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第三章　函数及其图象
第一节　函数及其图象
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
填空
4
函数自变量的取值范围
求既含有字母，又含有二次根式的自变量的取值范围
2
选择
19
函数图象的判断
以正方形为背景，判断函数的图象
3
5
2014
填空
7
平面坐标系中的对称规律
利用对称规律求字母的值
2
填空
11
平面直角坐标系
以象棋为背景建立平面直角坐标系，求点的坐标
2
4
2013
填空
5
函数自变量的取值范围
求既含有分母又含二次根式的自变量的取值范围
2
2
2012
填空
4
函数自变量的取值范围
求既含有分母又含有二次根式的自变量的取值范围
2
选择
20
函数图象信息
利用图象结合实际获取信息
3
5
命题规律
纵观青海五年中考，有四年考查了此考点内容，并且以选择题、填空题的形式呈现，其中求函数自变量的取值范围考查了3次，平面直角坐标系及其点的对称规律考查了2次，函数图象及其信息考查了2次
命题预测
预计2017年青海中考考查的重点为求函数自变量的取值范围和函数图象的判断，可能会与其他知识结合，特别是与几何图形结合的图象
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平面直角坐标系(青海1次、西宁0次)
1．(2014青海中考)如图所示，在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(－2，－2)，“马”位于点(1，－2)，则“兵”位于点__(－4，1)__．
　求自变量的取值范围(青海3次、西宁1次)
2．(2012西宁中考)函数y＝的自变量x的取值范围在数轴上可表示为(　D　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
3．(2012青海中考)函数y＝中，自变量x的取值范围是__x≥－4且x≠2__．
4．(2013青海中考)函数y＝中，自变量x的取值范围是__x≥－1且x≠0__．
5．(2016青海中考)函数y＝中，自变量的取值范围是__x≥－3且x≠2__．
　平面坐标系中点的坐标特征(青海1次、西宁1次)
6．(2014青海中考)若点M(3，a)关于y轴的对称点是点N(b，2)，则(a＋b)2 014＝__1__．
7．(2015西宁中考)若点(a，1)与(－2，b)关于原点对称，则ab＝____．
　与实际相结合的函数图象(青海2次、西宁4次)
8．(2016西宁中考)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC, 使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是(　A　)
,A) 　　　　,B)
,C) 　　　　,D)
9．(2015西宁中考)如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下两个底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体，设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是(　B　)
,A) 　　　　,B)
,C) 　　　　,D)
10．(2014西宁中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P不与点B，C重合)，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，作∠BPC1的平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，那么y关于x函数图象大致应为(　C　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
11．(2013西宁中考)如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分(阴影部分)的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为(　B　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
12．(2012青海中考)如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a km，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b min，则a，b的值分别为(　D　)
A．1，8 B．0.5，12 C．1，12 D．0.5，8
13．(2016青岛中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为(　C　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
,中考考点清单)
　平面直角坐标系及点的坐标
1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．
【方法技巧】一般地，点P(a，b)到x轴的距离为|b|；到y轴的距离为|a|；到原点的距离为.
2．平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限点的坐标的符号特征
第一象限(＋，＋)；第二象限①__(－，＋)__；第三象限(－，－)；第四象限②__(＋，－)__
坐标轴上点的坐标特征
x轴上的点的纵坐标为③__0__，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)
各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的横、纵坐标④__互为相反数__
对称点的坐标特征
点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，－b)；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为⑤__(－a，b)__；点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(－a，－b)
平移点的坐标特征
将点P(x，y)向右或向左平移a个单位长度，得到对应点的坐标P′是(x＋a，y)或(x－a，y)；将点P(x，y)向上或向下平移b个单位长度，得到对应点的坐标P′是(x，y＋b)或(x，y－b)；将点P(x，y)向右或向左平移a个单位长度，再向上或向下平移b个单位长度，得到对应点P′是⑥__(x＋a，y＋b)或(x－a，y－b)__，简记为：左减右加，上加下减
　函数的相关概念
3．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．
4．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．
5．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．
　函数自变量的取值范围
解析式
取值范围
整式型
取全体实数
分式型，如y＝
分母不为0，即x≠0
根式型，如y＝
被开方数大于等于0，即x≥0
分式＋根式型，
如y＝
同时满足两个条件：①被开方数大于等于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0
　函数的表示方法及其图象
函数图象的判断近5年共考查1次，题型为选择题，出题背景有：(1)与实际问题结合；(2)与几何图形结合；(3)与几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是”．
6．表示方法：数值表、图象、解析式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．
7．图象的画法：知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象．
(1)取值．根据函数的解析式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表；
(2)画点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；
(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．
8．已知函数解析式，判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：若点P(x，y)的坐标适合函数解析式，则点P(x，y)在其图象上；若点P(x，y)的坐标不适合函数解析式，则点P(x，y)不在其图象上．
【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法
(1)与实际问题结合：
判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.
(2)与几何图形(含动点)结合：
以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t，找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．
(3)分析函数图象判断结论正误：
分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平面直角坐标系中点的坐标特征
【例1】(2015唐山模拟)若将点A(－4，3)先向右平移3个单位长度，再往下平移1个单位长度，得到点A1，点A1的坐标为(　　)
A．(－1，3) B．(－1，2)
C．(－7，2) D．(－7，4)
【解析】∵点A(－4，3)先向右平移3个单位长度，再往下平移1个单位长度，∴点A1的坐标为(－1，2)．
【学生解答】B
1．(2016广东中考)在平面直角坐标系中，点P(－2，－3)所在的象限是(　C　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2016武汉中考)已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是(　D　)
A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1
C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1
3．(2016长沙中考)若将点(1，3)向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标为(　C　)
A．(2，－1) B．(－1，0)
C．(－1，－1) D．(－2，0)
4．(2016山西中考)如图是利用网格画出的太原市地铁1、2、3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，则表示双塔西街的点的坐标为(0，－1)，表示桃园路的点的坐标为(－1，0)，则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是__(3，0)__．
　函数自变量的取值范围
【例2】(2016原创)函数y＝－(x－2)0中，自变量x的取值范围是________．
【解析】根据题意得，x≥0且x－3≠0且x－2≠0，解得x≥0且x≠3且x≠2.
【学生解答】x≥0且x≠3且x≠2
【方法指导】对于分式、根式、零指数幂相结合求自变量取值范围的，先求出各自变量的取值范围，然后取公共解集即可．
5．(2016威海中考)函数y＝的自变量x的取值范围是(　B　)
A．x≥－2 B．x≥－2且x≠0
C．x≠0 D．x＞0且x≠－2
　函数图象的判断
【例3】(2016营口中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是(　　)
,A) 　　　　,B)
,C) ,D)
【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE＝×3＝2.①点P在AD上时，△APE的面积y＝x·2＝x(0≤x≤3)；②点P在CD上时，S△APE＝S四边形AECD－S△ADP－S△CEP＝×(2＋3)×2－×3×(x－3)－×2×(3＋2－x)＝5－x＋－5＋x＝－x＋，所以y＝－x＋(3＜x≤5)；③点P在CE上时，S△APE＝×(3＋2＋2－x)×2＝－x＋7，所以y＝－x＋7(5＜x≤7)，纵观各选项，只有A选项图形符合．
【学生解答】A
【方法指导】根据动点P的运动路径A→D→C→E可得，在计算△APE的面积时应该分为3种情况，①当P在AD上时；②当P在DC上时；③当P在CE上时，分别计算出即可．要注意转折点有x＝3时和x＝5时．
6．(2017中考预测)如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是(　B　)
,A) ,B)
,C) ,D)
7．(2016广东中考)如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P的运动路程x之间形成的函数
关系的图象大致是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
8．(2016济南中考)匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图的哪一个(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
9．如图，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则大致能反映弹簧秤的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的图象大致是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
10．2015年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
第三章　函数及其图象
第一节　函数及其图象
1．(2016德令哈市一模)已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为(　A　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1，2) B．(2，9)
C．(5，3) D．(－9，－4)
2．(2016青海二模)函数y＝中，自变量x的取值范围是(　D　)
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1
3．(2015襄阳中考)如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T(℃)随时间t(h)变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是(　C　)
A．凌晨4时气温最低为－3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
(第3题图)
　(第5题图)
4．(2015凉州中考)在平面直角坐标系中，点P(－3，2)关于直线y＝x对称点的坐标是(　C　)
A．(－3，－2) B．(3，2)
C．(2，－3) D．(3，－2)
5．(2016北京中考)在1～7月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是(　B　)
A．3月份 B．4月份
C．5月份 D．6月份
6．(2015重庆中考)今年五一节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t(min)，所走的路程为s(m)，s与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是(　C　)
A．小明中途休息用了20 min
B．小明休息前爬山的平均速度为70 m/min
C．小明在上述过程所走的路程为6 600 m
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
7．(2015自贡中考)小刚以400 m/min的速度匀速骑车5 min，在原地休息了6 min，然后以500 m/min的速度骑回出发地．下列函数图象能表达这一过程的是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
8．(2015重庆中考)某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用时间x(min)之间的函数关系．下列说法中错误的是(　D　)
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10 min
C．公共汽车的平均速度是30公里/h
D．小强乘公共汽车用了20 min
9．(2015呼和浩特中考)如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是(　D　)
A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2
C．1≤y≤3 D．0≤y≤3
10．(2015随州中考)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间距离为s(单位：km)，甲行驶的时间为t(单位：h)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1 h后，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5 h时，乙比甲多行驶了60 km；
③出发3 h时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是(　B　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
11.
