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课件17张PPT。2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）2017年中考数学命题研究（贵阳专版）专题四 线段和的最小值问题
纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大．
预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度．
,中考重难点突破)
线段的最小值
【经典导例】
【例】(六盘水中考)(1)观察发现
如图①，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．

如图②，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求作的点P，故BP＋PE的最小值为________．
(2)实践运用
如图③，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________．

(3)拓展延伸
如图④，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，点N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
【解析】(1)利用作法得到CE的长为BP＋PE的最小值；由AB＝2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30°，BE＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE的长度．CE的长为BP＋PE的最小值．∵在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，∴CE⊥AB，∠BCE＝∠BCA＝30°，BE＝1，∴CE＝BE＝.故答案为；(2)过B点作弦BE⊥CD ，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP＋AP的最小值．

【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图①，过B作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB.∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称．∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠EOC＝30°，∴∠AOE＝60°＋30°＝90°，∵OA＝OE＝1，∴AE＝OA＝，∵AE的长就是BP＋AP的最小值．故答案为；

(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图②.
1．(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值是( B )
A．10 B．8 C．5 D．6
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为( B )
A．3 B．5
C．6 D．无法确定

3．(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是( B )
A．2 B．1 C. D.
4．(2016原创)几何模型：
条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小(不必证明)．
模型应用：
(1)如图①，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接PE，PB，则PB＋PE的最小值是________；
(2)如图②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值；
(3)如图③，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

解：(1)；(2)如图②，延长AO交⊙O于点A′，则点A，A′关于直线OB对称，连接A′C与OB相交于点P，连接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90°，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2；

(3)如图③，分别作P点关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点Q，交OB于点R，∴OP＝OP1＝OP2，∠P1OB＝∠POB，∠P2OA＝∠POA，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△P1OP2是等边三角形，P1P2＝OP＝8，∴三角形PQR的周长＝PR＋PQ＋RQ＝P1R＋P2Q＋RQ＝P1P2＝8，即△PQR的周长的最小值为8.
5．(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6 cm.
(1)AE的长为__4__cm；
(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；
(3)求点D′到BC的距离．

解：(1)4；(2)∵Rt△ADC中，∠ACD＝30°， ∴∠ADC＝60°. ∵E为CD边上的中点， ∴DE＝AE, ∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E, ∴△AD′E为等边三角形， ∠AED′＝60°， ∵∠EAC＝∠EAD－∠DAC＝30°， ∴∠EFA＝90°， 即AC所在的直线垂直平分线段ED′， ∴点E，D′关于直线AC对称， 连接DD′交AC于点P, ∴此时DP＋EP值为最小，且DP＋EP＝DD′， ∵△ADE是等边三角形，AD＝AE＝4， ∴DD′＝2×AD×＝2×6＝12, 即DP＋EP最小值为12 cm；(3)连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G, ∵AC垂直平分线ED′， ∴AE＝AD′，CE＝CD′， ∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG＝45°， ∴D′G＝GB, 设D′G长为x cm，则CG长为(6－x)cm，在Rt△GD′C中，x2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x1＝3－，x2＝3＋(不合题意舍去), ∴点D′到BC边的距离为(3－)cm.

6．(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3.
(1)求MP的值；
(2)在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合，当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
(3)若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝2，当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)
解：(1)MP＝＝5；(2)如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，

过点E作EN⊥AD，垂足为N.∵AM＝AD－MP－PD＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP＝∠MEP，而∠CEP＝∠MPE，∴∠MEP＝∠MPE，∴ME＝MP＝5，在Rt△ENM中，MN＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴＝，即＝，解得AF＝，即AF＝时，△MEF的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M′是点M关于AB的对称点，连接MG，在EN上截取ER＝2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE＝GR.∵GM＝GM′，∴MG＋QE＝GM′＋GR＝M′R，此时MG＋EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵ME＝5，GQ＝2，∴四边形MEQG的最小周长值是7＋5.

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