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第五章　图形的相似与解直角三角形
第一节　图形的相似与位似
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
解答
25
相似三角形性质与判定
以圆为背景，证明等积式成立
3
3
2015
选择
15
相似三角形
以平行四边形为背景，判两个三角形相似，求对应边的比
3
3
2014
填空
5
相似三角形的应用
利用相似三角形测水塔的高
2
2
2013
填空
11
相似三角形的应用
利用相似三角形测旗杆的高度
2
2
2012
填空
10
相似三角形的应用
利用相似三角形测楼高
2
2
命题规律
纵观青海省五年中考考查相似三角形的应用3次，相似三角形的判定与性质一次都以填空题或选择题的形式出现，对于相似三角形的判定与性质综合应用一般与函数、圆、四边形结合，以解答题形式呈现，难度较高
命题预测
预计2017年青海省中考仍有一道小题涉及到相似三角形的应用；其判定与性质与函数结合应用
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　相似三角形的判定与性质(青海1次、西宁0次)
1．(2015青海中考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则＝(　A　)
A. B. C. D.
　相似三角形的实际应用(青海3次、西宁0次)
2．(2012青海中考)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为__12__m.
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2014青海中考)如图，为了测量一水塔的高度，小强用2 m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m，与水塔相距32 m，则水塔的高度为__10__m.
4．(2013青海中考)如图，小明在测量旗杆高度的实践活动中，发现地面上有一滩积水，他刚好能从积水中看到旗杆的顶端，测得积水与旗杆底部距离CD＝6 m，他与积水的距离BC＝1 m，他的眼睛距地面AB＝1.5 m，则旗杆的高度DE＝__9__m.
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2011青海中考)如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是__48__mm.
6．(2016西宁九年级调研测试二)如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于点G，H.
(1)求证：△ABE∽△ADF；
(2)若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF，∴△ABE∽△ADF；(2)∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
7．(2016青海中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
解：(1)∵将△ACD沿AD折叠得到△AED，∴∠AED＝∠BED＝∠ACD＝90°，∵∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC；(2)AD＝3.
,中考考点清单)
　比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：如果＝，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质1
＝?__ad__＝bc(a、b、c、d≠0)．
性质2
如果＝，那么＝.
性质3
如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝__(不唯一)__.
　　4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
　相似三角形的判定及性质
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)．
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]．
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．
　相似多边形
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__；
(2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
　位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
(1)确定__位似中心__；
(2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；
(4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　相似三角形的判定与性质
【例1】如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.
(1)写出图中两对相似三角形并证明其中的一对；
(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
【学生解答】解：(1)略；(2)FG的长为.
【点拨】(1)两角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2)由相似三角形性质求BG的长，由AB的长可求AC，BC的长，在Rt△FCG中由勾股定理求FG的长．
1．(2016江西中考)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中三个多边形(分别标记①，②，③)的顶点均在格点上，被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m＝n的是(　C　)
A．只有② B．只有③
C．②③ D．①②③
2．(2016广安中考)如图，三个正方形的边长分别为2、6、8，则图中阴影部分的面积为__21__．
3．(2016杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C，又∵＝，∴△ADF∽△ACG；(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝1.
　位似图形
【例2】(2015怀化模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是(　　)
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)
D．(－2，3)或(2，－3)
【学生解答】D
【点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.
4．(2016十堰中考)如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　D　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶9
5．(2016德州中考)对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是(　D　)
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
第五章　图形的相似与解直角三角形
第一节　图形的相似与位似
1．(2016兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(　C　)
A.　 　　B.　 　　C.　 　　D.
(第1题图)
　　　　(第2题图)
2．(2016哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是(　A　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．(2016湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(　D　)
A．3 B．5 C．6 D．8
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2016安顺中考)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是(　D　)
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.＝ D.＝
5．(2015济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(　C　)
A. B. C．1 D.
(第5题图)
　　　(第6题图)
6．一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为__(－－3，3)__．
7．(2016新疆中考)如图所示，△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝，则△AEF与△ABC的面积比是__1∶9__．
(第7题图)
　　　(第8题图)
8．(2016宿迁中考)如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．若△ABC的边BC长为40 cm，高AH为30 cm，则正方形DEFG的边长为____cm.