(2017中考预测)一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
12．(2015广东中考)如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
13．(2016安徽中考)一段笔直的公路AC长20 km，途中有一处休息点B，AB长15 km.甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发．甲以15 km/h的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10 km/h的速度匀速跑至终点C；乙以12 km/h的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2 h内运动路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系的图象是(　A　)
,A) 　,B)
,C) 　,D
第三节　一次函数的实际应用
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
解答
25
一次函数的应用
利用一次函数的性质解决实际问题中的最大利润
8
8
2012
解答
25
一次函数的应用
利用一次函数的性质结合不等式的应用解决实际问题中的最大利润
8
8
命题规律
纵观青海五年中考，“一次函数的实际应用”这一重要考点，综合性强，只考查两次，随着轮流中考趋势，这一考点应强化训练
命题预测
预计2017年青海省中考，一次函数的实际应用可能以解答题的形式出现，主要训练掌握从实际问题中寻找数量关系的方法
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函数的实际应用(青海2次、西宁3次)
1．(2012青海中考)夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1 000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1 200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7 000元，然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？
(注：800～1 200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1 200株；利润＝销售所得金额－进货所需金额)
解：设采购马蹄莲x株、康乃馨y株，利润为w元．①当800≤x≤1 000时，得3.5x＋5y＝7 000，即y＝＝1 400－0.7x，w＝(4.5－3.5)x＋(7－5)y＝x＋2y＝x＋2(1 400－0.7x)＝2 800－0.4x，当x取800时，w有最大值2 480；②当1 000≤x≤1 200时，得3x＋5y＝7 000，即y＝＝1 400－0.6x，w＝(4.5－3)x＋(7－5)y＝1.5x＋2y＝1.5x＋2(1 400－0.6x)＝2 800＋0.3x，当x取1 200时，w有最大值3 160.综上所述，采用后者方式进货，即采购1 200株马蹄莲，采购康乃馨(7 000－3×1 200)÷5＝680(株)．
答：采购马蹄莲1 200株、康乃馨680株时，利润最大为3 160元．
2．(2012西宁中考)2012年6月9日召开的青海省居民阶梯电价听证会，征求了消费者、经营者和有关方面的意见，对青海省居民阶梯电价方案的必要性、可行性进行了论证，阶梯电价方案规定：若月用电量为130度及以下，收费标准为0.38元/度．若月用电量为131度～230度，收费标准由两部分组成：①其中130度按0.38元/度收费；②超出130度的部分按0.42元/度收费，现提供一居民家某月电费发票的部分信息如下表所示：
青海省居民电费专用发票
计费期限：一个月
用电量(度)
单价(元/度)
阶梯一：130
0.38
阶梯二：131～230(超出部分)
0.42
本月实付金额：78.8(元)
(大写)柒拾捌元捌角
根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)如果月用电量用x(单位：度)来表示，实付金额用y(单位：元)来表示，请你写出这两种情况实付金额y与月用电量x之间的函数关系式；
(2)请你根据表中本月实付金额计算一下，这个家庭一个月的实际用电量；
(3)若小芳和小华家一个月的实际用电量分别为80度和150度，则实付金额分别为多少元？
解：(1)函数关系式：y＝0.38x(0＜x≤130)，y＝0.42(x－130)＋0.38×130＝0.42x－5.2(131≤x≤230)；
(2)当y＝78.8时，0.42x－5.2＝78.8，解得x＝200.答：这个家庭一个月的实际用电量是200度；
(3)0.38×80＝30.4(元)，0.42×150－5.2＝57.8(元)．
答：小芳和小华家的实付金额分别为30.4元和57.8元．
,中考考点清单)
　一次函数的实际应用
1．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
(1)设定实际问题中的自变量与因变量；
(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
(3)确定自变量的取值范围；
(4)利用函数性质解决问题；
(5)检验所求解是否符合实际意义；
(6)答．
2．方案最值问题
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方
法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；
【方法技巧】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第②种方法更简单快捷．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函数的实际应用
【例】(2015邯郸模拟)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【解析】(1)[信息梳理]设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元．
原题信息
整理后的信息
一
销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4 000元
10a＋20b＝4 000
续表
二
销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3 500元
20a＋10b＝3 500
　　【学生解答】解：设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有解得
(2)①[信息梳理]
原题信息
整理后的信息
三
购进两种型号的电脑共100台
设购进A型电脑x台，则购进B型电脑(100－x)台
四
100台电脑的销售总利润为y元
y＝x·每台A型电脑的利润＋(100－x)·每台B型电脑的利润
　　【学生解答】解：根据题意y＝100x＋150(100－x)，即y＝－50x＋15 000；
②[信息梳理]
原题信息
整理后的信息
五
B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍
100－x≤2x
　　【学生解答】解：由题意得，100－x≤2x，解得x≥33.当x＝34时，y取得最大值，此时100－x＝66.即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；
(3)[信息梳理]
原题信息
整理后的信息
六
厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元
A型电脑的利润为：原来A型电脑的利润＋m
七
限定商店最多购进A型电脑70台
x≤70
　　【学生解答】解：根据题意得y＝(100＋m)x＋150(100－x)，即y＝(m－50)x＋15 000.其中33≤x≤70.①当0＜m＜50时，m－50＜0，y随x的增大而减小．∴当x＝34时，y取得最大值，即商店购进34台A型电脑，66台B型电脑才能获得最大利润；②当m＝50时，m－50＝0，y＝15 000.即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时获得的利润均为15 000元；③当500，y随x的增大而增大，又33≤x≤70，∴当x＝70时，y取得最大值．即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．
1．(2016原创)怀化市某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(min)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
(1)乙的速度v2＝________m/min；
(2)写出d1与t的函数关系式；
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10 m时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？
解：(1)40；
(2)d1＝
(3)当0≤t<时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
2．(2016陕西中考)昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回．如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(km)与他离家的时间x(h)之间的函数图象．根据函数图象，回答下列问题：
(1)求线段AB所表示的函数关系式；
(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112 km，求他何时到家？
解：(1)设线段AB所表示的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得∴线段AB所表示的函数关系式为y＝－96x＋192(0≤x≤2)；(2)由题意可知，下午3点时，x＝8，y＝112，设线段CD所表示的函数关系式为y＝kx′＋b′(k≠0)，则解得∴线段CD的函数关系式为y＝80x－528，∴当y＝192时，80x－528＝192，解得x＝9，∴他当天下午4点到家．
3．(2016丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间t(min)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中a的值；
(2)组委会在距离起点2.1 km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用的时间为68 min.
