资源简介 第四章 图形的初步认识与三角形、四边形第一节 线段、角、相交线和平行线,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016填空5平行线的性质与角平分线平行线的性质与角平分线222015填空5平行线的性质和垂线 利用平行线的性质和垂线定义求角222014填空6角平分线的性质利用角平分线的性质求点到直线的距离2选择17平行线的性质先利用同位角相等判两直线平行，再利用平行线的性质求角352012填空5平行线的性质与角平分线平行线的性质与角平分线22命题规律纵观青海五年中考，此考点一般设一道题，均为选择题或填空题，题目较简单，属于中考送分题命题预测预计2017年青海中考，本考点可能仍以利用平行线的性质求角度，也可能是平行线与角平分线、垂线等的结合求角度，题型为选择题或填空题,青海省(西宁)五年中考真题) 利用平行线的性质(青海4次、西宁2次)1．(2014青海中考)如图，∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠4等于( D )A．120° B．130° C．145° D．150°(第1题图) (第2题图)2．(2015西宁中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( C )A．74°12′ B．74°36′ C．75°12′ D．75°36′3．(2015青海中考)如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，则∠2＝__32°__．(第3题图) (第4题图)4．(2011西宁中考)如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝__50°__．5．(2012青海中考)如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝__55°__．(第5题图) (第6题图)6．(2016青海中考)如图所示，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝__65°__．,中考考点清单) 线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图(1)，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a与b的和，即AC＝__a＋b__．如图(2)，在直线l上画线段AB＝a，在AB上画线段AD＝b，则线段DB就是线段a与b的差，即DB＝a－b.(4)线段的中点：如图(3)，线段AB上的一点M，把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM＝MB，那么点M就叫做线段AB的中点，此时有__AM__＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 角及角平分线3．角的分类(1)分类分类锐角直角钝角平角周角度数0°<α<90°α＝90°90°<α＜180°α＝180°α＝360° (2)周角、平角、直角之间的关系和度数1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝()°，1″＝()′.4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．警示：到角两边距离相等的点在角平分线上．5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；B．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；B．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；B．互为邻补角的两个角的和为180°. 相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__∠4__为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__∠8__为对顶角． 垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__；(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行． 命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法技巧】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破) 线段、角的有关概念及其性质【例1】(2016湘西中考)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130° B．140° C．50° D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【学生解答】A1．(2017中考预测)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个(第1题图) (第2题图)2．(2016无锡中考)如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( D )A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°C．∠2＋∠4<180° D．∠3＋∠5＝180°3．(2016宜昌中考)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D )A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短4．(2016长沙中考)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B ),A) ,B),C) ,D)5．(2016福州中考)如图，直线a、b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( B )A．同位角 B．内错角C．同旁内角 D．对顶角(第5题图) (第6题图)6．(2016宜昌中考)已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( C )A．∠NOQ＝42°B．∠NOP＝132°C．∠PON比∠MOQ大D．∠MOQ与∠MOP互补 平行线的性质【例2】(2016西宁模拟)如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( )A．115° B．125° C．155° D．165°(例2题图) (例2题解图)【解析】如解图，过点D作c∥a，则∠1＝∠CDB＝25°，又∵a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2＝∠CDB＋90°＝115°.【学生解答】A7．(2016毕节中考)如图，直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( C )A．85° B．60° C．50° D．35°(第7题图) (第8题图)8．(2016咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( C )A．50° B．45° C．40° D．30°9．(2016陕西中考)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( B )A．60° B．115° C．125° D．130°(第9题图) (第10题图)10．(2016苏州中考)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( C )A．58° B．42° C．32° D．28°11．(2016深圳中考)如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D )A．∠2＝60° B．∠3＝60°C．∠4＝120° D．∠5＝40°(第11题图) (第12题图)12．(2016广东中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝__70°__．13．(2015盐城中考)如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝__70__°.,(第13题图)) ,(第14题图))14．(2015连云港中考)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31__°.15．(2016郴州中考)如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝__70__°. 平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )A．120° B．135°C．150° D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【学生解答】C16．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为( D )A．45° B．50°C．60° D．75°,(第16题图)) ,(第17题图))17．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按如图所示方式叠放，则∠α等于( D )A．30° B．45° C．60° D．75°18．(2016菏泽中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．第四章 图形的初步认识与三角形、四边形第一节 线段、角、相交线和平行线1．(2016徐州中考)如图，∠1的内错角是( D )A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5(第1题图) (第2题图)2．(2016百色中考)如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是( B )A．∠1＝∠6 B．∠2＝∠6C．∠1＝∠3 D．∠5＝∠73．(2016黄冈中考)如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( C )A．35° B．45° C．55° D．65°(第3题图) (第4题图)4．(2016东营中考)如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( C )A．30° B．35° C．40° D．50°5．(2016襄阳中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C的度数为( C )A．50° B．40° C．30° D．20°6．(2015福州中考)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( B ),A) ,B),C) ,D)7．(2016湘西中考)如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M，N，若∠1＝30°，则∠2＝__30°__．8．(2016泸州中考)把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( D )A．115° B．120° C．145° D．135°(第8题图) (第9题图)9．(2017中考预测)如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置(点B′在AC边上)，若∠B＝55°，∠C＝100°，则∠AB′A′的度数为__25°__．10．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与△BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为__4__．(第10题图) (第11题图)11．