位
数、方差)回答下列问题:
(１)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(２)哪段台阶路走起来更舒服
为什么
(３)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路 对于这两段台阶
路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议
解:(１)x甲
＝１(６
１５＋１６＋１６＋１４＋１４＋１５
)＝１５(cm);
x
＝１乙
(６
１１＋１５＋１８＋１７＋１０＋１９
)＝１５(cm),
甲路段的中位数为１５cm；乙路段的中位数为１６cm；
s２
２
２
２
３５
２甲
＝
(
);
(
),３
cm
s乙
＝３
cm
相同点:两段台阶路高度的平均数相同；
不同点:两段台阶路高度的中位数、方差均不同．
(２)甲路段走起来更舒服一些,因为它的台阶高度的方差小．
(３)每个台阶的高度均为１５cm,使得方差为０．
—
１４２
—
得分:　　　　
一、选择题(每小题４分,共４０分)
１．下列运算错误的是
(A
)
A．２＋
３＝
５
B．２
３＝
６
C．６÷
２＝
３
D．(－
２)２＝２
２．当a＝
５＋２,b＝
５－２时,a２＋ab＋b２
的值是
(C
)
A．１５
B．１０
C．１９
D．１８
３．如图,在矩形ABCD
中,BF∥DE,若AD＝
２４,AB＝１４且AE∶EB＝５∶２,则阴影部分的
面积是
(B
)
A．４８
B．９６
C．１２０
D．３３６
４ 四个数据８,１０,x,１０的平均数和中位数相等,则x等于
(D
)
A ８
B １０
C １２
D ８或１２
５ △ABC在下列条件下,不是直角三角形的是
(D
)
A b２＝a２－c２
B a∶b∶c＝１∶３∶２
C ∠C＝∠A－∠B
D ∠A∶∠B∶∠C＝３∶４∶５
６．已知两条线段的长分别为
２cm和
３cm,那么能与它们组成直角三角形
的第三条线段的长是
(D
)
A．１cm
B．５cm
C．１cm或５cm
D．１cm或
５cm
７．平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取
(B
)
A．６　６　６
B．６　４　３
C．６　４　６
D．３　４　５
８．(２０１５年泸州市)若关于x的一元二次方程x２－２x＋kb＋１＝０有
两个不相等的实数根,则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是
(B
)
９ 某商品原价为２００元,连续两次降价后售价为１４８元,设平均每次
降价a％
,则下面所列方程正确的是
(B
)
A ２００(１＋a％
)２＝１４８
B ２００(１－a％
)２＝１４８
C ２００(１－２a％
)２＝１４８
D ２００(１－a２％
)＝１４８
—
１４３
—
１０．(２０１５年聊城市)为了了解一路段车辆行驶速度的情况,交警统计
了该路段上午７:００至９:００来往车辆的车速(单位:千米/时),并
绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数、中位数分别是
(D
)
A．众数是８０千米/时,中位数是６０千
米/时
B．众数是７０千米/时,中位数是７０千
米/时
C．众数是６０千米/时,中位数是６０千
米/时
D．众数是７０千米/时,中位数是６０千米/时
二、填空题(每小题５分,共２０分)
１１ 一组数据的方差s２＝１[(
)２
(
)２

(
)２],１０
x１－２
＋
x２－２
＋
＋
x１０－２
则这组数据的个数是　１０　,平均数是　２　．
１２ 若关于x的二次方程nx２－(２n－１)x＋n＝０有实数根,则n的取
值范围是　n≤１且n≠４
０　
１３ 将一根长为２４cm的筷子置于底面直径为５cm,高为１２cm
的圆柱
形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为hcm,则h的取值范围是
　１１≤h≤１２　
１４ 如图,点P
是正方形ABCD
的对角线BD
上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD
于点F,
连接EF,给出下列五个结论:①AP＝EF;
②AP⊥EF;③△APD
一定是等腰三角形;
④∠PFE＝∠BAP;⑤PD＝
２EC．其中正
