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第六章　图形的变化
第一节　图形的轴对称与中心对称
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2016
选择
14
轴对称图形
判断对称轴的条数
3
3
2014
选择
14
图形的对称
判断既是中心对称图形，又是轴对称图形
3
3
2013
填空
6
对称与折叠
利用折叠求角
2
选择
14
图形的对称
判断既是中心对称图形，又是轴对称图形
3
5
2012
选择
13
图形的对称
判断既是中心对称图形，又是轴对称图形
3
3
命题规律
纵观青海省五年中考，图形的对称与折叠共考查5次，多以选择题形式出现，没设解答题，考查难度较低，基本上是送分题
命题预测
预计2017青海中考仍会涉及图形对称的识别，也可能涉及几何图形折叠问题的计算
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　图形对称的判断(青海4次、西宁3次)
1．(2013西宁中考)在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　)
A．角 B．线段
C．等腰三角形 D．平行四边形
2．(2014青海中考)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
3．(2014西宁中考)将两个全等的直角三角形纸片构成如下的四个图形，其中属于中心对称图形的是(　C　)
,A) ,B) ,C) ,D)
4．(2013青海中考)下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　C　)
,A) ,B) ,C) ,D)
5．(2016青海中考)以下图形，对称轴的数量小于3的是(　D　)
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
6．(2016西宁中考)在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是(　D　)
,A) ,B) ,C) ,D)
　对称与折叠中的计算(青海1次、西宁3次)
7．(2016西宁中考)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC＝(　A　)
A．73° 　　　B．56°
C．68° 　　　D．146°
8．(2013青海中考)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝__68°__．
(第8题图)
　　　(第9题图)
9．(2015西宁中考)如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点B与点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn＝____．
,中考考点清单)
　轴对称图形与轴对称
轴对称图形
轴对称
图
形
定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性
质
对应线段相等
AB＝①__AC__
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
对应角相等
∠B＝∠C
∠A＝②__∠A′__，
∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区
别
(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条
(1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴
关
系
(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
【规律总结】1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【方法技巧】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．
1．与三角形结合：
①若涉及直角，则优先考虑直角三角形的性质(勾股定理及斜边上的中线等于斜边的一半)，若为含特殊角的直角三角形，则应利用其边角关系计算；
②若涉及两边(角)相等，则利用等腰三角形的相关性质计算，若存在60°角，则利用等边三角形性质进行相关计算，一般会作出高线构造特殊角的直角三角形进行求解；③若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行量的代换；
2．与四边形结合：
①与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往会利用其特殊性质求解；②若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解．
　中心对称图形与中心对称
中心对称图形
中心对称
图
形
定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应
线段
AB＝CD，
AD＝BC
AB＝A′B′，④__BC__＝B′C′，AC＝A′C′
对应角
∠A＝∠C
⑤__∠B__＝∠D
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠C＝∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形
【规律总结】常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　轴对称与中心对称图形的识别
【例1】(2016湖州中考)为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
,A) ,B) ,C) ,D)
【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴的图形能够完全重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，将图形绕对称中心旋转180°后能够与原图形重合．选项A、D中的图形是轴对称图形，选项D中的图形也是中心对称图形．
【学生解答】D
1．(2016菏泽中考)以下图标中不是轴对称图形的是(　D　)
,A) ,B) ,C) ,D)
2．(2016天津中考)下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
3．(2016宁波中考)下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成的，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
(请将三个小题依次作答在图(1)、图(2)、图(3)中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：(1)画出下列其中一种即可：
(2)画出下列其中一种即可：
(3)画出下列其中一种即可：
　图形折叠中的相关计算
【例2】(2016铜仁中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为(　　)
A．3 B. C．5 D.
【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠知∠CBD＝∠EBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB.设ED＝EB＝x，则AE＝6－x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2，即x2＝(6－x)2＋9，解得x＝.
【学生解答】B
4．(2016南充中考)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．(2017中考预测)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线D′处，若AB＝3，AD＝4，求ED的长．
解：ED的长为.