(2016昆明中考)如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为__40°__．12．(2016宜宾中考)如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝__75__°.(第12题图) (第13题图)13．(2016安顺中考)如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝__45__°.第三节 等腰三角形与直角三角形,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2015填空8等腰直角三角形的性质利用等腰直角三角形的性质求直角顶点关于原点的对称点2选择20等腰三角形的性质利用等腰三角形的性质和三角形的外角与内角关系求角352014填空6勾股定理角平分线的性质与勾股定理222012选择1直角三角形的性质直角三角形的斜面上中线与勾股定理和正切值33命题规律纵观青海省五年中考，此考点作为学生的选择题或填空题考查4次，其中2013年、2016年没考，但此考点与其他知识的综合考查的作答题较常见命题预测预计2017年青海省中考重点仍然是直角三角形的有关计算和等腰三角形的判定与性质的综合应用,青海省(西宁)五年中考真题) 等腰三角形的性质与判定(青海2次、西宁2次)1．(2015青海中考)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D放置到一定位置，使得DE＝DF，则∠BDN的度数是( C )A．105° B．115° C．120° D．135°(第1题图) (第3题图)2．(2016西宁中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为__70°或110°__．3．(2014西宁中考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形；点A，C的坐标分别为A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P为线段BC上的点；小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标为(3，4)，请写出其余所有符合这个条件的P点坐标__(2，4)或(8，4)__． 直角三角形的性质与判定(青海3次、西宁5次)4．(2012青海中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是( C )A. B. C. D.5．(2012西宁中考)折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段，在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( C )A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形6．(2014西宁中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( D )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BD＝2CD D．CD＝ED(第6题图) (第7题图)7．(2013西宁中考)如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( C )A．2 B. C. D．28．(2015青海中考)若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB＝2，则点A关于原点对称的点的坐标为__(－1，－1)__．(第8题图) (第9题图)9．(2014青海中考)如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为__3__．10．(2015西宁中考)如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则CD的长为____．(第10题图) (第11题图)11．(2016西宁中考)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝__2__．,中考考点清单) 等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形定义有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底．性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积： S△ABC＝BC·AD.判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等．(简称“__等角对等边__”) 2.等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形．性质(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S△ABC＝BC·AD.判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 直角三角形的性质与判定3．直角三角形定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形．性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形. 4.等腰直角三角形定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形．性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°.判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形.破) 等腰三角形的相关计算【例1】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，求∠A的度数．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】解：∠A＝50°.1．(2016黄石中考)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( B )A．50° B．100° C．120° D．130°(第1题图) (第2题图)2．(2016白银中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C )A．3 B．4 C．5 D．63．(2016淄博中考)如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.求证：(1)AE＝AF；(2)BE＝(AB＋AC)．证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF；(2)过点C作CG∥EM，交BA的延长线于点G，∴∠AGC＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG.∴BE＝BG＝(BA＋AG)＝(AB＋AC)． 直角三角形的相关计算【例2】(2015宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，求AB的长．,(例2题图)) ,(例2题解图))【解析】如解图，过D作DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝4，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，BC＝CD＋BD＝6，∴AC＝＝2，∴AB＝2·2＝4.【学生解答】解：AB的长为4.4．(2016北京中考)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，点M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．解：(1)∵∠ABC＝90°，点M为AC的中点，∴BM＝AC，在△ACD中，∵点M，N分别为AC，CD的中点，∴MN∥AD，且MN＝AD，又AC＝AD，∴BM＝AC＝AD＝MN，∴MN＝BM；(2)∵∠BCA＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，又∵∠BCA＝90°－∠BAC＝60°，由(1)知BM＝AC＝MC，∴△BMC为等边三角形，∴∠BMC＝60°，∵MN∥AD，∴∠CMN＝∠CAD＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∵AC＝2，∴BM＝MN＝AC＝1，∴BN＝＝.第三节 等腰三角形与直角三角形1．(2015北京中考)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( D )A．0.5 km B．0.6 kmC．0.9 km D．1.2 km(第1题图) (第3题图)2．(2016滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，，33．(2015青岛中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝( C )A. B．2 C．3 D.＋24．(2016西宁三中模拟)如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为( D )A. B．2 C. D.(第4题图) (第5题图)5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BC＝2，则AC的长为( B )A. B．1 C. D．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( C )A．20 B．10 C．5 D.7．(2015陕西中考)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( D )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．(2016淮安中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．(第7题图) (第9题图)9．(2015聊城中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若AB＝6，则点D到AB的距离是____．10．(2016重庆中考)已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组则此等腰三角形的周长为__5__．11．(2016广安中考)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∠F＝30°；(2)DF＝4.12．(2016安徽中考)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝( B )A. B. C. D.13．(2016莆田中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……，按照此规律继续下去，则S2 015的值为( C )A. B.C. D.14．(2016贵港中考)如图，在Rt△ABC中，∠A是直角，AB＝3，AC＝4，分别在Rt△ABC、Rt△DBE、Rt△FEC内作正方形ADEF、正方形DGHI和正方形FJKL，如果顶点H，E，K恰好落在Rt△ABC的斜边BC上，那么DG＋FL的值为( A )A. B. C. D.(第14题图) (第15题图)15．(2016淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__1.2__．16．(2016苏州中考)如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一个45°角的顶点放在C处，两边分别与AB交于E，F两点．