确结论的序号是　①②④⑤　．
三、解答题(本题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１５ (１)计算:２＋
７５－
１８－
１＋
１５０
２７－
３
解:原式＝
２＋５
３－３
２－
２＋
３１０
９－
３
＝－２１１０２＋
３７
９
３
(２)解方程:(２x－１)２－３(２x－１)＋２＝０．
解:令２x－１＝t,则原式变为t２－３t＋２＝０,
∴t１＝１,t２＝２．
∴当２x－１＝１时,x１＝１；
当２x－１＝２时,x２＝１．５
—
１４４
—
１６ 如图,网格中的小正方形边长均为１,△ABC
的三个顶点在格点
上,你能求出△ABC中AB
边上的高吗
若不能,请给出理由
解:由勾股定理得AC２＝３２＋２２＝１３,
BC２＝１２＋１２＝２,AB２＝３２＋２２＝１３,
∴BC边上的高为
１３－１＝５
２,２
２
设AB
边上的高为h,再由三角形面积公式得:
１×
１３×h＝１×
２×５
２,２
２
２
∴h＝５
１３１３
四、(本题共２小题,每小题８分,满分１６分)
１７ 已知关于x的方程x２＋(m＋２)x＋２m－１＝０．
(１)求证:方程有两个不相等的实数根;
(２)当m
为何值时,方程的两个根互为相反数
并求出此时方程
的根
解：(１)证明:Δ＝(m＋２)２－４(２m－１)＝m２＋４m＋４－８m＋４
＝m２－４m＋８＝m２－４m＋４＋４＝(m－２)２＋４,
因为(m－２)２≥０,所以(m－２)２＋４＞０,
即
Δ＞０,所以方程有两个不相等的实数根
(２)设方程的两根分别为x１、x２,
则x１＋x２＝０,所以－(m＋２)＝０,所以m＝－２,
当m＝－２时,
方程为x２－５＝０,
所以x＝±
５,
即x１＝
５,x２＝－
５
１８ 如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一
个矩形花园ABCD(围墙MN
最长可利用２５m),现在已备足可以
砌５０m
长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为
３００m２
解:设AB＝xm,则BC＝(５０－２x)m,
根据题意,得x(５０－２x)＝３００,
解得x１＝１０,x２＝１５,
当x＝１０时,BC＝５０－１０－１０＝３０＞２５,
故x＝１０不合题意,舍去；
当x＝１５时,BC＝５０－１５－１５＝２０＜２５,符合题意,
答:可以围成AB
的长为１５米,BC的长为２０米的矩形
—
１４５
—
五、(本题共２小题,每小题１０分,满分２０分)
１９ 如图,在四边形ABCD
中,E
为AB
上一点,△ADE
和△BCE
都
是等边三角形,AB、BC、CD、DA
的中点分别为P、Q、M、N,试判
断四边形PQMN
为怎样的四边形,并证明你的结论
解:四边形PQMN
为菱形,
证明:如图,连接AC、BD
∵PQ
为△ABC的中位线,∴PQ １AC,２
同理
MN １AC,∴MN PQ,２
∴四边形PQMN
为平行四边形,
在△AEC和△DEB
中,AE＝DE,
EC＝EB,∠AED＝６０°＝∠CEB,
即∠AEC＝∠DEB,
∴△AEC≌△DEB,∴AC＝DB,
∴PQ＝１AC＝１BD＝PN,２
２
∴四边形PQMN
为菱形
２０ 某单位于“三 八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光
旅游,下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话
领队:组团去“星星竹海”旅游,每人收费是多少
导游:如果人数不超过２５人,人均旅游费用为１００元
领队:超过２５人怎样优惠呢
导游:如果超过２５人,每增加１人,人均旅游费用降低２元,但
人均旅游费用不得低于７０元．
该单位按旅行社的收费标准组团游览“星星竹海”结束后,共
支付旅行社２７００元,请你根据上述信息,求该单位这次到“星星竹
海”观光旅游的共有多少人
解:设该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有x人,
因为１００×２５＝２５００(元),而２５００＜２７００,
所以人数一定超过２５人
,
可得方程［１００－２(x－２５)］x＝２７００,
整理,得x２－７５x＋１３５０＝０,
解得x１＝４５,x２＝３０,当x１＝４５时,１００－２(x－２５)＝６０,
而６０＜７０,故舍去,当x２＝３０时,