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
解：(1)a＝0.3×35＝10.5；(2)①∵直线OA经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴直线OA的解析式为s＝0.3t(0≤t≤35)，∴当s＝2.1时，0.3t＝2.1，解得t＝7.∵该运动员从第一次过点C到第二次过点C所用时间为68 min，∴该运动员从起点到第二次过点C所用的时间是7＋68＝75(min)，∴直线AB经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，设直线AB的解析式为s＝kt＋b，则解得∴s＝－0.21t＋17.85；②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB与横轴交点的横坐标的值．∴当s＝0时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，∴该运动员跑完赛程用时85 min.
第三节　一次函数的实际应用
1．(2016哈尔滨中考)明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了这项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：m2)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是(　B　)
A．300 m2　B．150 m2　C．330 m2　D．450 m2
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2016鄂州中考)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A－B－M方向匀速运动，到M点时停止运动，速度为1 cm/s.设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形的面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是(　A　)
,A) ,B)
,C) ,D)
3．(2016泉州中考)张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500 km，汽车出发前油箱有油25 L，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100 km/h的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示．以下说法错误的是(　C　)
A．加油前油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)的函数关系是y＝－8t＋25
B．途中加油21 L
C．汽车加油后还可行驶4 h
D．汽车到达乙地时油箱中还余油6 L
4．(2016自贡中考)某市按以下标准收取水费：用量不超过20吨，按每吨1.2元收费；超过20吨则超过部分按每吨1.5元收费．某家庭五月份的水费是平均每吨1.25元，那么这个家庭五月份应交水费(　C　)
A．20元　　B．24元　　C．30元　　D．36元
5．(2016黑龙江中考)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与t的对应关系如图所示：
(1)A、B两城之间的距离是多少千米？
(2)求乙车出发多长时间追上甲车？
(3)直接写出甲车出发多长时间，两车相距20 km.
解：(1)A、B两城之间距离是300 km；(2)设y甲＝k1t＋b1，y乙＝k2t＋b2，将(5，0)，(10，300)两点代入y甲，得解得则y甲＝60t－300；将(6，0)，(9，300)两点代入y乙，得解得则y乙＝100t－600，令y甲＝y乙，即60t－300＝100t－600，解得t＝7.5，7.5－6＝1.5，故乙车出发1.5 h后追上甲车；(3)甲出发 h，2 h，3 h和 h后，两车相距20 km.
6．(2016深圳中考)荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了2 kg桂味和3 kg糯米糍，共花费90元；后又购买了1 kg桂味和2 kg糯米糍，共花费55元．(每次两种荔枝的售价都不变)
(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；
(2)如果还需购买两种荔枝共12 kg，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低.
解：(1)设桂味的售价为x元/kg，糯米糍的售价为y元/kg.根据题意得：解得答：桂味的售价为15元/kg，糯米糍的售价为20元/kg；(2)设购买桂味t kg，总费用为W元，则购买糯米糍(12－t)kg，根据题意得：12－t≥2t，∴t≤4，∵W＝15t＋20(12－t)＝－5t＋240，∵k＝－5<0，∴W随t的增大而减小，∴当t＝4时，W最小＝220元；∴12－4＝8.答：购买桂味4 kg，糯米糍8 kg时，所需费用最低．
7．(2016遵义中考)遵义市赤水风景名胜区是国务院唯一以行政区名称命名的国家级风景名胜区，其中某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C，乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C.甲、乙两人离开景点A后的路程s(m)关于时间t(min)的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题：
(1)乙出发后多长时间与甲第一次相遇？
(2)要使甲到达景点C时，乙与C的路程不超过400 m，则乙从景点B步行到景点C的速度至少为多少？(结果精确到0.1 m/min)
解：(1)设s甲＝kt，将(90，5 400)代入得：5 400＝90k，解得k＝60，∴s甲＝60t；当20≤t≤30，设s乙＝at＋b，将(20，0)，(30，3 000)代入，得解得∴当20≤t≤30时，s乙＝300t－6 000.当s甲＝s乙时，60t＝300t－6 000，解得t＝25，∴乙出发后5 min与甲第一次相遇；(2)由题意可得：当甲到达C地，乙距离C地400 m时，乙需要步行的距离为：5 400－3 000－400＝2 000(m)，乙所用的时间为：90－60＝30(min)，故乙从景点B步行到景点C的速度至少为：≈66.7(m/min)．答：乙从景点B步行到景点C的速度至少为66.7 m/min.
8．(2016大庆中考)由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万立方米)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万立方米)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．
(1)求原有蓄水量y1(万立方米)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；
(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万立方米)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万立方米为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
解：(1)设y1＝k1x＋b1，把(0，1 200)和(60，0)代入y1＝k1x＋b1中，得解得∴y1＝－20x＋1 200，当x＝20时，y1＝－20×20＋1 200＝800；(2)设y2＝k2x＋b2，把(20，0)和(60，1 000)代入y2＝k2x＋b2中，得解得∴y2＝25x－500，当0≤x≤20时，y＝－20x＋1 200，当209．(2016荆州中考)A城有某种农机30台，B城有农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？
解：(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12 540(0
第二节　一次函数的图象及性质
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
填空
7
一次函数图象
利用一次函数与反比例函数图象的交点求字母的值
2
2
2015
选择
19
一次函数图象
判断同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象位置
3
3
2014
选择
20
一次函数图象
以计算程序为背景建立一次函数关系所形成的图象
3
3
2013
选择
16
一次函数图象
判断同一坐标系中正比例函数与反比例函数的图象位置
3
3
2012
选择
16
一次函数图象
利用一次函数与反比例函数图象的交点求系数的值
3
3
命题规律
纵观青海省近五年中考可以看出，一次函数的图象和性质，一般以选择题或填空题的形式呈现，且与反比例函数的图象结合在一起考查，属于基础题
命题预测
预计2017年青海中考，一次函数的图象和性质的考查仍然是与反比例函数图象结合在一起的考查，仍属基础题，但应注意一次函数与其他函数和几何图形的综合并加以强化训练
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函数的图象和性质(青海5次、西宁3次)
1．(2014青海中考)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为(　C　)
　　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
2．(2016原创)若一次函数y＝ax＋b的图象不经过第二象限，则二次函数y＝x2＋x＋b－1与x轴的交点个数为(　A　)
A．有两个交点 B．有一个交点
C．无交点 D．都有可能
3．(2012西宁中考)请你写出一个图象经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式__y＝－x＋2(答案不唯一)__．
4．(2013西宁中考)直线y＝2x－1沿y轴平移3个单位长度，则平移后直线与y轴的交点坐标为__(0，2)或(0，－4)__．
　一次函数与方程(组)、不等式的关系(青海0次、西宁1次)
5．(2016西宁中考)同一直角坐标系中，一次函数y1＝k1x＋b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是(　A　)
A．x≤－2 B．x≥－2
C．x＜－2 D．x＞－2
(第5题图)
　　　(第6题图)
6．(2016西宁中考)如图，直线y＝kx＋b经过A(－1，1)和B(－，0)两点，则关于x的不等式0＜kx＋b＜－x的解集为__－＜x＜－1__．
7．(2011西宁中考)表1给出了直线l1上部分点(x，y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x，y)的坐标值．那么直线l1和直线l2的交点坐标为__(2，－1)__．
x
－2
0
2
4
y
3
1
－1
－3
表1
x
－2
0
2
y
－5
－3
－1
表2
,中考考点清单)
　一次函数与正比例函数的概念
1．一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，当b＝0时，它就化为__y＝kx__的形式，这时，y叫做x的正比例函数．
　一次函数的图象及性质
2．一次函数的图象
一次函数
图象
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和①__(－，0)__的一条直线
图象关系
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
　　3.一次函数的性质
函数
字母
取值
图象
经过的
象限
函数性质
y＝kx
(k≠0)
k＞0
一、三
y随x的增大而增大
k＜0
②二、四
y随x的增大而减小
续表
y＝kx＋b
(k≠0)
k＞0
b＞0
一、二、
三
k＞0
b＜0
③一、三、四
k＜0
b＞0
④一、二、四
k＜0
b＜0
⑤二、三、四
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
【方法技巧】两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积
分类
求法
一条直线与x轴交点坐标
令y＝0，求出对应的x值
一条直线与y轴交点坐标
令x＝0，求出对应的y值
一条直线与其他一次函数图象的交点坐标
解由两个函数解析式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两函数图象的交点坐标
一条直线与坐标轴围成的三角形的面积
直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点坐标为(－，0)，与y轴交点坐标为(0，b)，与坐标轴围成的三角形面积为S△＝·|－|·|b|
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　一次函数的图象和性质
【例1】(2016广州中考)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是(　　)
A．ab＞0 B．a－b＞0
C．a2＋b＞0 D．a＋b＞0
【解析】由一次函数的性质得a＜0，b＞0，∴ab＜0，a－b＜0，a2＋b＞0，a＋b的符号无法确定，故C正确．
【学生解答】C
1．(2016陕西中考)已知一次函数y＝kx＋5和y＝k′x＋7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数图象的交点在(　A　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2016呼和浩特中考)已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为(　A　)
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0
C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
　一次函数与几何图形的结合
【例2】(2017中考预测)如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2.在x轴上有一点P(a，0)(其中a＞2)，过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－x＋b和y＝x的图象于点C，D.
