资源简介

第七章　圆
第一节　圆的有关概念及性质
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
填空
10
圆周角定理
利用直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等求角
2
2
2015
填空
9
圆周角定理
先利用圆周角与圆心角之间的关系求圆周角，再结合等腰三角形性质求角
2
2
2013
填空
9
圆的基本性质
利用圆周角定理和垂径定理求角
2
2
2012
填空
8
圆周角定理
利用圆周角定理求角
2
解答
25
圆的基本性质
利用圆周角定理、垂径定理结合解直角三角形，论两直线平行和求圆的直径
7
9
命题规律
纵观青海省五年中考，圆的有关性质属于中考重点考查内容，题型以填空为主，也有解答题出现，难度属于基础题略偏上
命题预测
预计2017年青海省中考圆周角定理、垂径定理与圆的切线可能综合在一起考查
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　圆的有关性质(青海5次、西宁3次)
1．(2013西宁中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，且AE∶BE＝1∶3，则AB＝__4__．
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2012青海中考)如图，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__69__°.
3．(2012西宁中考)如图是某风景区的一个圆形拱门，路面AB宽为2 m，净高CD为5 m，则圆拱形门所在圆的半径为__2.6__m.
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2015青海中考)如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC＝112°，点D在BA的延长线上，AD＝AC，则∠D＝__28°__．
5．(2016西宁中考)⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC度数为__15°或75°__．
6．(2013青海中考)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝__26°__．
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2016青海中考)如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝__40°__．
8．(2012青海中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥MD；
(2)若BC＝4，sinM＝，求⊙O的直径．
解：(1)∵∠C与∠M是所对的圆周角，∴∠C＝∠M，又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠M，∴CB∥MD；(2)连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴＝，∴∠A＝∠M，∴sinA＝sinM，在Rt△ACB中，sinA＝，∵sinM＝，BC＝4，∴AB＝6，即⊙O的直径为6.
,中考考点清单)
　圆的有关概念
圆的
定义
定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
定义2：圆是到定点的距离①__等于__定长的所有点组成的图形.
弦
连接圆上任意两点的②__线段__叫做弦．
直径
直径是经过圆心的③__弦__，是圆内最④__长__的弦.
弧
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤__优弧、半圆、劣弧__之分，能够完全重合的弧叫做⑥__等弧__．
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆.
同心圆
圆心相同的圆叫做同心圆.
　圆的对称性
圆的
对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦__圆心__的直线．
圆是中心对称图形，对称中心为⑧__圆心__.
垂径定理
定
理
垂直于弦的直径⑨__平分__弦，并且平分弦所对的两条⑩__弧__．
推
论
平分弦(不是直径)的直径?__垂直于__弦，并且?__平分__弦所对的两条弧.
续表
圆心角、
弧、弦之
间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量?__相等__，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
　圆周角
圆周角
的定义
顶点在圆上，并且?__两边__都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的?__一半__.
推论1
同弧或等弧所对的圆周角?__相等__．
推论2
半圆(或直径)所对的圆周角是?__直角__；90°的圆周角所对的弦是?__直径__．
推论3
圆内接四边形的对角?__互补__.
【方法总结】
1．在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　垂径定理及应用
【例1】(2014凉山中考)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，求AC的长．
【学生解答】解：AC的长为4 cm或2 cm.
【点拨】根据点C的不同位置应进行分类讨论．
1．(2016黄石中考)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为点N，则ON＝(　A　)
A．5 B．7 C．9 D．11
2．(2016陕西中考)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(　B　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2016绍兴中考)如图(1)，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图(2)是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为__25__cm.