(1)将所得△ACE以C为中心，按逆时针方向旋转到△BCG，试求证：△EFC≌△GFC；(2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的长．解：(1)连接FG，由旋转知：△BCG≌△ACE.∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE，∵∠ACE＋∠BCF＝45°，∴∠BCG＋∠BCF＝45°，即∠GCF＝∠ECF＝45°，而CF为公共边，∴△EFC≌△GFC(SAS)；(2)由△BCG≌△ACE知：∠CBG＝∠A＝45°，∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°，由△EFC≌△GFC知：EF＝GF，设BG＝AE＝3x，BF＝4x，则在Rt△GBF中，GF＝5x，∴EF＝GF＝5x，于是3x＋5x＋4x＝10，解得x＝，∴EF＝.17．(2015菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如图，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下：∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，∠FAD＝∠DBC.∵AD＝BC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC.∴FD＝DC，∠1＝∠2.∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形；(2)是．理由如下：过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DF、CF.∵∠ABC＝90°，AF⊥AB，∴AF∥CE.又∵BD＝CE，AF＝BD，∴AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形．∴FC∥AE.∴∠APD＝∠FCD.由(1)知∠APD＝45°.说明：1.此处辅助线也可以使用平移的方法：将线段CE沿EA方向平移至AF的位置，连接FD、FC.2.方法二：将线段CE沿CD方向平移至DF位置，连接AF、EF；方法三：将线段AD沿AE方向平移至EF位置，连接CF、DF.,方法二 方法三)第二节 三角形的基本概念及全等三角形,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016填空6三角形的外角与内角的关系利用三角形的外角与内角的关系结合平行线、角平分线，求三角形的内角222015填空10全等三角形判别三角形全等的条件2选择14三角形三边关系已知三角形的两边，求第三边长的可能性352014填空10全等三角形判别三角形全等的条件222013填空8全等三角形判别三角形全等的条件222012填空9全等三角形判别三角形全等的条件22命题规律纵观青海省五年中考，“三角形的基本概念及全等三角形”这一考点每年都有考查，其中三角形全等的判别条件考查4次，三角形的三边关系1次，三角形的内外角关系1次，题型以选择题、填空题的形式出现命题预测预计2017年青海省中考，仍以全等三角形的判别为主，全等三角形的判别与性质可能与四边形等结合在一起以解答题的形式进行考查,青海省(西宁)五年中考真题) 三角形的边角关系(青海2次、西宁2次)1．(2014西宁中考)下列线段能构成三角形的是( B )A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，62．(2015青海中考)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( C )A．5 B．6 C．12 D．163．(2016西宁中考)下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆动成三角形的是( D )A．3 cm、4 cm、8 cm B．8 cm、7 cm、15 cmC．5 cm、5 cm、11 cm D．13 cm、12 cm、20 cm4．(2016青海中考)如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线，若∠B＝71°，则∠BAC＝__38°__． 三角形的四条重要线段(西宁2次、青海0次)5．(2013西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( A )A．2 B．4 C．6 D．86．(2016西宁中考)如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个以BC为底的等腰三角形．若梯形上底为5，则连接△DBC的两腰中点的线段的长为__5__． 全等三角形(青海5次、西宁4次)7．(2013西宁中考)使两个直角三角形全等的条件是( D )A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等8．(2012青海中考)如图，点D，E分别在线段AB、AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD需添加一个条件是__答案不唯一，如∠B＝∠C__．(只需一个即可，图中不能再添加其他点或线)(第8题图) (第9题图)9．(2013青海中考)如图，BC＝EC，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是__答案不唯一，如∠A＝∠D__．(不添加任何辅助线)10．(2015青海中考)如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或AC∥FD__．(只需写一个，不添加辅助线)(第10题图) (第11题图)11．(2014青海中考)如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段__BC＝AD或AC＝BD或OA＝OB或OC＝OD__．12．(2014青海中考)如图，?ABCD中，点E在边AB上，点F在AB的延长线上，且AE＝BF.求证：∠ADE＝∠BCF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC且AD∥BC，∴∠DAE＝∠CBF.又∵AE＝BF，∴△DAE≌△CBF(SAS)，∴∠ADE＝∠BCF.13．(2014西宁中考)课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC＝25 cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小．(每块砖的厚度相等)解：(1)由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)由题意得：AD＝4a，BE＝3a，由(1)得△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴(4a)2＋(3a)2＝252，即a2＝25，∵a＞0，∴a＝5.答：砌墙砖块的厚度a为5 cm.,中考考点清单) 三角形分类及三边关系1．三角形分类(1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形． 三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形中的四条重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝BC 全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长__相等__，面积__相等__． 全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形已知条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA∠B1＝∠B2，∠C1＝∠C2，A1C1＝A2C2是AASA1B1＝A2B2，∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2是__SAS__直角三角形的判定A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，是__HL__ ,中考重难点突破) 三角形三边关系【例1】一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为( )A．10 B．12 C．14 D．16【解析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再根据第三边为偶数，求出第三边的长度，从而可求出三角形周长．【学生解答】C1．(2016长沙中考)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( A )A．6 B．3 C．2 D．112．(2016玉林中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 m，则AB边的取值范围是( B )A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cmC．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10 cm 三角形的内角和外角关系【例2】(2017中考预测)如图，CD是△ABC外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠A＝50°，则∠B的大小是( )A．50°B．60°C．40°D．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，又∵CD是△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠ACD＝∠DCE＝50°，∴∠ACE＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B＋∠A＝∠ACE，∴∠B＝∠ACE－∠A＝100°－50°＝50°.【学生解答】A3．(2016丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为__70°__．4．(2016南京中考)用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.证法1：∵__∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°__，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°.∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．∵__∠1＋∠2＋∠3＝180°.__．∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.解：证法2：过点A作射线AP，使AP∥BD，∵AP∥BD，∴∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP.∵∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360° 三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE＝AC，BE，CD交于点O，BE＝5 cm，则OE＝________cm.(例3题图) (例3题解图)【解析】如解图，过D作DF∥BE，那么DF就是三角形ABE的中位线，∴DF＝BE，AF＝EF，又∵CE＝AC，∴CE＝EF，∴OE就是三角形CDF的中位线，∵OE＝DF＝BE＝1.25 cm.【学生解答】1.255．(2016淄博中考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为点A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( D )A．2条 B．3条 C．