(1)求点A的坐标；
(2)若OB＝CD，求a的值．
【解析】(1)先利用直线y＝x上的点的坐标特征得到点M的坐标为(2，2)，再把M(2，2)代入y＝－x＋b中可计算出b＝3，得到一次函数的解析式为y＝－x＋3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为(6，0)；
(2)先确定B点坐标为(0，3)，则OB＝CD＝3，再表示出C点坐标为(a，－a＋3)，D点坐标为(a，a)，所以a－(－a＋3)＝3，然后解方程即可．
【学生解答】解：(1)A点坐标为(6，0)；(2)a＝4.
3．(2016宜昌中考)如图，直线y＝x＋与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求∠ABO的度数；
(2)过A的直线l交x轴正半轴于C，AB＝AC，求直线l的函数解析式．
解：(1)∠ABO＝60°；(2)在△ABO中，AB＝AC，∵AO⊥BC，∴BO＝CO，∴点C的坐标为(1，0)，设直线l的解析式为y＝kx＋b，则解得∴y＝－x＋.
4．(2016江西中考)如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝.
(1)求点B的坐标；
(2)若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
解：(1)在Rt△AOB中，22＋OB2＝()2，∴OB＝3，∴B(0，3)；(2)∵S△ABC＝BC·OA，即4＝BC×2，∴BC＝4，∴OC＝BC－OB＝4－3＝1，∴C(0，－1)，设直线l2的解析式为y＝kx＋b，∴∴∴y＝x－1.
第二节　一次函数的图象及性质
1．(2015长沙中考)一次函数y＝－2x＋1的图象不经过(　C　)
A．第一象限　　　　　　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2014徐州中考)将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为(　A　)
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
3．(2015丽水中考)平面直角坐标系中，过点(－2，3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0，a)，(－1，b)，(c，－1)都在直线l上，则下列判断正确的是(　D　)
A．a＜b B．a＜3
C．b＜3 D．c＜－2
4．(2015安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第________象限(　D　)
A．四　　　B．三　　　C．二　　　D．一
5．(2016桂林中考)如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　D　)
A．x＝2 B．x＝0
C．x＝－1 D．x＝－3
6．(2015广州中考)某水库的水位在5 h内持续上涨，初始水位高度为6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位y与上涨时间x之间的函数关系式是__y＝0.3x＋6(0＜x≤5)__．
7．(2015天津中考)若一次函数y＝2x＋b(b为常数)的图象经过点(1，5)，则b的值为__3__．
8．(2015上海中考)同一温度的华氏度数y(?)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y＝x＋32.如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是__77__?．
9．(2016玉树模拟)函数y＝2x与y＝x＋1的图象的交点坐标为__(1，2)__．
10．(2015永州中考)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(1，－1)，B(－1，3)两点，则k__＜__0.(选填“＞”“＜”或“＝”)
11．(2015潍坊中考)若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是(　A　)
,A) ,B) ,C) ,D)
12．(2016西宁虎台一模)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0，1)，则关于x的不等式kx＋b＞1的解集是(　B　)
A．x＞0　　B．x＜0　　C．x＞1　　D．x＜1
(第12题图)
　　　(第13题图)
13．(2016原创)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(，)，则该一次函数的解析式为__y＝－x＋__．
14．(2016东营中考)如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b>kx＋6的解集是__x>3__．
15．(2016怀化中考)已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点．
(1)求k、b的值；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点为A(a，0)，求a的值．
解：(1)k＝1，b＝2；(2)a＝－2.
16．(2015益阳中考)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P2，点P2恰好在直线l上．
(1)写出点P2的坐标；
(2)求直线l所表示的一次函数的解析式；
(3)若将点P2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．
解：(1)P2(3，3)；(2)设直线l所表示的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，∴解得∴直线l所表示的一次函数的解析式为y＝2x－3；(3)点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)，∴2×6－3＝9，∴点P3在直线l上．
17．(2016原创)已知，如图所示，直线PA与x轴交于点A，与y轴交于点C(0，2)，且S△AOC＝4.直线BD与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线PA与直线BD交于点P(2，m)，点P在第一象限，连接OP.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线PA的函数解析式；
(3)求m的值；
(4)若S△BOP＝S△DOP，请你直接写出直线BD的函数解析式．
解：(1)A(－4，0)；(2)y＝x＋2；(3)m＝3；(4)y＝－x＋6.
18．(2016青海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与一次函数y＝－x＋7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标；
(2)设x轴上一点P(a，0)，过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧)，分别交y＝x和y＝－x＋7的图象于点B，C，连接OC，若BC＝OA，求△OBC的面积．
解：(1)由题意得解得∴A(4，3)；(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OA＝＝＝5，∴BC＝OA＝×5＝7，∵P(a，0)，∴B(a，a)，C(a，－a＋7)，∴BC＝a－(－a＋7)＝a－7，∴a－7＝7，解得a＝8，∴S△OBC＝BC·OP＝×7×8＝28.