第六章　图形的变化
第一节　图形的轴对称与中心对称
1．(2016山西中考)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为(　D　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) ,B)
　,C) ,D)
2．(2016郴州中考)下列生态环保标志中，是中心对称图形的是(　B　)
,A)　　,B)　　,C)　　,D)
3．(2016广安中考)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　D　)
,A)　,B)　,C)　,D)
4．(2016潍坊中考)下列科学计算器的按键中，其上面标的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　D　)
,A)　　,B)　　,C)　　,D)
5．(2016宜昌中考)如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是(　A　)
　,A)　,B)　,C)　,D)
6．(2015海南中考)如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为(　B　)
A．(－4，6) B．(4，6)
C．(－2，1) D．(6，2)
7．(2015牡丹江中考)如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为(　B　)
A．(－x，y－2) B．(－x，y＋2)
C．(－x＋2，－y) D．(－x＋2，y＋2)
8．(2016赤峰中考)如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为(　C　)
A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm
9．(2015六盘水中考)将一张正方形纸片按如图①、图②所示的方式对折，然后沿图③中虚线裁剪得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
10．(2016南充中考)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是(　B　)
A．AM＝BM B．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM
,(第10题图))　　　,(第11题图))
11．(2015宁波中考)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为(　A　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
12．(2015扬州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__．
,(第12题图))　　,(第13题图))
13．(2016长沙中考)如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为__13__．
14．(2016玉树模拟)如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为__2__．
15．在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在?ABCD所在的平面内，连接B′D.若△AB′D是直角三角形，则BC的长为__6或4__．
16．(2015哈尔滨中考)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
解：(1)略；(2)重叠部分的面积＝2×4－×2×2＝8－2＝6.
17．(2017中考预测)在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C.平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
解：(1)略；(2)旋转中心的坐标为(，－1)；(3)点P的坐标为(－2，0)．
第三节　视图与投影
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
选择
17
几何体的三视图
判别几何体的俯视图
3
3
2014
选择
18
几何体的三视图
利用几何体三视图标注的数据求几何体侧面积
3
3
2013
选择
18
几何体的三视图
已知一个物体的俯视图，判别其对应的物体
3
3
命题规律
纵观青海省五年中考，投影与视图考查3次，全部以选择题的形式出现，题目较简单是中考的送分题
命题预测
预计2017年青海省中考仍会考查一道与视图有关的选择题
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　三视图(青海3次、西宁4次)
1．(2015青海中考)如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是(　C　)
　　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
2．(2013西宁中考)如图所示的几何体的俯视图应该是(　B　)
　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
3．(2013青海中考)如图是一个物体的俯视图，则它所对应的物体是(　C　)
　,A) 　　,B)
,C) 　　,D)
4．(2012西宁中考)如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小刚准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的俯视图应该是(　A　)
A．两个外切的圆
B．两个内切的圆
C．两个相交的圆
D．两个外离的圆
5．(2014青海中考)如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是(　B　)
A．12π B．15π C．24π D．30π
6．(2016西宁中考)下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是(　B　)
,A) ,B) ,C) ,D)
7．(2015西宁中考)请你写一个在三视图中俯视图和主视图完全相同的几何体__球体(答案不唯一)__．
　立体图形的展开与折叠(青海0次、西宁1次)
8．(2014西宁中考)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是(　B　)
A．钓 B．鱼 C．岛 D．中
,中考考点清单)
　投影
平行投影
由平行光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影
正投影
投影线垂直照射在投影面上的物体投影叫做正投影
中心投影
由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影
　几何体的三视图
1．一个几何体的正投影，又叫做这个几何体的视图．从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图．
2．三种视图的关系
(1)主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽．
(2)在画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等，看得见的轮廓线要画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线．
3．常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
　　4.常见几何体的体积和面积的计算公式
名称几何体
体积
表面积
正方体
①__a3__
6a2
长方体
abc
②__2(ab＋bc＋ac)__
三棱柱
h·S底面
2S底面＋h·C底长
圆锥
πr2h
πr2＋πlr
(l为母线长)
圆柱
πr2h
2πr2＋2πrh
球
πR3
4πR2
【方法技巧】要求解几何体的体积或面积，就要先确定几何体的形状：1.由三视图确定出实物的形状和结构；2.由部分特殊图确定出实物的形状和结构．
　立体图形的展开与折叠
5．常见几何体的展开图
常见几何体
展开图
图示(选其一种)
两个圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
两个全等的三角形和三个矩形
　　6.正方体表面展开图的类型
一四一型
二三一型
三三型　
二二二型　
【警示】由上面几个展开图可以看出，不会出现两种形式的图形即“凹”字型和“田”字型．如下面2个图形：
图①与图②两种形式不是正方体的表面展开图．
7．立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆的过程．
中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　几何体的三视图
【例1】(2016江西中考)有两个完全相同的长方体，按如图所示的方式摆放，其主视图是(　　)
　　,A) 　,B)
,C) 　,D)
【解析】看得见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示，由主视图定义可知C是正确的．
【学生解答】C
1．(2016金华中考)从一个棱长为3的大立方体挖去一个棱长为1的小正方体，得到的几何体如图所示，是该几何体的左视图正确的是(　C　)
,A)　,B)　,C)　,D)
2．(2016宜昌中考)将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是(　A　)
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
3．(2016山西中考)如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是(　A　)
,A)　 ,B)　 ,C)　 ,D)
　与三视图有关的计算
【例2】(2015扬州中考)如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方体的体积是________cm3.
