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课件27张PPT。2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）2017年中考数学命题研究（怀化专版）2017年中考数学命题研究（青海专版）专题四　几何图形综合探究问题
命题规律：纵观青海近五年中考，每年必考，而且此类题总是出现在试卷第27题，中考常与函数结合在一起考出现在压轴题，从考查的类型看主要包括从实际操作中探究、从特殊到一般的探究，存在性探究、动态探究，难度中偏上．
命题预测：预计2017年青海(西宁)中考仍会考查此类内容，复习时应加强各种类型的强化训练．
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　从特殊到一般的探究性问题
【例1】(2015临沂中考)如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
(1)请判断：AF与BE的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA＝ED＝FD＝FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE＝DF，ED＝FC，第(1)问中的结论能成立吗？请直接写出你的判断．
【解析】根据正方形和等边三角形的性质，可以判定AF、BE所在的两个钝角三角形全等，利用全等三角形的性质可得AF和BE的数量关系和位置关系；
(2)问的思路同(1)相似，只是增加了证明向外做的这两个等腰三角形全等的过程；
(3)问思路同(2)问一样．
【学生解答】解：(1)AF＝BE，AF⊥BE；(2)第(1)问中的判断仍然成立，证明：由EA＝ED＝FD＝FC和AD＝CD，可知△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝∠DAE＋90°，∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝∠CDF＋90°，∴∠BAE＝∠ADF.在△BAE和△ADF中，AB＝AD，AE＝DF，∠BAE＝∠ADF，∴△BAE≌△ADF，∴AF＝BE，由于△BAE≌△ADF，∴∠FAD＝∠EBA，又∵∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠EBA＋∠BAF＝90°，∴AF⊥BE；
(3)第(1)问中结论都成立．如图所示，∵AE＝DF，ED＝FC，AD＝CD.∴△ADE≌△DCF，其余证明和(2)一样．
【点拨】这类稍微改变条件，问同一结论是否仍然成立的问题，几个问题之间的思路往往一脉相承，其中体现了从特殊到一般的思维方法．
1．(2016青海中考)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题．
,) 　　,图1)
,图2) 　　,图3)
(1)探究1：小强看到图后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌△EFC就行了，随着小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM.∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，又∵∠EAM＋∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，点E、M分别是正方形BC和AB的中点，∴AM＝EC，又∵△BME为等腰Rt△，∴∠AME＝135°，又∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，∴△AEM≌△EFC(ASA)，∴AE＝EF.
(2)探究2：小强继续探索：如图2，若把条件“点E是BC的中点”改为“点E是BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE＝EF仍然成立，请你证明这一结论．
(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC的延长线上的一点”其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立吗？若成立，请你完成证明过程给小强看，若不成立，请你说明理由．
证明：(2)在AB上截取AM＝EC，连接ME，∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝∠ECF＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°，又∵∠EAM＋∠AEB＝90°，∴∠EAM＝∠FEC，∴△AEM≌EFC(ASA)，∴AE＝EF；(3)成立．证明：延长BA到M，使AM＝CE，连接ME.∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠BME＝∠ECF，又∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，又∵∠MAD＝∠AEF＝90°，∴∠DAE＋∠MAD＝∠BEA＋∠AEF，即∠MAE＝∠CEF，∴△MAE≌△CEF(ASA)，∴AE＝EF.
　实践操作型综合探究问题
【例2】在图①至图③中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°.
(1)如图①，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
(2)将图①中的MN绕点O顺时针旋转得到图②，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；
(3)将图②中的OB拉长为AO的k倍得到图③，求的值．
【学生解答】解：(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如解图①，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°，∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD.延长AC交BD的延长线于点F，如解图①，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°，∴AC⊥BD；
　　　　
(3)如解图②，过点B作BE∥CA交DO于点E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k.