第五节　二次函数的图象及性质
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
解答
28
二次函数
(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形、四边形的综合
12
12
2015
解答
28
二次函数
(1)二次函数解析式；(2)利用二次函数判断三角形的形状；(3)二次函数与相似三角形的综合
13
13
2014
解答
28
二次函数
(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形的综合
13
13
2013
解答
28
二次函数
(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与四边形的综合；(3)二次函数与相似三角形的综合
12
12
2012
选择
18
二次函数
利用平移求二次函数的解析式
3
解答
28
二次函数
(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与四边形的综合应用
12
15
命题规律
纵观青海省五年中考，每年都涉及到此考点，以解答题的形式呈现，偶尔增加小题，解答题一般与三角形、四边形综合在一起考查，难度较高，往往是最后的压轴题
命题预测
预计2017年青海省中考，仍会考查此点，且以解答题(压轴题)的形式出现，应加强综合训练
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函数的图象及性质(青海1次、西宁1次)
1．(2012青海中考)把抛物线y＝3x2向右平移1个单位长度后，所得到的函数解析式为(　B　)
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
2．(2012西宁中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，1)，(2，－1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是(　B　)
A．当x＝0时，y的值大于1
B．当x＝3时，y的值小于0
C．当x＝1时，y的值大于1
D．y的最大值小于0
　二次函数图象和性质的综合应用(青海5次、西宁4次)
3．(2016青海中考)如图所示(注：与图2完全相同)，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；(请在图1中探索)
(3)若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当P，Q运动到t s时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标．(请在图2中探索)
图1
　　　图2
解：(1)y＝x2－x－4；(2)抛物线的顶点D的坐标为(1，)，S△ACD＝4；(3)四边形APEQ为菱形，E(－，－)．
4．(2015西宁中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC.正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值．
x
…
－2
0
4
8
10
…
y
…
0
5
9
5
0
…
(1)求出这条抛物线的解析式；
(2)求正方形DEFG的边长；
(3)请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)y＝－(x－4)2＋9；
(2)正方形DEFG的边长为；
(3)存在，P，Q，理由略．
5．(2014青海中考)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为M(－2，－4)，与x轴交于A，B两点，且A(－6，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)能否在抛物线第三象限的图象上找一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)设此函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k，∵函数图象顶点为M(－2，－4)，∴y＝a(x＋2)2－4，又∵函数图象经过点A(－6，0)，∴0＝a(－6＋2)2－4，解得a＝.∴此函数的解析式为y＝(x＋2)2－4，即y＝x2＋x－3；(2)∵点C是函数y＝x2＋x－3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是(0，－3)，又当y＝0时，有y＝x2＋x－3＝0，解得x1＝－6，x2＝2，∴点B的坐标是(2，0)，则S△ABC＝|AB|·|OC|＝×8×3＝12；(3)假设存在这样的点P，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F.设E(x，0)，则P(x，x2＋x－3)．又设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵直线AC过点A(－6，0)，C(0，－3)，∴解得∴直线AC的解析式为y＝－x－3.∴点F的坐标为F(x，－x－3)，则|PF|＝－x－3－(x2＋x－3)＝－x2 －x，∴S△APC＝S△APF＋S△CPF＝|PF|·|AE|＋|PF|·|OE|＝|PF|·|OA|＝×(－x2－x)×6＝－x2－x＝－(x＋3)2＋，∴当x＝－3时，S△APC有最大值，此时P点坐标是P(－3，－)．
,中考考点清单)
　二次函数的概念及解析式
1．定义：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系，可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)，那么称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
2．三种表示方法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．三种解析式之间的关系
顶点式一般式两点式
4．二次函数解析式的确定
(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式；
A．当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式；
B．当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式；
C．当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
(2)步骤：
①设二次函数的解析式；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；
③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．
　二次函数的图象及其性质
5．图象性质
函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
对称轴
直线x＝①__－__
直线x＝－
顶点
坐标
(－，)
(－，)
增减性
在对称轴的左侧，即x＜－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大，简记为左减右增
在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小，简记为左增右减
最值
抛物线有最低点，当②__x＝－__时，y有最小值，y最小值＝
抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝③____
　　6.系数a，b，c与二次函数的图象关系
项目字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
④__开口向下__
b
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(b与a同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(b与a异号)
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
⑤__经过原点__
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0
与x轴有两个不同交点
b2－4ac＜0
与x轴没有交点
特殊
关系
当x＝1时，y＝a＋b＋c
当x＝－1时，y＝a－b＋c
若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0
若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0
　二次函数图象的平移
7．平移步骤：
(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；
(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．
8．平移规律：
移动
方向
平移前的解析式
平移后的解析式
规律
向左平
移m个
单位长度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h＋m)2＋k
左加
向右平
移m个
单位长度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h－m)2＋k
右减
向上平
移m个
单位长度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h)2＋k＋m
上加
向下平
移m个
单位长度
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－h)2＋k－m
下减
口诀：左加右减、上加下减
　二次函数与一元二次方程的关系
9．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．
10．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．
11．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．
12．二次函数与一元二次方程及b2－4ac的关系．
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况
b2－4ac
有两个交点(x1，0)，(x2，0)
有两个不相等的实数根x1，x2
b2－4ac＞0
只有一个交点，交点坐标为(－，0)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
b2－4ac＝0
没有交点
没有实数根
b2－4ac＜0
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函数的图象与性质
【例1】(2016兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1.有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b＝0；④a－b＋c＞2.其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在原点上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴x＝－＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线与x轴的两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，即b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；对称轴是直线x＝－1，∴＝－1，则2a－b＝0，故③错误；当x＝－1时，y取最大值，由题图可知a－b＋c＞2，∴共有3个结论正确．
【学生解答】C
1．(2016宁波中考)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　D　)
A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而减小
　二次函数的图象和性质的综合应用
【例2】(2016杭州中考)已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)．在同一平面直角坐标系中：
(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；
(2)若函数y2的图象经过y1的图象的顶点．
①求证：2a＋b＝0；
②当1＜x＜时，比较y1与y2的大小．
【学生解答】解：(1)由题意得解得(2)①证明：∵y1的图象的顶点坐标为(－，)，∴a(－)＋b＝，即b＝，∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；②由①得b＝－2a，∴y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)，∴y1－y2＝a(x－2)(x－1)，∵1＜x＜，∴x－2＜0，x－1＞0，∴(x－2)(x－1)＜0，∴当a＞0时，a(x－2)(x－1)＜0，即为y1＜y2；当a＜0时，a(x－2)(x－1)＞0，即为y1＞y2.
2．(2016河北中考)如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.
(1)求k值；
(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标．
解：(1)设P(x，y)，则OM＝x，MP＝y，由OA的中点为M可知OA＝2x，代入OA·MP＝12，∴2x·y＝12，即xy＝6，∴k＝xy＝6；(2)当t＝1时，令y＝0，得0＝－(x－1)(x＋3)，∴x1＝1，x2＝－3，由点B在点A左边，得B(－3，0)，A(1，0)，∴AB＝4.∵L的对称轴为直线x＝－1，点M为(，0)，∴直线MP与L对称轴的距离为；(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，∴L的对称轴为x＝t－2，又∵直线MP的解析式为x＝，∴当t－2≤，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点；当t－2＞，即t＞4时，L与直线MP的交点(，－t2＋t)就是G的最高点．
第五节　二次函数的图象及性质
1．(2016西宁十一中模拟)抛物线y＝－2x2＋3的顶点在(　B　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．x轴上 B．y轴上
C．第一象限 D．第四象限
2．(2015江西中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴(　D　)
A．只能是直线x＝－1
B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧
D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
3．(2015益阳中考)若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　B　)
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
4．(2016青海湟川中学模拟)已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是(　D　)
A．正比例函数 B．一次函数
C．反比例函数 D．二次函数
5．(2015天津中考)已知抛物线y＝－x2＋x＋6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为(　D　)
A. B. C. D.
6．(2016原创)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为(　D　)
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
7．(2016乐都模拟)下列图象中，有一个可能是函数y＝ax2＋bx＋a＋b(a≠0)的图象，它是(　C　)
,A)　 ,B)　 ,C)　 ,D)
8．(2016海北藏族自治州模拟)如果抛物线y＝－x2＋3x－1＋m经过原点，那么m＝__1__．
9．(2015上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是__y＝x2＋2x＋3__．
10．(2015菏泽中考)二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为__2__．
11．(2016毕节中考)一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
12．(2016烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4acb；③2a＋b>0, 其中正确的有(　B　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
13．(2016兰州中考)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　D　)
A．y3>y2>y1 B．y3>y1＝y2
C．y1>y2>y3 D．y1＝y2>y3
14．(2016丹东中考)如图，一次函数y＝－x＋2分别交y轴、x轴于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A，B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这个抛物线于点N.求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
解：(1)由y＝－x＋2知：A(0，2)，B(4，0)，∴解得∴y＝－x2＋x＋2；(2)当x＝t时，M，N，则：MN＝－＝－t(t－4)，当t＝＝2时，MN的最大值为：－2×(2－4)＝4；(3)在第(2)问条件下，x＝2，则M(2，1)，N(2，5)，当四边形AMND是平行四边形时，D1(0，6)，当四边形ADMN是平行四边形时，D2(0，－2)，当四边形AMDN是平行四边形时，D3(4，4)．
15．(2016绍兴中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为D(－1，4)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积是△ABC的面积的2倍，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．
(3)点M是抛物线上一动点，且在直线BC上方，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，MN的最大值．
解：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为D(－1，4)，且与y轴交于点C(0，3)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)存在，设P(x，－x2－2x＋3)，令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB＝4，又OC＝3.∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6，S△PAB＝AB·|y|＝×4·|－x2－2x＋3|＝2S△ABC＝12.∴－x2－2x＋3＝6或－x2－2x＋3＝－6，x2＋2x＋3＝0此方程无实数解，∴x2＋2x－9＝0，解得x＝－＝－1±，x1＝－1＋，x2＝－1－，当x＝－1＋时，y＝－6或x＝－1－时y＝－6时，可得点P的坐标为P1(－1＋，－6)或P2(－1－，－6)；
(3)设直线BC的解析式为y＝kx＋b′(k≠0)，∴直线BC过点B(－3，0)，C(0，3)，解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3，设M点坐标为(x，－x2－2x＋3)，又MN∥y轴交直线BC于点N，∴N(x，x＋3)，∵M点在BC上方，∴MN＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x＝－(x2＋3x)＝－＋，∴当x＝－时，MN有最大值，最大值为.