4条 D．5条(第5题图) (第6题图)6．(2016南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( A )A．1 B．2 C. D．1＋ 全等三角形的证明及性质【例4】如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.若点M在DE上，且DC＝DM，试探究线段ME与BD的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC，在等腰Rt△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，又AC＝BC，∴△BDC≌△ADC(SSS)，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC＝DM，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°，∴△ADC≌△EMC(AAS)，∴ME＝AD＝DB，∴ME＝BD.7．(2016孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，而AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ADB≌△AEC(ASA)，∴AB＝AC，又AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.8．(2016南充中考)已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：(1)BD＝CE；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO＝∠AEC，∴∠MDO＝∠NEO，∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M＝∠N.9．(2016襄阳模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.(1)求证：△BEC≌△CDA；(2)试判断BE，DE，AD三条线段之间的关系．证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠CDA＝90°，又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又AC＝BC，∴△BEC≌△CDA(AAS)；(2)由(1)知CE＝AD.∵CD＋DE＝CE，∴CD＋DE＝AD.又∵BE＝CD，∴BE＋DE＝AD.第二节 三角形的基本概念及全等三角形1．(2016岳阳中考)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A．2 cm，3 cm，5 cm B．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cm D．3 cm，3 cm，4 cm2．(2016荆门中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5 B．6 C．8 D．10(第2题图) (第3题图)3．(2016怀化中考)如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( B )A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD4．(2016邵阳中考)如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( A )A．AC>BC B．AB＝BCC．∠A>∠ABC D．∠A＝∠ABC,(第4题图)) ,(第5题图))5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝( B )A．36° B．54° C．18° D．64°6．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(3，3)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( B )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( C )A．带①去 B．带②去C．带③去 D．带①和②去(第7题图) (第8题图)8．(2015东莞中考)如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．9．(2016南京中考)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__①②③__．10．(2016十堰中考)如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF.求证：AF＝DF.证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠FED，在△ABF和△DEF中，∴△ABF≌△DEF，∴AF＝DF.11．(2016湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( C )A．8 B．6 C．4 D．2(第11题图) (第12题图)12．(2016陕西中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为( B )A．7 B．8 C．9 D．1013．(2016大庆中考)如图，从①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( D )A．0 B．1 C．2 D．314．(2016怀化中考)如图，已知AD＝BC，AC＝BD.(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．解：(1)∵在△ADB和△BCA中，∴△ADB≌△BCA(SSS)；(2)OA＝OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB.15．(2016衢州中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.理由如下：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝90°.∴BE＝EC，BE⊥EC.16．(2015泰安中考)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE.点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM，∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC，理由如下：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠ACF＝∠B＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)；②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形；(2)存在，在CD延长线上取点F，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1) ①同理可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE.∴∠EAF＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等边三角形．(在CD延长线上取点F，使DF＝CE也可)第五节 多边形与平行四边形,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答23平行四边形(1)利用平行四边形的性质证线段相等；(2)判平行四边形772015选择15平行四边形利用平行四边形的性质，求比例线段的值332014解答23平行四边形利用平行四边形的性质证角相等772013解答23平行四边形平行四边形的判定77命题规律纵观青海省五年中考，多边形未考查，平行四边形考查4次，多以解答题的形式出现，难度中偏下命题预测预计2017年青海省中考仍会以平行四边形的判定与性质为主进行考查，也会与其他知识相结合,青海省(西宁)五年中考真题) 与多边形有关的计算(青海0次、西宁2次)1．(2013西宁中考)如果一个正多边形的一个外角60°，那么这个正多边形的边数是__6__．2．(2016西宁中考)若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__． 平行四边形的判定与性质(青海4次、西宁2次)3．(2013青海中考)如图，已知?ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．证明：∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠ABD＝∠CDB.又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BMA＝∠DNC＝90°，∴∠BAM＝∠DCN，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF，∵AM∥CN，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．4．(2016青海中考)如图所示，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：(1)DE＝BF；(2)四边形DEBF是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，而AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF；(2)由(1)知△ADE≌△CBF，∴∠DEA＝∠BFC，又∵∠DEA＋∠DEF＝180°，∠BFC＋∠BFE＝180°，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，又DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形．5．(2015西宁中考)如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB.(1)求证：CF＝AD；(2)若∠ACB＝90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．解：(1)∵点E为AF的中点，∴AE＝FE.又∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∴在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴CF＝DA；(2)四边形BFCD是菱形．理由如下：∵CD是△ABC的中线，∴D是AB的中点，∴AD＝BD.∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，BD＝CF，∵AB∥CF，∴BD∥CF，∴四边形BFCD是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∴CD＝AB.又∵BD＝AB，∴BD＝CD.∵四边形BFCD为平行四边形，∴四边形BFCD是菱形．6．(2016西宁中考)如图所示，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB＝CF；(2)连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠F.∵E是BC的中点，∴BE＝CE，而∠AEB＝∠FEC，∴△AEB≌△FEC(AAS)，∴AB＝CF；(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∵AB＝CF，DF＝DC＋CF，∴DF＝2CF，∴DF＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝DF.∵△AEB≌△FEC.∴AE＝EF，∴ED⊥AF.,中考考点清单) 多边形1.n边形(n≥3)内角和定理n边形的内角和为__(n－2)·180°__.外角和定理n边形的外角和为__360°__．对角线过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有条对角线.正n边形n≥3定义在平面内，边相等，角也相等的多边形叫做正多边形．性质(1)正n边形的每一个内角为____；(2)正(2n－1)边形是轴对称图形，对称轴有(2n－1)条；(3)正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴有2n条. 平行四边形的性质与判定图(1)2．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．如图(1)所示．3．性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边__平行且相等__AB綊CD，AD綊BC(2)对角__相等__∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC(3)对角线__互相平分__OA＝OC，OB＝OD(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，O为对称中心4．判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形?(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形?(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形?(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形?四边形ABCD是平行四边形(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形?,中考重难点突破) 多边形的相关计算【例1】如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于________．(例1题图) (例1题解图)【解析】过点O作三角形两边的垂线，垂足为E，F.∵O为等边△ABC的中心，∴OE＝OF，所求四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，即正三角形面积的.∵正三角形的面积为×2×＝，故四边形OABC的面积为＝.【学生解答】1．(2016长沙中考)六边形的内角和是( B )A．540° B．720° C．900° D．360°2．(2016宜昌中考)设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( B )A．a＞b B．a＝bC．a＜b D．b＝a＋180°3．(2016益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( D )A．360° B．540° C．720° D．900°4．(2016河北中考)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：(1)甲对，乙不对，若θ＝360°，则(n－2)180＝360，解得n＝4，若θ＝630°，则(n－2)180＝630，解得n＝，而n为整数，∴θ不能为630°；(2)依题意，得(n－2)180＋360＝(n＋x－2)180，解得x＝2. 平行四边形的相关计算【例2】(2017中考预测)在?ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，求?ABCD的周长．【解析】如解图①所示，∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，BE＝＝3，∴AD＝BC＝BE＋EC＝5，∴?ABCD的周长等于20；如解图②所示，∵在?ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，BE＝＝3，∴BC＝3－2＝1，∴?ABCD的周长等于1＋1＋5＋5＝12.则?ABCD的周长等于12或20.【学生解答】解：?ABCD的周长为12或20.5．(2016绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( D )A．①② B．①④ C．③④ D．②③(第5题图) (第6题图)6．(2016丽水中考)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )A．13 B．17 C．20 D．267．(2016陕西中考)如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE.连接AF，CE.求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，又∵BF＝DE，∴BF＋BD＝ED＋BD，∴DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.8．(2016连云港中考)四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO.证明：(1)∵在四边形ABCD中，BE＝DF，∴BE－EF＝DF－EF，即BF＝DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，又AD＝BC，∴△ADE≌△CBF；(2)连接AC交BD于点O，∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，又AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AO＝CO.第五节 多边形与平行四边形1．(2016湘西中考)下列说法错误的是( D )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．(2016丹东中考)已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( B )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形3．(2016泸州中考)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( B )A．10 B．14 C．20 D．22(第3题图) (第4题图)4．(2016邵阳中考)如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件__AD∥BC(答案不唯一)__(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．5．(2016宁夏中考)在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于__2__．(第5题图) (第6题图)6．(2016新疆中考)如图，在?ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__24__．7．(2016西宁二十一中模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠C，∠D)向内折叠，恰好落在AB边的点F处，若AD＝2，BC＝3，则EF的长为____．(第7题图) (第8题图)8．(2016梅州中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝__4__．9．(2016十堰中考)如图，在?ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__4__cm.10．(2016邵阳中考)如图所示，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF＝DE，求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDA＝∠FBC，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.11．(2017中考预测)如图，?ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，三角形FCB的周长为28，则FC的长为( C )A．4 B．5 C．6 D．7 (第11题图) (第12题图)12．如图，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( D )A．∠E＝∠CDF B．EF＝DFC．AD＝2BF D．BE＝2CF13．(2016常德中考)如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝__55°__．(第13题图) (第14题图)14．(2016东营中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是__4__．15．(2016益阳中考)如图，在?ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE.求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE.16．(2016百色中考)已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠1＝∠ECB，∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠ECB，∴∠AFB＝∠1，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE(AAS)；(2)由(1)得：∠1＝∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠ECB，∴∠1＝∠DCE＝65°，∴∠B＝∠D＝180°－2×65°＝50°.17．(2016鄂州中考)如图，?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形．(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，又∵CM∥AN，∴四边形AMCN是平行四边形；(2)∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM＝AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，在△MDE和△NBF中，∴△MDE≌△NBF，∴ME＝NF＝3，在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，∴DM＝＝＝5，∴BN＝DM＝5.18．(2016海东模拟)如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF.从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B?D?A?E，路线2是B?C?F?E，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：延长FD交AB于点G.∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB.∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD.又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴CF＝BD.∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA，∴BC＝DA，∴BD＋DA＋AE＝BC＋CF＋FE.19．