【方法指导】(1)在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者成对应比例．有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解．
(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直．先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直．若平行，则常通过以下方法进行证解：①平行线的判定定理；②平行四边形对边平行；③三角形中位线性质等．若垂直，则可考虑以下途径：①证明两线段所在直线夹角为90°；②两线段是矩形的邻边；③两线段是菱形的对角线；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明．
2．(2015河南中考)如图1，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)问题发现：
①当α＝0°时，＝________；
②当α＝180°时，＝________；
(2)拓展探究：
试判断：当0≤α＜360°时，的大小有无变化，请仅就图2的情况给出证明；
(3)问题解决：
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直线写出线段BD的长．
解：(1)；；(2)无变化．∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴△EDC∽△ABC.∴＝.又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△CEA∽△CDB.∴＝.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴＝＝.∴＝，即的大小不变；(3)4或.
　几何图形的动态问题
【例3】(2015青岛中考)已知：如图1，在?ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速动，速度为1 cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图2，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥MN?
(2)设△QMC的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)当PQ∥MN时，PQ∥AB，利用平行线分线段成比例表示线段CP、AC、CQ、CB的比例关系，进而得出t值；
(2)分别过点A，P作AE⊥BC，PD⊥BC分别于点E，D，利用相似三角形的性质得到PD的长，从而表示出S△QPC，再根据平行线间的距离处处相等得S△QMC＝S△QPC，从而求出的函数关系式；
(3)在(2)的基础上，用含t的式子表示S△QMC和S四边形ABQP的式子，假设题中关系式成立，可得关于t的方程，t有解则存在；若t无解，则不存在；
(4)假设PQ⊥MQ，则易证△MQP∽△PDQ，利用相似三角形的对应线段成比例，进而计算得出t的存在性．
【学生解答】(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝4.由平移性质可得MN∥AB.∵PQ∥MN，∴PQ∥AB.∴＝，即＝，解得t＝；(2)作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E.由S△ABC＝AB×AC＝AE×BC可得AE＝.则由勾股定理易求CE＝.∵PD⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥PD.∴△CPD∽△CAE.∴＝＝，即＝＝.∴PD＝，CD＝.∵PM∥BC，∴M到BC的距离h＝PD＝.∴△QCM是面积y＝CQ×h＝×t×＝－t2＋t；(3)∵PM∥BC，∴S△PQC＝S△MQC.若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5，∴－t2＋t＝×6，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2.即当t＝2时，S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4；(4)若PQ⊥MQ，则∠MQP＝∠PDQ＝90°.∵MP∥BC，∴∠MPQ＝∠PQD.∴△MQP∽△PDQ.∴＝.∴PQ2＝PM·DQ.即PD2＋DQ2＝PM·DQ，由CD＝，∴DQ＝CD－CQ＝.∴()2＋()2＝5×，整理得2t2－3t＝0.解得t1＝0(舍)，t2＝.即当t＝时，PQ⊥MQ.
【点拨】图形的运动变换主要是图形的平移、旋转和翻折这几种基本变换，每一种变换都涉及三角形的全等，而在平移问题中，由平行也可以得到的相似三角形，而全等和相似的性质就是解决这些问题的关键所在．
3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD＝4 cm，DC＝5 cm，AB＝8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1 cm/s.当P点到达C点时，两点同时停止运动．连接PQ，设运动时间为t s．解答下列问题：
(1)当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
(2)设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
解：(1)过C作CE⊥AB于点E，易得：BC＝5，当t＝5时，P、Q同时停止运动；(2)作PF⊥AB于点F，根据题意，得AQ＝t，BQ＝8－t，BP＝t.∵△BPF∽△BCE，∴＝，∴PF＝t.∴S△PQB＝BQ·PF＝－(t－4)2＋.∴当t＝4时，△PQB的面积最大，且S△max＝ cm2；(3)①若BP＝BQ，则t＝8－t，∴t＝4 s；②若QP＝QB，则＝，t＝ s；③若PQ＝PB，则＝，t＝ s．综上，当t等于4 s， s， s时，△PQB为等腰三角形．
4．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ACB；
(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
解：(1)在△APQ与△ACB中，∵∠ABC＝90°，PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠ABC，∵∠PAQ＝∠CAB，∴△APQ∽△ACB；(2)AP＝或6.

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