第六节　二次函数的实际应用
,青海五年中考命题规律)
命题规律
纵观青海省五年中考，此考点没有考查，但二次函数的数学模型在初中所处的地位非常重要，本着“学以致用”的原则，此考点不能忽视
命题预测
预计2017年青海省中考可能会出现一次函数与二次函数结合的实际应用，一般是求实际问题中的最值，注意分类考虑
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函数的实际应用(青海0次、西宁2次)
1．(2016西宁中考)如图，在△ABC中，∠B＝90°，tan ∠C＝，AB＝6 cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是(　C　)
A．18 cm2 B．12 cm2 C．9 cm2 D．3 cm2
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2011西宁中考)西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(　C　)
A．y＝－(x－)2＋3
B．y＝－3(x＋)2＋3
C．y＝－12(x－)2＋3
D．y＝－12(x＋)2＋3
3．(2014西宁中考)今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行(以下简称并轨房)，计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年(x为正整数)
投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y＝－x＋5.由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：
时间x(单位：年，
x为正整数)
1
2
3
4
5
…
单位面积租金z
(单位：元/m2)
50
52
54
56
58
…
(1)求出z与x的函数关系式；
(2)设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？
解：(1)设z与x的一次函数关系式为z＝kx＋b(k≠0)，∵x＝1时，z＝50；x＝2时，z＝52，∴解得∴z与x的函数关系式为z＝2x＋48；(2)由题意得，W＝yz＝(－x＋5)(2x＋48)＝－x2＋2x＋240＝－(x－3)2＋243，∵－＜0，∴当x＝3时，W有最大值为243.答：政府在第3年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为243百万元．
4．(2016青海中考模拟)为满足市场需求，求超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
(3)当稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元，如果超市想要每天获得不低于6 000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
解：(1)y＝700－20(x－45)＝－20x＋1 600；(2)P＝(x－40)(－20x＋1 600)＝－20x2＋2 400x－64 000＝－20(x－60)2＋8 000，∵x≥45，－20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8 000元，即当每盒售价为60元，每天销售的利润最大，最大利润为8 000元；(3)由题意，得－20(x－60)2＋8 000＝6 000，解得x1＝50，x2＝70.∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8 000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6 000元，又x≤58，∴50≤x≤58，∵在y＝－20x＋1 600中，－20＜0，∴y随x的增大而减小，当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1 600＝440，即超市每天至少销售粽子440盒．
,中考考点清单)
　二次函数的实际应用
二次函数的实际应用，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．
解二次函数应用题步骤及关键点
步骤
关键点
(1)分析问题
明确题中的常量与变量及其它们之间的关系，确定自变量及函数
(2)建立模型，确定函数解析式
根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系
(3)求函数解析式
变量间的数量关系表示及自变量的取值范围
(4)应用性质，解决问题
熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围
【方法技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；
(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　二次函数的实际应用
【例】某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100.(利润＝售价－制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于40元，如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
【解析】(1)根据每月的利润z＝(x－18)y，再把y＝－2x＋100代入即可求出z与x之间的函数关系式；(2)把z＝440代入z＝－2x2＋136x－1 800，解这个方程即可；(3)根据厂商每月的制造成本不超过540万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范围，进而得出最大利润．
【学生解答】解：(1)z＝(x－18)y＝(x－18)(－2x＋100)＝－2x2＋136x－1 800，故z与x之间的函数解析式为z＝－2x2＋136x－1 800；(2)由z＝440，得440＝－2x2＋136x－1 800，解得x1＝28，x2＝40；(3)∵厂商每月的制造成本不超过540万元，每件制造成本为18元，∴每月的生产量小于等于30万件，y＝－2x＋100≤30，解得x≥35，又由限价40元，得35≤x≤40，∵z＝－2x2＋136x－1 800＝－2(x－34)2＋512，∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，∴x＝35时，z最大，为510万元．即当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
1．(2016黄石中考)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间(min)，纵坐标y表示到达科技馆的累计人数．图中曲线对应的函数解析式为y＝10：00之后来的游客较少可忽略不计．
(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；
(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的游客在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
解：(1)y＝(2)由题意得，－(x－90)2＋700＝684，解得x＝78，另一解不合题意，舍去，(684－624)÷4＝15(min)，15＋30＋(90－78)＝57(min)．
答：馆外游客最多等待57 min.
2．(2017中考模拟)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长(cm)
20
30
出厂价(元/张)
50
70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
(2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)．
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(－，)]
解：(1)函数关系式为y＝2x＋10；(2)①设利润为P，成本价为mx2，函数关系式为P＝2x＋10－mx2，将x＝40，P＝26代入，解得m＝，∴函数关系式为P＝－x2＋2x＋10; ②∵a＝－＜0，∴当x＝－＝25时，P最大＝＝35，∴出厂一张边长为25 cm的薄板，获得利润最大为35元．
3．(2016原创)某网店试销一种新型商品，进价为20元/件，试销期为18天，销售价y(元/件)与销售天数x(天)满足：当1≤x≤9时，y＝k1x＋30；当10≤x≤18时，y＝＋20.在试销期内，销售量p＝30－x.
(1)已知当x＝5或12时，y＝32.5，求k1，k2的值；
(2)分别求当1≤x≤9，10≤x≤18时，该网店的销售利润w(元)与销售天数x(天)之间的函数关系式；
(3)该网店在试销期间，第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)根据题意，得32.5＝5k1＋30，解得k1＝，32.5＝＋20，解得k2＝150.综上，k1＝，k2＝150；(2)①当1≤x≤9时，w＝(y－20)p＝(x＋30－20)(30－x)，即w＝－x2＋5x＋300；②当10≤x≤18时，w＝(y－20)p＝(＋20－20)(30－x)，即w＝－150；(3)当1≤x≤9时，w＝－x2＋5x＋300＝－(x－5)2＋312.5.∵－<0，∴当x＝5时，w取最大值w1，w1＝312.5；当10≤x≤18时，w＝－150，∵4 500＞0，∴w随x的增大而减小．∴当x＝10时，w取最大值w2，w2＝－150＝300.∵w1>w2，∴该网店在试销期间，第5天获得的利润最大，最大利润是312.5元．
第六节　二次函数的实际应用
1．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间按相同间隔0.2 m用5根立柱加固，拱高OC为0.36 m，则立柱EF的长为(　C　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．0.4 m B．0.24 m
C．0.2 m D．0.16 m
2．(2016安顺中考)某校校园内有一个大正方形花坛，如图所示，它由四个边长均为3 m的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是(　A　)
,A),B),C),D)
3．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m.
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．(2016温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为__75__m2.
5．(2015随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
解：(1)由题意得：函数y＝at2＋5t＋c的图象经过(0，0.5)，(0.8，3.5)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－t2＋5t＋＝－(t－)2＋，∴当t＝时，y最大＝.答：足球飞行的时间是 s时，足球离地面最高，最大高度是 m；(2)假设他能将球直接射入球门，把x＝28代入x＝10t，得28＝10t，∴t＝2.8，∴当t＝2.8时，∴y＝－×2.82＋5×2.8＋＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．
6．如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40 m的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x m.
(1)求出底边BC的长；(用含x的代数式表示)
(2)若∠BAD＝60°，该花圃的面积为S m2.