如图(1)，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图(2)，将图(1)中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．解：(1)∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD＝OB，OD＝BD＝OB，DO＝DA，∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∴∠EOA＝∠DOC＋∠DOA＝90°，∴∠AEO＝60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO＝∠AEO＝60°，∴BC∥AE，∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；(2)OG＝1.第六节 矩形、菱形、正方形,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016填空11菱形的性质已知菱形的两条对角线长，求菱形的高2解答27探究规律由三角形外作正三角形、正四边形、正五边形、正n边形探究规律10122015解答24菱形的判定以梯形为背景判菱形882014解答27探究规律以正方形与直尺为背景，探究线段之间的关系或求线段比882013解答27探究规律以正方形为背景探究规律882012解答23矩形的判定(1)利用全等证线段相等；(2)判矩形8解答27探究规律以正方形为背景，探究从特殊到一般的规律1018命题规律纵观青海省中考，矩形、菱形、正方形为常考内容，最多设2道题，题型以解答题为主，且每年都有与之相关的探究的综合应用，题目难度中等偏上命题预测预计2017年青海省中考，特殊四边形的探究规律为必考题型，除此之外，还有可能另外设置特殊四边形的计算与证明问题，应加强训练,青海省(西宁)五年中考真题) 菱形(青海2次、西宁3次)1．(2012西宁中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标(－5，0)和(5，0)，请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__(8，0)或(，0)__．(第1题图) (第2题图)2．(2016青海中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝____．3．(2016西宁中考)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是__16__．4．(2012西宁中考)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC，在四边形AECF中，AD∥BC，∴AF∥EC，∴AECF是平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；(2)S菱形＝32.5．(2016青海中考)如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E.求证：四边形ADCE是菱形．证明：∵AB∥CD，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠CAB.∵DC∥AE，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC，∴平行四边形ADCE是菱形． 矩形(青海1次、西宁2次)6．(2012青海中考)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；(2)∵∠AMD＝2∠MDC，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC.∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形． 正方形(青海4次、西宁2次)7．(2012西宁中考)如图，E、F分别是正方形ABCD上的点，BE＝CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是( D )A．45° B．120° C．60° D．90°(第7题图) (第8题图)8．(2014西宁中考)如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB＝，AG＝1，则EB＝____．9．(2016青海中考节选)如图1，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图1中，求证：△ABE≌△ADC；证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，∴△ABE≌△ADC(SAS)；(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC＝120°.请你探索在图2中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．解：∠BOC＝90°.证明如下：设AD与BE交于点G，∵∠BAD＝90°，∴∠ABE＋∠AGB＝90°.∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∴∠ADC＋∠AGB＝90°，而∠AGB＝∠DGO，∴∠DGO＋∠ADC＝90°，∴∠DOG＝90°，∴∠BOC＝90°.10．(2014青海中考)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．(1)如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF________EG；(选填“＝”或“≠”)(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G，A重合)，其余条件不变，若AB＝4，BG＝3，求的值．解：(1)∵∠AEF＋∠AEG＝90°，∠AEF＋∠CEF＝90°，∴∠AEG＝∠CEF，又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA＝EC，∴△EAG≌△ECF(ASA)，∴EG＝EF；(2)＝；(3)过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，则∠MEN＝90°，EM∥BC，EN∥AB，∴＝＝.∴＝＝，又∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，则＝＝. ,中考考点清单) 矩形的性质与判定1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图(1)．2．性质文字描述字母表示[参考图(1)](1)对边平行且相等AD綊BC，AB綊CD(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形 3.判定文字描述字母表示[参考图(1)](1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形 菱形的性质与判定图(2)4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图(2)5．性质文字描述字母表示[参考图(2)](1)菱形四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA(2)对角相等∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形6．判定文字描述字母表示[参考图(2)](1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形(2)四条边相等的四边形是菱形若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形 正方形的性质与判定7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)8．性质文字描述字母表示[参考图(3)](1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 9.判定文字描述字母表示[参考图(3)](1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形．(2)有一角是直角的__菱形__是正方形．若∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形.(3)有一组邻边相等的矩形是正方形．若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形．(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形.对特殊的平行四边形的判定理解不透彻【例】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？【错解】(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN，在△MAB和△NCD中，∴△MAB≌△NCD；(2)四边形MPNQ是平行四边形．【错因分析】由于对特殊四边形的判定方法理解不透彻，所以不能对问题进行深入的探究和挖掘．【正解】(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝AD，CN＝BC，∴AM＝CN，在△MAB和△NCD中，∴△MAB≌△NCD；(2)四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AP，易证A，P，N三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN＝BM，∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM＝NQ，DQ＝BP，又易知DM＝BN，∠MDQ＝∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD的中点，Q是DN的中点，∴MQ＝AN，∴MQ＝BM，∵MP＝BM，∴MP＝MQ，∴四边形MQNP是菱形．,中考重难点突破) 矩形的判定与性质【例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【解析】(1)先由对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角相等及已知其和等于180°可得∠ABC＝90°，即可得出结论；(2)由∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∠ADC＝90°，可求出∠FDC的度数，再由DF⊥AC可求得∠DCO的度数，又由OC＝OD可得∠ODC的度数，从而利用∠BDF＝∠ODC－∠FDC求解即可．【学生解答】解：(1)∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.1．(2016成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__3__．(第1题图) (第2题图)2．(2016广东中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝2，点E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，点B恰好落在对角线AC上的点B′处，则AB＝____． 菱形的相关计算【例2】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.求∠DEC的大小．(例2题图) (例2题解图)【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°－(∠CDE＋∠C)＝75°.【学生解答】解：∠DEC＝75°.3．(2016杭州中考)在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为__45°或105°__．4．