　与圆有关的角的计算
【例2】(1)(2016黄冈中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝________．
第(1)题图
　　　第(2)题图
(2)(2016咸宁中考)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为________．
【学生解答】(1)35°；(2)122°
【点拨】求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角及弧之间的关系，遇直径时，一般联想直径所对圆周角为直角．
4．(2016茂名中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(　A　)
A．150° B．140° C．130° D．120°
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2016兰州中考)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(　A　)
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．(2016兰州中考)如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　C　)
A．3 B．4 C．3 D．4
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2016杭州中考)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A、C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　D　)
A．DE＝EB B.DE＝EB
C.DE＝DO D．DE＝OB
8．(2016绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(　D　)
A．60° B．45° C．35° D．30°
(第8题图)
　　　(第9题图)
9．(2017中考预测)如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(　D　)
A．45° B．40° C．25° D．20°
第七章　圆
第一节　圆的有关概念及性质
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
1．(2016南宁中考)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为(　B　)
A．140° B．70° C．60° D．40°
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2016眉山中考)如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC＝(　B　)
A．64° B．58° C．72° D．55°
3．(2015安顺中考)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(　C　)
A．2　　　B．4　　　C．4　　　D．8
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016兰州中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　C　)
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．(2016金华中考)点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为(　C　)
A．40° B．100°
C．40°或140° D．40°或100°
6．(2016安徽中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　D　)
A．80° B．100° C．110° D．130°
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2016成都中考)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为(　D　)
A．1 B. C．3 D.
8．(2015宁夏中考)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC.若AB＝2，∠BCD＝30°，则⊙O的半径为____．
9．(2016长春中考)如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的大小为__30__°.
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2016百色中考)如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝__65°__．
11．(2015绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于__60__°.
(第11题图)
　　　(第13题图)
12．(2016原创)已知△ABC的边BC＝4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是__30°或150°__．
13．(2015泉州中考)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上，若∠A＝50°，则∠BCE＝__50°__．
14．(2016临沂中考)如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
解：(1)∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形；(2)∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°.在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，∴AP＝AC·cot∠APC＝2.在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD＝AC·tan∠ACD＝6.∴PD＝AD－AP＝6－2＝4.
15．(2017中考预测)已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为(　D　)
A．17 cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
16．(2015兰州中考)如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB＝(　B　)
A．80° B．90°
C．100° D．无法确定
(第16题图)
　　　(第17题图)
17．(2015日照中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连接BD，DE，若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是(　D　)
A．BD⊥AC
B．AC2＝2AB·AE
C．△ADE是等腰三角形
D．BC＝2AD
18．(2016吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为__80__°.(写出一个即可)
(第18题图)
　　　(第19题图)
19．(2016黑龙江中考)如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为__2__．
20．(2015安徽中考)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
(1)如图(1)，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
(2)如图(2)，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：(1)连接OQ，∵AB＝6，∴AO＝BO＝3，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；(2)连接OQ，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝.
21．(2016威海中考)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；
(2)若AC＝2，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．
解：(1)如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°.即∠DAB＋∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠ABD，∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD，∴∠ABC＝2∠CAF；(2)如图，连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(2)2＝x2＋(3x)2，∴x＝2，∴CE＝2.
22．(2016东营中考)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
解：(1)∵OD∥BC，∴∠DOA＝∠B＝70°.又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝55°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°.∴∠CAD＝35°；(2)在Rt△ACB中，BC＝＝.∵圆心O是直径AB的中点，OD∥BC，∴OE＝BC＝.又OD＝AB＝2，∴DE＝OD－OE＝2－.
23．(2015遵义中考)如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，求弦AE的长．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴点D是BC的中点； (2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠ABC＝∠AED，∴∠AED＝∠C，∴CD＝DE＝3，∴BD＝DC＝3.∵BD－AD＝2，∴AD＝1.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2＝32＋12＝10，∴AB＝，∴⊙O的半径为；(3)连接BE，∵AB＝，∴AC＝，∵∠ADC＝∠BEA，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，即＝，∴CE＝，∴AE＝CE－AC＝－＝.