9．(2016威海中考)如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝__2∶3__.
(第9题图)
　　　(第10题图)
10．(2015包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO＝90°，OA与反比例函数y＝的图象交于点D，且OD＝2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD＝10，则k的值为__－16__．
11．(2015连云港中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为____．
12．(2015泰安中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴AB·CD＝CP·BP，∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴＝，∵AB＝10，BC＝12，∴＝，∴BP＝.
13．(2016随州中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(　B　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
14．(2016盘锦中考)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD＝3，DC＝4，DE＝，∠EDF＝90°，则DF长是(　C　)
A. B. C. D.
,(第14题图))　　,(第15题图))
15．(2016滨州中考)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则＝____.
16．(2016长春中考)如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.
(1)求证：BD∥EF；
(2)若＝，BE＝4，求EC的长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；(2)∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG，∴＝，∴CE＝＝4×＝6.
17．(2016青海师大附中模拟)某中学为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
解：过点C作CM∥AB，交EF，AD于点N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于点Q，P，由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm .∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴＝，即＝.解得NF＝24 cm.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：横梁EF应为44 cm.
18．(2016安徽中考)已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，A2坐标为(－2，－2)．
19．(2015连云港中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
(1)求BD·cos∠HBD的值；
(2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．
解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∠A＝∠HDC，∴△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4，在Rt△BHD中，cos∠HBD＝，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴＝，∵△ABC∽△DHC，∴＝＝3，∴AB＝3DH，∴＝，解得DH＝2，∴AB＝3DH＝3×2＝6，即AB的长是6.
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进．小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm.
请问：它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点的三角形相似？
解：设它们同时出发了t s时△PBQ与△ABC相似，BP＝10－t，BQ＝2t.①∵∠B＝∠B，∴当＝时，△PBQ∽△ABC，∴＝，t＝5；②∵∠B＝∠B，∴当＝时，△PBQ∽△CBA，∴＝，t＝2.综上所述，它们同时出发了2 s或5 s时，△PBQ与△ABC相似．
21．(2016眉山中考)如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.
(1)求证：＝；
(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
(3)设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
解：(1)∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴＝；(2)AC∥BD，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵＝，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD；(3)如图所示，作PM⊥BD于M，∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4，∵△PCE∽△DCB，∴＝，即＝，∴BD＝x，∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，BP＝BE＋PE＝4＋x，∴PM＝，∴△PBD的面积S＝BD·PM＝×x＝x2＋2x.
第二节　锐角三角函数及解直角三角形的应用
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
解答
24
解直角三角形
利用在阳光下建筑物的影子为背景构造直角三角形，求楼高、点面的距离
8
8
2015
解答
23
解直角三角形
以建筑物和旗杆为背景构造直角三角形的建筑物和旗杆的高
8
8
2013
选择
15
锐角三角函数
求网格中的锐角的正切值
3
解答
24
解直角三角形
以两建筑物为背景构造直角三角形，求两楼之间的距离和其中一楼的高
8
11
2012
选择
17
锐角三角函数
已知Rt△斜边上的中线和一边上的高，求其中一个锐角的正切值
3
3
命题规律
纵观青海省五年中考，求锐角三角函数考查2次，解直角三角形的应用考查3次，题型属于中档题，既有选择题，又有解答题的形式呈现
命题预测
预计2017年青海省中考以解直角三角形的应用、以解答题的形式出现的可能大，应强化训练
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　锐角三角函数值(青海2次、西宁0次)
1．(2013青海中考)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为(　B　)
A. B. C. D.
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2012青海中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值是(　C　)
A. B. C. D.
　解直角三角形(青海0次、西宁1次)
3．(2012西宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC；
(2)若tan∠BCD＝，求CD.