①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围)，并求当S＝93时x的值；
②如果墙长为24 m，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？
解：(1)BC＝40－2x；(2)①过点B，C分别作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°，∴AE＝x，BE＝x.同理DF＝x，CF＝x.又EF＝BC＝40－2x，∴AD＝40－x.∴S梯形ABCD＝(BC＋AD)·BE＝(40－2x＋40－x)·x，即S＝－x2＋20x(0＜x＜20)．当S＝93时，－x2＋20x＝93.解得x1＝6，x2＝20(舍去)．∴x＝6；②由题意，得40－x≤24.解得x≥16.结合①得16≤x＜20.由①得，S＝－x2＋20x＝－(x－)2＋.∴当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值＝128 m2.
7．(2016襄阳模拟)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)设AE＝a，由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝a，AB＝a.由题意，得2x＋3a＋2×a＝80，∴a＝20－x，y＝AB·BC＝a·x＝(20－x)x，即y＝－x2＋30x，其中0＜x＜40；(2)y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，由于－＜0，抛物线开口向下，又0＜x＜40，∴当x＝20时，y取最大值，最大值为300 m2.
8．(2015南京中考)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)略；(2)y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)当该产品产量为75 kg时，获得最大利润2 250元．
9．(2016黄冈中考)东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表：
时间t(天)
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y(kg)
118
114
108
100
80
40
…
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n＜9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
解：(1)设y＝kt＋b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入，得解得∴y＝－2t＋120，当t＝30时，y＝－2×30＋120＝60，故在第30天的日销售量为60 kg；(2)设第x天的销售利润为w元．当1≤t≤24时，由题意W＝(－2t＋120)＝－(t－10)2＋1 250，∴t＝10时，W最大值为1 250元．当25≤t≤48时，W＝(－2t＋120)＝t2－116t＋3 360，∵对称轴为直线x＝58，a＝1>0，∴在对称轴左侧，W随x的增大而减小，∴x＝25时，W最大＝1 085，综上所述，第10天利润最大，最大利润为1 250元；(3)n的取值范围为7≤n<9.
第四节　反比例函数的图象及性质
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
填空
7
反比例函数
利用正比例函数与反比例函数图象的交点，求字母的值
2
2
2015
选择
19
反比例函数
判别同一坐标系中反比例函数与一次函数图象的位置
3
3
2014
选择
15
反比例函数
利用反比例函数的几何意义比较面积大小
3
3
2013
选择
16
反比例函数
判别同一坐标系中反比例函数与正比例函数图象的位置
3
3
2012
选择
16
反比例函数
利用反比例函数与一次函数的结合，求字母的值
3
3
命题规律
纵观青海省五年中考，“反比例函数的图象与性质”这一考点一般以选择题、填空题的形式呈现，且与一次函数结合在一起考查，难度偏低
命题预测
预计2017年青海省中考的考查仍会以反比例函数图象及性质与一次函数的结合考查，题型多以选择题的形式呈现，但也应注意反比例函数与其他函数或几何图形综合考查，不可忽视
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　反比例函数的图象和性质(青海1次、西宁0次)
1．(2014青海中考)如图，点P1，P2，P3分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是A1，A2，A3，得到三个三角形△P1A1O，△P2A2O，△P3A3O.设它们的面积分别为S1，S2，S3，则它们的大小关系是(　C　)
A．S1＞S2＞S3 B．S3＞S2＞S1
C．S1＝S2＝S3 D．S2＞S3＞S1
　反比例函数与一次函数的结合(青海4次、西宁5次)
2．(2012青海中考)如图，一次函数y＝kx－3的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，其中A点坐标为(2，1)，则k，m的值为(　C　)
A．k＝1，m＝2 B．k＝2，m＝1
C．k＝2，m＝2 D．k＝1，m＝1
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2014西宁中考)反比例函数y1＝和正比例函数y2＝mx的图象如图所示，根据图象可以得到满足y1＜y2的x的取值范围是(　C　)
A．x＞1 B．0＜x＜1或x＜－1
C．－1＜x＜0或x＞1 D．x＞2或x＜1
4．(2013青海中考)在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝－的图象大致是(　D　)
,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
5．(2015青海中考)已知一次函数y＝2x－3与反比例函数y＝－，那么它们在同一坐标系中的图象可能是(　D　)
,A) 　　　,B)
,C) 　　　,D)
6．(2012西宁中考)如图，反比例函数y＝的图象与经过原点的直线相交于点A，B，已知点A的坐标为(－2，1)，则点B的坐标为__(2，－1)__．
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2016青海中考)如图，直线y＝x与双曲线y＝，在第一象限的交点为A(2，m)，则k＝__2__．
8．(2016西宁中考)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C(0，2)，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，且BD⊥x轴于点D，OD＝2.
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)设点P是y轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标．
解：(1)∵BD⊥x轴，OD＝2，∴点B的横坐标为2，将x＝2代入y＝，得y＝4，∴B(2，4)，设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C(0，2)，B(2，4)代入y＝kx＋b，得∴∴直线AB的函数解析式为y＝x＋2；(2)P(0，8)或P(0，－4)．
9．(2015西宁中考)如图，一次函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象的交点为A(－2，3)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
解：(1)由题意可得：点A(－2，3)在反比例函数y＝的图象上，∴＝3，解得m＝－6.∴反比例函数解析式为y＝－；(2)设点P的坐标为(a，b)，∵一次函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点B.∴－x＋2＝0，解得x＝4，∴BC＝6.∵△PBC的面积等于18，∴×BC×|b|＝18，∴|b|＝6.∴b1＝6，b2＝－6.∴P点坐标为(－1，6)，(1，－6)．
10．(2016西宁中考)如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为(2，1)．
(1)求m及k的值；
(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤的解集．
解：(1)m＝－1，k＝2；(2)C(1，0)；1＜x≤2.
　反比例函数与几何图形的结合
11．(2014西宁中考)如图，已知?ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中，若点A，D的坐标分别为(－2，5)，(0，1)，点B(3，5)在反比例函数y＝(x＞0)图象上．
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)将?ABCD沿x轴正方向平移10个单位长度后，能否使点C落在反比例函数y＝的图象上？并说明理由．
解：(1)∵点B(3，5)在反比例函数y＝图象上，∴k＝15，∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0)；(2)平移后的点C能落在反比例函数y＝的图象上．理由：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，AB＝CD，∵点A，B，D的坐标分别为(－2，5)，(3，5)，(0，1)，∴AB＝5，AB∥x轴，∴CD∥x轴．∴点C的坐标为(5，1)，∴?ABCD沿x轴正方向平移10个单位长度后点C的坐标为(15，1)，∴平移后的点C能落在反比例函数y＝的图象上．
,中考考点清单)
　反比例函数的概念
1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成①__y＝__(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，k称为比例函数．
　反比例函数的图象和性质
2．函数图象
解析式
y＝(k≠0，k为常数)
k
k＞0
k＜0
图象
　　3.函数的图象性质
函数
系数
所在象限
增减性质
对称性
y＝
(k≠0)
k＞0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内y随x的②__增大而减小__
关于③__y＝－x__对称
k＜0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内y随x的④__增大而增大__
关于⑤__y＝x__对称
　　4.k的几何意义
k的几
何意义
设P(x，y)是反比例函数y＝图象上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|　
【方法技巧】反比例函数与一次函数、几何图形结合
(1)反比例函数与一次函数图象的综合应用的四个方面：
A．探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法．
B．探求两函数解析式常利用两函数的图象的交点坐标．
C．探求两图象交点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法．
D．两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图象上、下位置关系，从而写出函数值的大小．
(2)在平面直角坐标系中求三角形的面积时，通常以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．
　反比例函数解析式的确定
5．步骤
(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；
(2)根据已知条件列出含k的方程；
(3)由代入法解待定系数k的值；
(4)把k代入函数解析式y＝中．
6．求解析式的两种途径
求反比例函数的解析式，主要有两条途径：(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的解析式．
　反比例函数的应用
利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的解析式y＝(k≠0)，再由已知条件确定解析式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数解析式．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　反比例函数的图象及性质
【例1】(2015天水中考)已知函数y＝的图象如图以下结论：
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．
其中正确的个数是(　　)
A．4个　 　B．3个　 　C．2个　 　D．1个
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于第二、四象限，可得m＜0，正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，正确；③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，观察图象可知a＞0，b＜0，则a＞b，错误；④若点P(x，y)在图象上，则y＝，即m＝xy，又∵m＝(－x)·(－y)＝xy，则点P1(－x，－y)也在图象上，正确．
【学生解答】B
1．(2016兰州中考)反比例函数y＝的图象在(　B　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．(2016上海中考)已知反比例函数y＝(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值都随着x的增大而减小，那么k的取值范围是__k＞0__．
　反比例函数k的几何意义
【例2】(2016宁波中考)如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．
【解析】分别过点A，B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足分别为D，E，根据反比例函数的几何意义可得，S△BOE＝，S△AOD＝，S△AOC＝2S△AOD＝9.∵AD⊥OC，BE⊥OC，∴BE∥AD.∴△BOE∽△AOD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ABC＝S△AOC＝×9＝6.