第三节　正多边形与圆有关的计算
　　　　　　　　　　,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
填空
8
求阴影部分的面积
求汽车挡风玻璃前的雨刷器扫过的面积
2
2
2015
填空
7
求阴影部分的面积
求三个小正方形中三个扇形围成的面积
2
2
2014
解答
24
求阴影部分的面积
(1)切线的判定；(2)求阴影部分的面积
9
9
2013
选择
20
求阴影部分的面积
求直角三角形截取两个扇形后剩下部分的面积
3
3
2012
填空
12
求阴影部分的面积
以直角三角形的两条直角边为直径的两个半圆形成的图形和重叠部分的面积
2
2
命题规律
纵观青海省五年中考，求图中阴影部分面积每年必考，各种题型都有所出现，以解答题形式出现时，通常与圆的切线结合在一起考查，综合性强
命题预测
预计2017年青海省中考考查的重点仍然是求阴影部分的面积，各种题型均可能出现
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　正多边形与圆(青海0次、西宁1次)
1．(2015西宁中考)一元钱硬币的直径为24 mm，则用它能完全覆盖住正六边形的边长最大不能超过(　A　)
A．12 mm B．12 mm
C．6 mm D．6 mm
　扇形与弧长之间的关系(青海0次，西宁4次)
2．(2012西宁中考)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__40__cm.
3．(2014西宁中考)一个扇形的圆心角60°，它所对的弧长为2π，则这个扇形的半径为__6__．
4．(2015西宁中考)圆心角为120°，半径是6 cm的扇形纸片的弧长是__4π__cm.
5．(2013西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则的长l＝__π__．
(第5题图)
　　　(第6题图)
　求阴影部分的面积(青海5次、西宁1次)
6．(2015青海中考)如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是____．(结果保留π)
7．(2012青海中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影的面积为__－4__．(结果保留π)
(第7题图)
　　　(第8题图)
8．(2016青海中考)如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO＝45 cm，CO＝5 cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为__500π__cm2.(结果保留π)
9．(2015西宁中考)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是(　D　)
A.π－1 B.π－2
C．π－2 D．π－1
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2013青海中考)如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，分别以A、B为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的面积为(　A　)
A．(24－π)cm2 B.π cm2
C．(24－π)cm2 D．(24－π)cm2
11．(2014青海中考)如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD＝∠APC.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是4，AP＝4，求图中阴影部分的面积．
解：(1)略；
(2)阴影部分的面积为π－4.
12．(2016青海模拟)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处，再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.
(1)求证：EF∥CG；
(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．
解：(1)略；(2)S阴影＝S△FCG＋S△ABF＋S扇形ABC－S扇形AFG＝×(1＋2)×1＋×2×1＋π×22－π×(22＋12)＝－π.
,中考考点清单)
　圆的弧长及扇形面积公式
如果圆的半径是R，弧所对的圆心角度数是n，那么
弧长公式
弧长l＝①____
扇形面积公式
S扇＝＝②__lR__
　圆锥的侧面积与全面积
图形
圆锥简介
(1)h是圆锥的高，r是底面半径；
(2)l是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的③__半径__；
(3)圆锥的侧面展开图是半径等于④__l__长，弧长等于圆锥底面的⑤__周长__的扇形．
圆锥的侧面积
S侧＝⑥__πrl__
圆锥的全面积
S全＝⑦__πr2＋πrl__
　正多边形与圆
如果正多边形的边数为n，外接圆半径为R，那么
边长an＝⑧__2Rsin__
周长C＝⑨__2nRsin__
边心距rn＝⑩__Rcos__
中心角为：?____
面积：?__一边两端点与中心连接所围成的三角形面积的n倍__
内切圆半径：?__rn__
外接圆半径：?__正多边形半径__
【方法点拨】
1．牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
2．圆锥的侧面问题转化为平面问题，如最短路线问题．
中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　弧长与扇形面积
【例1】(1)(2015苏州中考)如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC的弧长为________．(结果保留π)
例1(1)题图
　　　例1(2)题图
(2)(2015河北中考)如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形(阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为(　　)
A．πa　　B．2πa　　C.πa　　D．3a
【解析】(1)连接OC、OB，设法求半径OB及∠BOC即可；(2)阴影部分的周长为的长的2倍．
【学生解答】(1)π；(2)A
1．(2016兰州中考)如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　C　)
A．π cm 　　B．2π cm
C．3π cm 　　D．5π cm
2．(2016宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(　D　)
A．3π B．6π C．9π D．12π
3．(2016宁波中考)如图，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为____．
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016苏州中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A＝∠D，CD＝3，则图中阴影部分的面积为____.