(2016陕西中考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2.点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，D(P，D两点不重合)两点间的最短距离为__2－2__. 正方形的相关计算【例3】(2017中考预测)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．(例3题图) (例3题解图)【解析】连接AC、CF，则在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠ACG＝∠FCG＝45°，所以△ACF是直角三角形，AF为斜边，又∵H是AF的中点，所以CH＝AF，延长AD交FE于M点，则Rt△AMF中，AM＝1＋3＝4，MF＝3－1＝2，根据勾股定理，得AF＝2，所以CH＝.【学生解答】解：CH的长为.5．(2016广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为( B )A. B．2C.＋1 D．2＋1(第5题图) (第6题图)6．(2016天津中考)如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于____．第六节 矩形、菱形、正方形1．(2016益阳中考)下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．(2015江西中考)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是( C ) A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变(第2题图) (第3题图)3．(2016宁夏中考)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( A )A．2 B. C．6 D．84．(2015江西中考)纸片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( C )A．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形(第4题图) (第5题图)5．(2016眉山中考)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是( A )A．6 B．6 C．3 D．3＋36．(2016鄂州中考)如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为( B )A．5 B．7 C．8 D.(第6题图) (第7题图)7．(2016内江中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝____．8．(2016东营中考)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC的点F处，已知折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为__36__cm.(第8题图) (第9题图)9．(2016哈尔滨中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为__3__．10．(2016哈尔滨中考)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．解：(1)∵四方形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP，∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB＝∠DPA＝90°，∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ；(2)①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.11．(2016宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( B )A．2 B. C. D．1(第11题图) (第12题图)12．(2016黑龙江中考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是( B )①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④S四边形ECFG＝2S△BGE.A．4 B．3 C．2 D．113．(2016银川中考)如图，矩形ABCD中，M为CD中点，以点B，M为圆心，分别以BC长，MC长为半径画弧，两弧相交于点P.若∠PMC＝110°，则∠BPC的度数为__55°__．(第13题图) (第14题图)14．(2015凉山中考)菱形OBCD平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E点为(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为__(2－3，2－)__．15．(2016毕节中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)∵△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，∴∴△AEC≌△ADB(SAS)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，又由(1)有AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD是直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，BD＝2，又四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.16．(2016百色中考)如图，平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①求AE＝________cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝________cm时，四边形CEDF是菱形．(直接写出答案)解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG(ASA)，∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；(2)①3.5；②2.17．(2016永州中考)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．解：(1)由轴对称性质得：∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴FE＝FG.如图，∴ED＝EF＝GD＝GF.∴四边形DEFG为菱形；(2)设DE＝x，由轴对称得FE＝DE＝x，EC＝8－x，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，CE＝8－x＝3.∴＝.18．(2016玉林中考)如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABF＝∠ECF.∵EC＝DC，∴AB＝EC.在△ABF和△ECF中，∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴△ABF≌△ECF；(2)∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴FA＝FE，FB＝FC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D.又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．第四节 尺规作图,青海五年中考命题规律)年份地区题型题号考查点考查内容分值总分命题规律纵观青海省五年中考．此考点没有考查．本着学以致用的原则，此考点不能忽略．命题预测预计2017年青海中考尺规作图可能会作为考查内容，题型以尺规作图与几何计算结合考查. ,中考考点清单) 尺规作图尺规作图为近2年各省市的必考点，题型多为选择题、填空、解答题，主要考查五种常见的基本作图的作法及作图痕迹．六种尺规作图六种尺规作图步骤图示作一条线段OA等于已知线段a(1)作射线OP；(2)在OP上截取OA＝a，OA即为所求线段．作∠AOB的平分线OP(1)以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；(2)分别以点M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点P；(3)过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线．作线段AB的垂直平分线MN(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；(2)过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线．续表作一个角 ∠A′O′B′等于∠α(1)在∠α上以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；(2)作射线O′A′；(3)以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M；(4)以点M为圆心，PQ长为半径作弧交(3)中所作的弧于点N；(5)过点N作射线O′B′，∠A′O′B′即为所求角．作直线l的垂线过直线上一点O作直线l的垂线MN(1)以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求垂线．过直线l外一点P作直线l的垂线PN(1)在直线另一侧取点M；(2)以点P为圆心，PM为半径画弧，分别交直线l于A，B两点；(3)分别以A，B为圆心，以大于AB为半径画弧，交M同侧于点N；(4)过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线．,中考重难点突破) 尺规作图【例】(2014辰溪模拟)已知⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)．以下是甲、乙两同学的作业：甲：1.连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；2．以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点M；3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图①)．乙：1.让直角三角形板的一条直角边始终经过点P；2．调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；3．作直线PM，则直线PM即为所求(如图②)．对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都对 D．两人都不对【解析】甲同学如解图①连接OM，MA，∵作OP的垂直平分线l交OP于点A，∴OA＝AP，∵以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点M，∴OA＝MA＝AP，∴∠O＝∠AMO，∠AMP＝∠MPA，∴∠OMA＋∠AMP＝∠O＋∠MPA＝90°，∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线．乙同学如解图②，∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，∴∠OMP＝90°，∴MP是⊙O的切线．故两位同学的作法都正确．【学生解答】C1．(2016湖州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是__5__．2．