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DCB＝30°，∴∠B＝60°，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴tan60°＝，∴AC＝；(2)在Rt△BDC中，tan∠BCD＝＝，设BD＝k，则CD＝3k，由勾股定理得：k2＋(3k)2＝12，解得k1＝，k2＝－(不合题意，舍去)，∴k＝，CD＝.
　解直角三角形的实际应用(青海3次、西宁4次)
4．(2016青海中考)如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE.而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25 m的距离．(B，F，C在一条直线上)．
(1)求办公楼AB的高度；
(2)若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)
解：(1)AB＝20 m；(2)A，E间的距离为48 m．
中考考点清单)
　锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的
正
弦
sinA＝＝①____
余
弦
cosA＝＝②____
正
切
tanA＝＝③____
　特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
sinα
④____
cosα
⑤____
tanα
⑥____
1
　解直角三角形
解直角三角形常用的关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
三边关系
⑦__a2＋b2＝c2__
两锐角关系
⑧__∠A＋∠B＝90°__
边角关系
30°角所对的直角边等于斜边的一半．
sinA＝cosB＝
cosA＝sinB＝
tanA＝
　解直角三角形的应用
仰角、俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫⑨__仰角__，视线在水平线下方的角叫⑩__俯角__．
坡度(坡比)、坡角
坡面的铅直高度h和?__水平宽度__l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝?____.
方位角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做?__方位角__，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
【规律总结】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，当所求元素不在直角三角形中时，应作辅助线构造直角三角形，或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素；(2)解实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的边角计算问题．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　锐角三角函数及特殊角三角函数值
【例1】(2015乐山中考)如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(　　)
A. B. C. D.
【学生解答】D
1．(2015西宁中考)某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度，如图，他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°，再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，则浦宁之珠的高度CD约为__189__m．(sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数)
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2013西宁中考)如图，甲乙两幢楼之间的距离是30 m，自甲楼顶A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼的高度为__(30＋10)__m.
　解直角三角形的实际应用
【例2】(2015内江中考)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测到在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800 m到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A，B，C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值：≈1.7)
【解析】在Rt△ACF中，利用tan30°＝即可．
【学生解答】CF＝1 080 m.
【点拨】所求边CF是两个直角三角形的公共边，充分抓住两个直角三角形的联系，运用三角函数和列方程求解．
3．(2016西宁中考)如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB、AC，若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__60__m．(sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
4．(2015青海中考)如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4 m的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED＝60°，∠BED＝45°.小明的观测点与地面的距离EF为1.6 m.
(1)求建筑物BC的高度；
(2)求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：(1)在Rt△EDB中，∠BED＝45°，∴BD＝ED＝FC＝11.4，∴BC＝BD＋CD＝BD＋EF＝11.4＋1.6＝13(m)；(2)在Rt△EDA中，∠AED＝60°，∴AD＝ED≈19.7，∴AB＝AD－BD＝19.7－11.4＝8.3(m)．
第二节　锐角三角函数及解直角三角形的应用
1．(2016襄阳中考)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　B　)
A.　　　　　B.
C. D.
2．(2016自贡中考)如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2015苏州中考)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　B　)
A．4 km B．(2＋)km
C．2 km D．(4－)km
4．(2015泰安中考)如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是(　D　)
A．20海里 B．40海里
C.海里 D.海里
5．(2015怀化中考)已知α、β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝__75°__．
6．如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得三点A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，若BC∥DE，DE＝90 m，BC＝70 m，BD＝20 m，那么A，B两村间的距离为__70__m.
7．(2016西宁模拟)在一个斜坡上前进13 m，水平高度升高了5 m，则该斜坡坡度i＝__5∶12__．
8．(2016包头中考)如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝，求AD的长．
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°·6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝8，∴BC＝BE－CE＝6－8；(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝，∴AD＝AE－DE＝10－＝，即AD的长是.