5．(2016咸宁中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)
解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，又∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠C＝90°，∴直线BC与⊙O相切；(2)设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(2)2＝(r＋2)2，解得r＝2.∵tan∠BOD＝＝＝，∴∠BOD＝60°，∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝×OD×BD－×πr2＝2－π.
　圆锥的侧面积与全面积
【例2】(2015成都中考)一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________．(结果保留π)
【学生解答】68π
6．(2016宁波中考)如图，圆锥的底面积半径r为6 cm，高h为8 cm，则圆锥的侧面积为(　C　)
A．30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2015莱芜中考)将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　A　)
A．2 cm　 B. cm　 C. cm　 D. cm
8．(2016孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是__9__cm.
第三节　正多边形与圆有关的计算
1．(2016长春中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为(　C　)
A.π　　　　　　　　　B．π
C.π D.π
2．(2015鄂州中考)圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为(　D　)
A．90°　 　B．120°　 　C．150°　 　D．180°
3．(2015莱芜中考)如图，⊙O的半径为1 cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积是(结果保留π)(　C　)
A．6π cm2
B. cm2
C. cm2
D．π cm2
4．(2016深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为(　A　)
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2016桂林中考)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画和，连接AD，则图中阴影部分面积是(　D　)
A．π B.
C．3＋π D．8－π
6．(2016宁夏中考)用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为__2__．
7．(2016淮安中考)若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开圆的圆心角是__120__°.
8．(2016聊城中考)如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为__2π__．
(第8题图)
　　　(第9题图)
9．(2016襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为__π__．
10．(2016河南中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为__－π__．
11．(2016梅州中考)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)如图，连接OC.∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°.∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°.∴S扇形BOC＝＝.在Rt△OCD中，∵＝tan60°，∴CD＝2，∴SRt△OCD＝×OC×CD＝×2×2＝2.∴图中阴影部分的面积为：2－.
12．(2016十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(　D　)
A．10 cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
(第12题图)
　　　(第13题图)
13．(2016荆门中考)如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是(　C　)
A．12 cm B．6 cm
C．3 cm D．2 cm
14．(2016兰州中考)如图，在正方形ABCD中，对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，点D经过的路径为DD′，则图中阴影部分的面积是(　C　)
A.－1 B.－
C.－ D.
,(第14题图))　　　,(第15题图))
15．(2015潍坊中考)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm，水的最大深度是2 cm，则杯底有水部分的面积是(　A　)
A．(π－4)cm2 B．(π－8)cm2
C．(π－4)cm2 D．(π－2)cm2
16．(2016黄石中考)如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是__2π＋2__．
17．(2015恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于__5π__．
,(第17题图))　　,(第18题图))
18．(2015福州中考)一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2π cm，则正方体的体积为__2__cm3__．
19．(2015永州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(－2，0)，△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为__π__．
(第19题图)
　　(第20题图)
20．(2016长沙中考)如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为.若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是____．
21．(2016毕节中考)如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为多少．
解：S阴＝4(S扇－S△)＝4[－·1·]＝4(－)＝－1.
22．(2015玉林中考)如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，且∠BOD＝60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB，EB与DO交于点F.
(1)求证：四边形BCDE是平行四边形；
(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r.