１００－２(x－２５)＝９０,９０＞７０,符合题意,
即该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有３０人
—
１４６
—
六、(本题满分１２分)
２１．如图１,在△OAB
中,∠OAB＝９０°,∠AOB＝３０°,OB＝８．以OB
为
边,在△OAB
外作等边△OBC,D
是OB
的中点,连接AD
并延长
交OC
于E．
(１)求证:四边形ABCE
是平行四边形;
(２)如图２,将图１中的四边形ABCO
折叠,使点C与点A
重合,折
痕为FG,求OG
的长．
证明:(１)∵在
Rt△OAB
中,
D
为斜边OB
的中点,
∴OD＝AD．
∴∠OAD＝∠AOB＝３０°．
∵△OBC是等边三角形,
∴∠C＝∠BOC＝６０°．
∴∠AOE＝∠BOC＋∠AOB＝９０°．
∴∠OEA＝９０°－∠OAD＝６０°．
∴∠C＝∠OEA＝６０°．
∴BC∥AE．∵∠OAB＋∠AOE＝１８０°,
∴OC∥AB．∴四边形ABCE
是平行四边形．
(２)设OG＝x,由折叠可得:AG＝GC＝８－x．
在
Rt△ABO
中,∵∠OAB＝９０°,
∠AOB＝３０°,OB＝８,∴AB＝１
,２OB＝４
OA＝
OB２－AB２＝４
３．
在
Rt△OAG
中,OG２＋OA２＝AG２,
即x２＋(４
３)２＝(８－x)２,
解得:x＝１．∴OG＝１．
七、(本题满分１４分)
２２ “十年树木,百年树人”,教师的素养关系到国家的未来,我市某区
招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔,
这三项的成绩满分均为１００分,并按２∶３∶５的比例折合纳入总分,
最后按照成绩的排序从高到低依次录取,该区要招聘２名音乐教
师,通过笔试、专业技能测试筛选出前６名选手进入说课环节,这
６名选手的各项成绩见下表:
序号
１
２
３
４
５
６
笔试成绩
６６
９０
８６
６４
６５
８４
专业技能测试成绩
９５
９２
９３
８０
８８
９２
说课成绩
８５
７８
８６
８８
９４
８５
(１)笔试成绩的中最大数与最小数的差是多少
(２)写出说课成绩的中位数、众数;
(３)已知序号为１、２、３、４号选手的成绩分别为８４ ２分、８４ ６分、
—
１４７
—
８８ １分、８０ ８分,请你判断这六位选手中序号是多少的选手将
被录用
为什么
解:(１)笔试成绩中最大数与最小数的差是９０－６４＝２６(分)
(２)说课成绩的中位数是８５ ５分,众数是８５分
(３)序号是３,６号的选手将被录用,
因为５,６号选手的成绩分别是:
５号:６５
×２＋８８×３＋９４×５
１０
＝８６ ４
；
６号:８４
×２＋９２×３＋８５×５
１０
＝８６ ９
,
因为８８ １＞８６ ９＞８６ ４＞８４．６＞８４ ２＞８０ ８,
所以序号是３、６号的选手将被录用
八、(本题满分１２分)
２３ 如图,矩形OACB
的顶点O
为坐标原点,OA
在y
轴上,点A
的坐
标为(０,３),另一边OB
在x
轴的正半轴上,M
是AC
边的中点,P
是OB
边上的一动点,PE⊥BM,PF⊥OM,垂足分别为E、F
(１)当点B
的坐标为多少时,四边形PEMF
为矩形
并说明理
由．
(２)在(１)的基础上,当点P
的坐标为多少时,四边形PEMF
为正
方形
并证明你的结论
解:(１)当点B
的坐标为(６,０)时,
四边形PEMF
为矩形,理由:
因为点B
的坐标为(６,０),
所以AC＝OB＝６,因为
M
为AC
的中点,
所以AM＝CM＝３,由题意可知,
OA＝BC＝３,因为∠A＝∠C＝９０°,
所以△OAM
和△BCM
都是等腰直角三角形,
所以∠AMO＋∠CMB＝９０°,所以∠EMF＝９０°,
因为PE⊥BM,PF⊥OM,所以∠PEM＝∠PFM＝９０°,
所以四边形PEMF
为矩形
(２)当点P
的坐标为(３,０)时,四边形PEMF
为正方形,
证明:由(１)可知,OA＝AM＝CM＝BC＝３,根据勾股定理,
得OM＝BM＝
３２＋３２＝３
２,所以∠POF＝∠PBE,
因为点P
的坐标为(３,０),点B
的坐标为(６,０),所以OP＝BP,
又因为∠PFO＝∠PEB＝９０°,所以△POF≌△PBE,
所以PF＝PE,因为四边形PEMF
为矩形,
所以四边形PEMF
为正方形
—
１４８
—

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