(2016河北中考)如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是( A )A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC＝BC·AH D．AB＝AD3．(2017中考预测)如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是( C )A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS4．(2016深圳中考)如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为__2__．5．(2016北京中考)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.作法：如图，(1)在直线l上任取两点A，B；(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；(3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的垂线．请回答：该作图的依据是__到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上__．6．(2015百色中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，连接AE，则∠AED的度数是__50__°.7．(2015怀化二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．解：(1)略；(2)AB与⊙O相切，证明如下：过点O作OE⊥AB，E为垂足，∵BO平分∠ABC，OC⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OC＝r，∴AB与⊙O相切．8．(2015怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.(1)求作⊙O，使它过点A，B，C；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的圆中，求出劣弧的长l.解：(1)略；(2)π.第四节 尺规作图1．(2016德州中考)如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.则∠BAD的度数为( A )A．65° B．60° C．55° D．45°(第1题图) (第2题图)2．(2016宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( B )A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形3．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是( C )A．PQ为∠APB的平分线B．PA＝PBC．点A，B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ4．(2016兰州中考)如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图，四边形ABCD即为所求．5．(2017中考预测)如图，已知△ABC(AC＜BC)，用尺规在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( D ),A) ,B) ,C) ,D)6．(2016中考改编)已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D.(1)利用尺规作图，作出D到MN的距离；(保留作图痕迹，不写作法)(2)求证：DE是⊙O的切线；(3)若DE＝6 cm，AE＝3 cm，求AB的长．略7．(2016陕西中考)如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)解：如图，直线AD即为所求．8．(2016广东中考)如图，已知在△ABC中，点D为AB的中点．(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，若DE＝4，求BC的长．解：(1)作AC的垂直平分线MN，交AC于点E，图略；(2)BC＝2DE＝8.阶段测评(四) 图形的初步认识与三角形、四边形(时间：45分钟 总分：100分)一、选择题(每小题4分，共36分)1．(2016白银中考)八边形的内角和等于( B ) A．360° B．1 080° C．1 440° D．2 160°2．(2016达州中考)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，连接AC，∠DAC＝∠BAC，若BC＝4，AD＝5，则AB的长度是( C )A．6 B．7 C．8 D．93．(2016攀枝花中考)下列关于矩形的说法中正确的是( B )A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直平分4．(2016荆门中考)如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( B )A．△AFD≌△DCE B．AF＝ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF(第4题图) (第5题图)5．(2016兰州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为( A )A．2 B．4 C．4 D．86．(2016陕西中考)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于两点M′，N′，则图中的全等三角形共有( C )A．2对 B．3对 C．4对 D．5对(第6题图) (第7题图)7．(2016淄博中考)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为( B )A. B．2 C. D．10－58．(2016荆州中考)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2 017个白色纸片，则n的值为( B )A．671 B．672 C．673 D．6749．(2015德州中考)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是( D )A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④二、填空题(每小题4分，共20分)10．(2015江西中考)如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB.则图中有__3__对全等三角形．,(第10题图)) ,(第11题图))11．(2015绍兴中考)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图(1)，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图(2)，则此时A，B两点之间的距离是__18__cm.12．(2015武汉中考)如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是____．13．(2016黔南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为__2或4－2__．(第13题图) (第14题图)14．(2016遵义中考)如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGH，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第10个正方形面积S10＝__512__．三、解答题(共44分)15．(6分)(2016内江中考)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE, ∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点；(2)若AB＝AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．16．(8分)(2016聊城中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AFE和△CDE中，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠B＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠ACD，∴DA＝DC，∴四边形ADCF是菱形．17．(8分)(2016孝感中考)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.(1)求证：AC⊥BD；(2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴?ABCD是菱形．∴AC⊥BD；(2)在Rt△AOB中，cos∠OAB＝＝，AB＝14，∴AO＝14×＝，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝＝，AB＝14，∴AE＝AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－＝.18．(10分)(2017中考预测)如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D.(1)求证：BE＝CF；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．解：(1)由旋转可知，∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，AE＝AB.∴∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF；(2)∵四边形ACDE是菱形，AB＝AC＝1，∴AC∥DE，DE＝AE＝AB＝1.又∵∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝45°.又∵∠AEB＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝＝，∴BD＝BE－DE＝－1.19．(12分)(2016西宁七中模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．证明：(1)过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM＝BD，∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD和△BDC中，，∴△ACD≌△BDC，∴AD＝BC；(2)连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝AD，∴四边形HFGE为平行四边形，由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG，∴?HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第一节 线段、角、相交线和平行线.doc 第一节 线段、角、相交线和平行线精练.doc 第三节 等腰三角形与直角三角形.doc 第三节 等腰三角形与直角三角形精练.doc 第二节 三角形的基本概念及全等三角形.doc 第二节 三角形的基本概念及全等三角形精练.doc 第五节 多边形与平行四边形.doc 第五节 多边形与平行四边形精练.doc 第六节 矩形、菱形、正方形.doc 第六节 矩形、菱形、正方形精练.doc 第四节 尺规作图.doc 第四节 尺规作图精练.doc 阶段测评(四) 图形的初步认识与三角形、四边形精练.doc
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