解：(1)∵∠BOD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴＝，∵E为的中点，∴＝＝，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；(2)S△DEF＝S△BOF，∴S阴影＝S扇形OBD，即＝6π，∴r＝6.
23．(2016昆明中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
解：(1)连接OD.∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DOC＝∠AOC，在△COD和△COA中，∴△COD≌△COA，∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线；(2)∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝120°，∠ACO＝30°，∵OC＝EB＝4，∴AO＝2，AC＝2，∴S阴＝2·S△AOC－S扇形OAD＝2××2×2－＝4－.
24．(2016沈阳模拟)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E .
(1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°，∵∠ABC＝2∠D，∴2∠D＋∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°；(2)∵∠COB＝3∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＋3∠AOB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴∠COB＝3×30°＝90°，在Rt△OCE中，OC＝2，∴OE＝OC·tan∠OCE＝2·tan30°＝2×＝2，∴S△OEC＝OE·OC＝×2×2＝2，∴S扇形OBC＝＝3π，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OEC＝3π－2.
第二节　点、直线与圆的位置关系
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
解答
25
切线的性质
切线的性质与直径所对的圆周角为90°，解直角三角形的综合应用
9
9
2015
解答
26
切线的性质
利用切线的性质、圆周角定理及推论，
解直角三角形，证线段相等和计算
8
8
2014
填空
8
切线的性质
利用切线长相等，求角
2
2
2013
解答
26
切线的性质
(1)切线的判定；(2)利用圆的有关性质求圆的半径
9
9
命题规律
纵观青海省五年中考，直线与圆的位置关系，一般以解答题的形式出现，涉2～3问，其中至少一问是证明，一问是计算难度中等、综合性较强
命题预测
预计2017年青海省中考，切线的判定与性质仍为重点考查内容，应强化训练
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　点与圆、圆与圆的位置关系(青海0次、西宁2次)
1．(2013西宁中考)已知两个半径不相等的圆外切，圆心距为6 cm，大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆半径为(　D　)
A．2 cm或6 cm B．6 cm
C．4 cm D．2 cm
2．(2014西宁中考)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R、d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为__4__．
　切线的判定与性质(青海5次、西宁5次)
3．(2014青海中考)如图所示，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB＝65°，则∠P＝__50°__．
4．(2013西宁中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作∠CAD＝∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD，垂足为点E.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为8，CE＝2，求CD的长．
解：(1)证明略；
(2)CD的长为.
5．(2012青海中考)如图(1)，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D.
图(1)
　　　图(2)
(1)求证：△ADC∽△ACB；
(2)如果把直线CD向下平移，如图(2)，直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG＝4，BG＝3，求tan∠DAC的值．
解：(1)证明略；(2)tan∠DAC的值为.
6．(2015青海中考)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.
(1)求证：AM＝AC；
(2)若AC＝3，求MC的长．
解：(1)连接AD、OA，则AD⊥AC.∵＝，∴∠ADC＝∠B＝60°，∴∠ACM＝30°，∵∠ADC＝60°，OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOM＝60°，又∵AM为⊙O切线，∴∠OAM＝90°，∴∠M＝30°，又∵∠ACM＝30°，∴AC＝AM；(2)在Rt△AOM中，∠AMO＝30°，AM＝3，OA＝AM·tan30°＝3
,中考考点清单)
　点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)
1.
位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外
数量(d与r)
的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__　直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
2.
位置关系,相离,相切,相交
公共点个数,0,1,2
公共点的名称,无,切点,交点
数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__
　切线的性质与判定
3．判定切线的方法有三种：
(1)利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；
(3)经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的五个性质：
(1)切线与圆只有__一个__公共点；
(2)切线到圆心的距离等于圆的__半径__；
(3)切线垂直于经过切点的__半径__；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．
5．切线判定中常作的辅助线：
(1)能确定直线和圆有公共点，作__半径__，证__垂直__；
(2)不能确定直线和圆是否有公共点，作__垂直__，证__半径__．
　切线长定理
6．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．
　三角形的外心和内心
7．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．
8．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．
【方法点拨】
1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a、b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝.