【学生解答】6
3．(2016河南中考)如图，过反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为(　C　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016江西中考)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__4__．
　反比例函数与一次函数结合
【例3】(2016巴中中考)如图，在平面直角坐标xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式；
(2)求△OEF的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－＞0的解集．
【解析】(1)先确定反比例函数解析式，再确定直线解析式；(2)利用S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF进行计算；(3)观察函数图象得到当＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即k2x＋b＞.
【学生解答】解：(1)y＝，y＝－x＋5；(2)S△OEF＝；(3)不等式k2x＋b－＞0的解集为＜x＜6.
5．(2017中考预测)如图，直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AB＝BM，点N(a，1)在反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)求点N关于x轴的对称点N′的坐标；
(3)在x轴的正半轴上存在一点P，使得PM＋PN的值最小，请求出点P的坐标；
(4)在y轴的正半轴上是否也存在一点Q，使得QM＋QN的值最小？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)k＝4；(2)点N′的坐标为(4，－1)；(3)P(，0)；(4)存在，点Q的坐标为(0，)．
第四节　反比例函数的图象及性质
1．(2016海南中考)某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　D　)
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
2．(2015天津中考)已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的取值范围是(　C　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2
C．2＜y＜6 D．y＞6
3．(2016原创)在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是(　A　)
,A),B),C),D)
4．(2016西宁二十八模拟)如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2.当y1＞y2时，x的取值范围是(　D　)
A．x＜－2或x＞2
B．x＜－2或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或0＜x＜2
D．－2＜x＜0或x＞2
5．(2016淮安中考)双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是__m<1__．
6．(2016南宁中考)如图所示，反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为__2__．
7．(2015广州中考)已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
解：(1)图象另一支在第三象限；m＞7；(2)设点A的坐标为(x，y)，∵点B与点A关于x轴对称，∴点B坐标为(x，－y)，∴AB的距离为2y，∵S△OAB＝6，∴·2y·x＝6，∴xy＝6，∵y＝，∴xy＝m－7，∴m－7＝6，∴m＝13，∴m的值为13.
8．(2015自贡中考)若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，都是反比例函数y＝图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是(　B　)
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1
9．(2016东营中考)如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上，C，D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝，则k2－k1＝(　A　)
A．4　　　 B.　　　 C.　　　 D．6
10．(2016资阳中考)如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为(　D　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(第10题图)
　　　(第11题图)
11．(2016青海模拟)如图，A是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，则△ABP的面积为__2__．
12．(2016内江中考)如图，点A在双曲线y＝(x>0)上，点B在双曲线y＝(x>0)上(点B在点A的右侧)，且AB∥x轴，若四边形OABC是菱形，且∠AOC＝60°，则k＝__6__．
(第12题图)
　　　(第13题图)
13．(2016荆门中考)如图，已知点A(1，2)是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是__(－3，0)或(5，0)或(3，0)或(－5，0)__．
14．(2015毕节中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)，∴m＝6，∴反比例函数的解析式是y＝，∵点B(－3，n)在反比例函数y＝的图象上，∴n＝－2.∴B(－3，－2)．∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(2，3)，B(－3，－2)两点，∴解得∴y＝x＋1；(2)OP的长为3或1.
15．(2016兰州中考)如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(，1)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求反比例函数y＝的解析式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标；
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
解：(1)∵点A(，1)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝×1＝，∴反比例函数的解析式为y＝；(2)∵A(，1)，AB⊥x轴于点C，∴OC＝，AC＝1，由射影定理得OC2＝AC·BC，可得BC＝3，B(，－3)，S△AOB＝××4＝2.∴S△AOP＝S△AOB＝.设点P的坐标为(m，0)，∴×|m|×1＝，∴|m|＝2，∵P是x轴的负半轴上的点，∴m＝－2，∴点P的坐标为(－2，0)；(3)点E在该反比例函数的图象上，理由如下：∵OA⊥OB，OA＝2，OB＝2，AB＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝30°，∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，∴△BOA≌△BDE，∠OBD＝60°，∴BO＝BD＝2，OA＝DE＝2，∠BOA＝∠BDE＝90°，∠ABD＝30°＋60°＝90°，而BD－OC＝，BC－DE＝1，∴E(－，－1)，∵－×(－1)＝，∴点E在该反比例函数的图象上．
阶段测评(三)　函数及其图象
(时间：45分钟　总分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(2016南宁中考)下列各曲线中表示y是x的函数的是(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) ,B)
,C) ,D)
2．(2016青海模拟)已知直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)一个交点坐标为(－3，2)，则它们另一个交点坐标为(　A　)
A．(3，－2) B．(－2，3)
C．(3，2) D．(－2，－3)
3．(2016荆门中考)若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为(　D　)
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
4．(2016菏泽中考)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为(　D　)
A．36 B．12 C．6 D．3
5．(2016张家界中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是(　C　)
,A) ,B)
,C) ,D)
6．(2016孝感中考)“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例关系．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m，则表示y与x函数关系的图象大致是(　B　)
,A) 　 ,B)
,C) 　 ,D)
7．(2016毕节中考)如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(　D　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
(第7题图)
　　　(第8题图)
8．(2016龙岩中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(　D　)
A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2016河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是__(1，4)__．
10．(2015南京中考)如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点．若函数y1＝，则y2与x的函数解析式是__y2＝__．
(第10题图)
　　　(第11题图)
11．(2016深圳中考)如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点C在x轴的负半轴上，将?ABCO绕点A逆时针旋转得到?ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y＝(x<0)的图象上，则k的值为__4__．
三、解答题(共53分)
12．(12分)(2016达州中考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，连接AD，点F是AD的中点，求出线段EF的长；
(3)若点P是抛物线上异于A，C的另外一点，且S△AEP＝S△AED，求点P的坐标．
解：(1)y＝x2－2x－3；(2)EF＝；(3)点P的坐标是(1＋2，4)或(1－2，4)．
13．(10分)(2016重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB，求△AOB的面积．
解(1)y＝－；(2)S△AOB＝.
14．(15分)(2016毕节中考)如图，已知抛物线y＝x2＋bx与直线y＝2x＋4交于A(a，8)，B两点，点P是抛物线上A，B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若C为AB中点，求PC的长；
(3)如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为(m，n)，请求出m，n之间的关系式．
解：(1)∵A(a，8)是抛物线与直线的交点，∴点A(a，8)在直线上，∴8＝2a＋4，解得a＝2，∴将A(2，8)代入y＝x2＋bx得：8＝22＋b×2，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x；(2)由得B(－2，0)，∴由中点坐标公式可知C(0，4)，∵点P在抛物线上且其纵坐标与C相同，∴P(－1，4)，∴PC＝－1－0＝－1；(3)∵D(m，n)，∴C(m，2m＋4)，E，P(，2m＋4)，∵点P在抛物线上，∴n2－4n－8m－16＝0.
15．(16分)(2016安徽中考)某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
解：(1)由题意可得：银卡消费：y＝10x＋150，普通消费：y＝20x；(2)由题意可得：当10x＋150＝20x，解得x＝15，则y＝300，故B(15，300)，当y＝10x＋150，x＝0时，y＝150，故A(0，150)，当y＝10x＋150＝600，解得x＝45，则y＝600，故C(45，600)；(3)如图所示，由A，B，C的坐标可得：当045时，金卡消费更合算．

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