9．(2016宜宾中考)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝≈＝50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝(h)．
10．(2016淄博中考)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是(　D　)
A. B．1 C. D．2
11．(2016黔东南中考)如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时路灯的灯柱BC高度应该设计为(　D　)
A．(11－2)m
B．(11－2)m
C．(11－2)m
D．(11－4)m
12．(2016广安中考)如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度．(结果保留两位小数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝31°，AB＝3.5，设MH＝x，则AH＝x，BH＝xtan31°＝0.60x，∴AB＝AH－BH＝x－0.60x＝0.4x＝3.5，解得x＝8.75，则旗杆高度MN＝x＋1＝9.75(m)．答：旗杆MN的高度约为9.75 m.
13．(2017中考预测)小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°.(以下计算结果精确到0.1 m)
(1)求小华此时与地面的垂直距离CD的值；
(2)小华的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．(sin15°≈0.259，cos15°≈0.966)
解：(1)在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，BD＝20，∴CD＝BD·sin15°，∴CD＝5.2 m．答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2 m；(2)在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝BC，由(1)知，BC＝BD·cos15°≈19.3(m)，∴AB＝AF＋DE＋CD＝19.3＋1.6＋5.2＝26.1(m)．答：楼房AB的高度是26.1 m.
14．(2016资阳中考)如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(结果保留根号)
解：(1)如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得AC＝40.答：点A到岛礁C的距离为40海里；(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x＋x＝40，∴解得x＝20(－1)．则此时“中国海监50”的航行距离为(60－20)海里．
阶段测评(五)　图形的相似与解直角三角形
(时间：45分钟　总分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(2016达州中考)如图，A，B，C三点在正方形网格线的格点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(　B　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
(第1题图)
　　　　(第2题图)
2．(2015嘉兴中考)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为(　D　)
A．1 B．2 C. D.
3．(2015恩施中考)如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE∶EA＝3∶4，EF＝3，则CD的长为(　B　)
A．4 B．7 C．3 D．12
,(第3题图))　　,(第4题图))
4．(2015南京中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(　C　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5．(2015永州中考)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(　D　)
A．∠ABD＝∠ACB
B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC
D.＝
6．(2015十堰中考)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应A′的坐标是(　D　)
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
7．(2016攀枝花中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED的值为(　C　)
A．1∶ B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
(第7题图)
　　　(第8题图)
8．(2016新疆中考)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________海里(　D　)
A．25 B．25 C．50 D．25
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(2016西宁九中模拟)若x∶y＝5∶2，则(x＋y)∶y的值是____．
10．(2016张家界中考)△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为__2±__．
11．(2015重庆中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为__2∶3__．
12．(2016新疆中考)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽AB为__30__m．(结果保留根号)
(第12题图)
　　　(第13题图)
13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30 m，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 m．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋10)__m．(结果保留根号)
14．(2017中考预测)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__2或4或6__．
三、解答题(共44分)
15．(10分)(2016上海中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求：
(1)线段BE的长；
(2)∠ECB的余切值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD·cos45°＝2×＝，∴BE＝AB－AE＝3－＝2，即线段BE的长为2；(2)过点E作EH⊥BC，垂足为H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE·cos45°＝2×＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△CHE中，cot∠ECB＝＝，即∠ECB的余切值为.
16．(10分)(2016内江中考)禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)
解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD＝x海里，则AD＝(200－x)海里，∵∠ABC＝45°，∴BD＝CD＝x，∵∠BAC＝30°，∴tan30°＝，在Rt△ACD中，则CD＝AD·tan30°＝(200－x)，则x＝(200－x)，解得x＝100－100，即BD＝100－100，在Rt△BCD中，cos45°＝，解得BC＝100－100，则(100－100)÷4＝25(－)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度约为25(－)海里/时．
17．(12分)(2016贺州中考)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10 m，坡面10 m处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3 m宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除．(计算最后结果保留一位小数，参考数据：＝1.414，＝1.732)
解：由题意得，AH＝10 m，BC＝10 m，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，∴DB＝＝10，∴DH＝AH－AD＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10＝20－10≈2.7(m)，∵2.7 m<3 m，∴该建筑物需要拆除．
18．(12分)(2016宜昌中考)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF∥BC.
(1)求∠D的度数；
(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.
①如图(1)，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值．
解：(1)∠D＝90°；(2)①四边形AGDH为正方形，理由略；②k＝.

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