,中考重难点突破)
　　　　　 　　　　　 　　　　
　点与圆和直线与圆的位置关系
【例1】(2016连云港中考)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)
A．2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
【解析】点A与离其较近的4个点之间的距离分别为2，，3，若恰好有3个在圆内，则r的取值范围为＜r＜3.
【学生解答】B
1．(2016宜昌中考)在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为(　A　)
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
2．(2016原创)如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是(　B　)
A．相离 　　　　B．相切
C．相交 　　　　D．以上三种情形都有可能
　切线的性质及判定
【例2】(2013青海中考)如图，已知Rt△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作BC的垂线，分别交CB、CA的延长线于点E、F.
(1)求证：FE是⊙O的切线；
(2)若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．
【学生解答】解：(1)连接OD交AB于点G，∵D是的中点，OD是半径，∴AG＝BG，∵AO＝OC，∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥BC，即OD∥CE，又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴FE是⊙O的切线；(2)在Rt△CEF中，EF＝8，EC＝6，∴CF＝10，∴设半径OC＝OD＝r，则OF＝10－r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，∴＝，即＝，∴r＝，即⊙O的半径为.
【方法点拨】
1．证切线有三种方法：①定义法；②连半径证垂直；③作垂直，证半径；
2．用圆的切线的性质进行证明或计算，常作辅助线，构造直角三角形求解．
3．(2015西宁中考)如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足＝，过点O作OM⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点M，连接BM，AM.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若sin∠ABM＝，AM＝6，求⊙O的半径．
解：(1)连接OA.∵AB平分∠FBC，∴∠DBA＝∠ABC.∵＝，∴△ABD∽△CBA(两组对应边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似)，∴∠ADB＝∠CAB.又∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°(直径所对的圆周角为直角)，∴∠ADB＝90°，又∵点A在⊙O上，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠DBA，∴FB∥OA，∴∠ADB＋∠OAD＝180°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥DA，∵OA为半径，∴AD为⊙O的切线(过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线)；(2)连接CM.∵OM⊥AC交⊙O于点M，OM为⊙O的半径，∴＝，∴∠ABM＝∠CBM，AM＝CM＝6，∴sin∠ABM＝sin∠CBM＝.∵BC为⊙O的直径，∴∠BMC＝90°(直径所对圆周角是直角)，∴在Rt△BMC中，sin∠CBM＝，∴＝，∴BC＝10，∴⊙O的半径为5.
第二节　点、直线与圆的位置关系
1．(2016海东模拟)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，点A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于(　C　)
A．20°　　　B．25°　　　C．40°　　　D．50°
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2015衢州中考)如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是(　D　)
A．3 B．4 C. D.
3．(2016海南中考)如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠ABC的度数为(　B　)
A．20° B．25° C．40° D．50°
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016乐都模拟)如图，⊙O1和⊙O2分别是Rt△ABC的内切圆和外接圆，已知∠C是直角，∠A＝30°，且⊙O1的半径为1，则⊙O1和⊙O2的圆心距等于(　A　)
A. B. C. D.
5．(2016平安模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以点O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为点D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为(　A　)
A．2；22.5° B．3；30°
C．3；22.5° D．2；30°
(第5题图)
　　　(第6题图)
6．(2016西宁虎台区域联考)如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是(　B　)
A. B.
C. D.
7．(2016毕节中考)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD＝CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD＝2∠ABD.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若∠A＝60°，DF＝，求⊙O的直径BC的长．
解：(1)∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠CEB＝90 °(直径所对的圆周角为直角)，∴∠CBD＋∠BCE＝∠CDE＋∠DCE，∴∠BCE＝∠DCE，且∠BCD＝2∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD＋∠ABD＝∠CBD＋∠BCE＝90°，∴CB⊥AB，垂足为B，又CB为直径，∴AB是⊙O的切线；(2)∵∠A＝60°，DF＝，∴在Rt△AFD中，AF＝＝＝1，AD＝2，∵DF⊥AB，CB⊥AB, ∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠ACB, ∵ ∠A＝∠A, ∴△ADF∽△ACB，∴＝，设BC＝x，则＝，解得x＝4＋6，∴BC＝ 4＋6.
8.(2016襄阳中考)如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为，弦BD的长为3，求CF的长．
解：(1)连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝∠A＋∠OCA＝2∠A，∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF为⊙O的切线；(2)作OH⊥BD于H，如图，则BH＝DH＝BD＝，在Rt△OBH中，∵OB＝，BH＝，∴OH＝＝2，易得四边形OHEC为矩形，∴CE＝OH＝2，HE＝OC＝，∴BE＝HE－BH＝1，∵BE∥OC，∴△FBE∽△FOC，∴＝，即＝，∴CF＝.
9．(2016鄂州中考)如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD＝4，BC＝9，以下结论：
①⊙O的半径为；②OD∥BE；③PB＝；④tan∠CEP＝
其中正确结论有(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2016淄博中考)如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为__4或或__．
11．(2017中考预测)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH＝CE＋EH.
证明：(1)∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE＝∠DAE，又∠EAC＝∠EBC，∴∠DAC＝∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；(2)作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC＝∠AEF，又∠ABC＝∠ACB，∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEB＝∠ACB，∴∠AEH＝∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH＝EF，∴CE＋EH＝CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH＝CF＝CE＋EH.
12．(2016荆州中考)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，A是的中点，AE⊥BC，垂足为H，交⊙O于点E.过A点作⊙O的切线与BC延长线交于点F，连接CD交AE、AB于点P、Q.
(1)求证：∠B＝∠FAC；
(2)求证：点P平分CQ；
(3)若⊙O的半径为2.5，AQ＝2.25，求弦AE的长．
解：(1)连接OA，∵AF是⊙O的切线，切点是A，∴∠OAF＝90°，即∠OAC＋∠CAF＝90°，又∵BC是⊙O的直径，∴∠BAO＋∠CAO＝90°，∴∠BAO＝∠CAF，∵OB＝OA，∴∠B＝∠BAO，∴∠B＝∠CAF；(2)∵BC是⊙O的直径，BC⊥AE，∴＝，∠BAC＝90°，∵A是的中点，∴＝＝，∴∠ACP＝∠CAE，∴AP＝CP，又∵∠AQC＋∠ACQ＝90°，∠PAC＋∠PAQ＝90°，∴∠AQP＝∠PAQ，∴AP＝PQ，∴CP＝PQ，即P是CQ的中点；(3)∵＝，∴∠ACQ＝∠B，又∵∠CAQ＝∠BAC＝90°，∴△ACQ∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AB·AQ＝2.25AB，∵在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，BC＝5，∴AB2＋2.25AB＝25，∴AB＝4或AB＝－(舍)，∴AC＝3，∵AC·AB＝BC·AH，∴AH＝2.4，∵BC是⊙O的直径，AE⊥BC，∴AE＝2AH＝4.8.
13．(2016安顺中考)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
解：(1)直线CE与⊙O相切．连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，∴直线CE与⊙O相切；(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，AC＝，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1，在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2即(－r)2＝r2＋3，解得r＝.
14．(2016呼和浩特中考)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.
(1)求证：∠FBC＝∠FCB；
(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．
解：(1)∵四边形AFBC内接于圆，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB；(2)由(1)得∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴＝，∴BF2＝FA·FD＝12，∴BF＝2，∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴tan∠FBA＝＝＝，∴∠FBA＝30°，又∵∠FDB＝∠FBA＝30°，∴CD＝AD·cos30°＝4×＝2.
15．(2016贺州中考)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB，∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB＝8，BC＝6，求DE的长．
解：(1)∵AE＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE＝(180°－∠BAC)＝90°－∠BAC，∵∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝∠BAC，∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝＋∠BAC＝90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∴＝，解得AD＝6.4，∵AE＝AB＝8，∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.6.
16．(2016鄂州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值；
(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
解：(1)过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；(2)连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴＝，∵tan∠D＝，∴＝，∴＝；(3)由(2)可知：＝，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AE·AD，∴(2x)2＝x(x＋6)，解得：x＝2或x＝0(不合题意，舍去)，∴AE＝2，AC＝4，由(1)可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴＝，设BF＝a，∴BC＝，∴BO＝BC－OC＝－3，在Rt△BOF中，BO2＝OF2＋BF2，∴＝32＋a2，∴解得：a＝或a＝0(不合题意，舍去)．∴AB＝AF＋BF＝4＋＝.
阶段测评(七)　圆
(时间：45分钟　总分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2016包头中考)半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是(　C　)
A．3　　　　　B．4　　　　　C.　　　　　D.
2．(2015绍兴中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长(　B　)
A．2π B．π C. D.
,(第2题图))　　　,(第3题图))
3．(2015重庆中考)如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为(　A　)
A．70° B．60° C．55° D．35°
4．(2016内江中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为(　C　)
A．π－4 B.π－1 C．π－2 D.－2
(第4题图)
　　　　(第5题图)
5．(2016陕西中考)如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　A　)
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
6．(2015南京中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　A　)
A. B. C. D．2
7．(2016威海中考)圆锥的侧面积为15π cm2，底面半径为3 cm，则圆锥的母线长为(　C　)
A．4 B．6 C．5 D．7
(第6题图)
　　　(第8题图)
8．(2016青岛中考)如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为(　C　)
A．1 B. C. D．2
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2016黄冈中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝__35°__．
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2015盐城中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__3＜r＜5__．
11．(2015鄂州中考)已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝，连接PB，则PB＝__1或__．
12．(2016哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__．
(第12题图)
　　　(第13题图)
13．(2016攀枝花中考)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为____．
14．(2016原创)如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD＝2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16.其中正确的结论的序号是__①③⑤__．
三、解答题(共36分)
15．(9分)(2016怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，且BD＝BF.
(1)求证：AC与⊙O相切；
(2)若BC＝6，AB＝12，求⊙O的面积．
解：(1)连接OE，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵BD＝BF，∴∠ODE＝∠F，∴∠OED＝∠F，∴OE∥BF，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴AC与⊙O相切；(2)由(1)知∠AEO＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC，∴＝，设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝4，∴⊙O的面积π42＝16π.
16．(9分)(2016原创)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E.连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE.∴FC＝FE，OE＝OC，∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 即：∠OCE＋∠FCE＝90°.∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即：∠FEO＝90°，∴FE为⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°.CD＝3，AC＝6，∴AD＝3.
17．(9分)(2016襄阳中考)如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6.
(1)求证：①直线AB是⊙O的切线；
②∠FDC＝∠EDC；
(2)求CD的长．
解：(1)①连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线；②∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF；(2)作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M.∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3，∴ON＝＝4，∵∠OCM＋∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN＋MN＝8，∴CD＝＝＝4.
18．(9分)(2016十堰中考)如图(1)，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)如图(2)，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．
解：
(1)如图所示中，连接OC.∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＋∠2＝90°，∴∠ACD＝∠1，∵AB是直径，∴∠1＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B；(2)①∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠FDB，∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴tan∠CFE＝tan45°＝1；②在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，∴△DCA∽△DBC，∴＝＝＝，设DC＝3k，DB＝4k，∵CD2＝DA·DB，∴9k2＝(4k－5)·4k，∴k＝，∴CD＝，DB＝，∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，∴△DCE∽△DBF，∴＝，设EC＝CF＝x，∴＝，∴x＝，∴CE＝.

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