【解析】观察其视图知：该几何体为长方体，且长方体的长为3，宽为2，高为3，故其体积为：3×3×2＝18.
【学生解答】18
4．(2016呼和浩特中考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　D　)
A．4π B．3π C．2π＋4 D．3π＋4
(第4题图)
　　　(第5题图)
5．(2016益阳中考)如图是一个圆柱的三视图，由图中数据计算此圆柱的侧面积为__24π__．(结果保留π)
　图形的展开与折叠
【例3】(2016河北中考)图(1)和图(2)中所有的正方形都全等，将图(1)所示的正方形放在图(2)中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
【解析】如图，当正方形放在①的位置时，若⑦是正方形的下面，则⑥是左面，⑤是上面，⑧是前面，①和⑨都是右面，此时没有后面，不能围成正方体，故选A.
【学生解答】A
6．(2016深圳中考)把下面图形折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是(　C　)
A．祝 B．你 C．顺 D．利
(第6题图)
　　　(第7题图)
7．(2016连云港中考)如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是(　D　)
A．丽 B．连 C．云 D．港
第三节　视图与投影
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
1．(2016东营中考)从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是(　B　)
　　　,A)　　　　,B)
,C)　　　　,D)
2．(2016临沂中考)如图，一个空心圆柱体，其主视图正确的是(　B　)
　,A)　,B)　,C)　,D)
3．(2016泰州中考)如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是(　D　)
,A) ,B)
,C) ,D)
4．(2016德州中考)图中三视图对应的正三棱柱是(　A　)
　　　,A)　　　　　　,B)
,C) ,D)
5．(2016自贡中考)如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是(　B　)
　　,A)　　　　　,B)
,C) ,D)
6．(2016潍坊中考)如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是(　C　)
　　　,A)　　　　,B)
,C)　　　　,D)
7．(2015杭州中考)已知某几何体的三视图(单位：cm)，则该几何体的侧面积等于
(　B　)
A．12π cm2
B．15π cm2
C．24π cm2
D．30π cm2
8．(2016遵义一中二模)如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是(　B　)
A．主视图的面积为5
B．左视图的面积为3
C．俯视图的面积为3
D．三种视图的面积都是4
第二节　平移与旋转
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
选择
20
三角形的旋转
利用一副三角板旋转，结合等腰三角形和直角三角形求角
3
3
2014
选择
14
三角形的旋转
利用旋转的性质求角
3
3
2013
填空
10
三角形的旋转
利用平面直角坐标系中三角形的旋转，求点的坐标
2
2
命题规律
纵观青海省五年中考，平移与旋转考查的次数较少，且属于基础题
命题预测
预计2017年青海省中考可能会考查旋转的综合应用，应注意强化训练
,青海省(西宁)五年中考真题)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　平移与旋转(青海3次、西宁3次)
1．(2012西宁中考)如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是(　D　)
A．45° B．120° C．60° D．90°
(第1题图)
　　　(第2题图)
2．(2014青海中考)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(　C　)
A．15° B．60° C．45° D．75°
3．(2013青海中考)如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，若点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为__(－b，a)__．
(第3题图)
　　　(第4题图)
4．(2013西宁中考)如图是两块完全一样的含30角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，则此时两直角顶点C、C1的距离是__5__.
5．(2016西宁中考)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，若AE＝1，则FM的长为____．
,中考考点清单)
　图形的平移
1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3．性质：
(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等；
(2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；
(3)平移前后的图形全等．
4．作图步骤：
(1)根据题意，确定平移的方向和平移距离；
(2)找出原图形的关键点；
(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
　图形的旋转
5．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
6．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__．
7．性质：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前后的图形全等．
8．作图步骤：
(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
(2)找出原图形的关键点；
(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
(4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
,中考重难点突破)
　　　　　　 　　　　　 　　　　
　图形平移
【例1】如图，已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA个长度得到△EFA.
(1)求四边形CEFB的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BEC＝15°，求AC的长．
【学生解答】解：(1)四边形CEFB的面积为9；(2)BE⊥AF，理由略；(3)AC＝2.
1．(2016广州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝4 cm，将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长是__13__cm.
2．(2014济南中考)如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__4或8__．
3．(2016安徽中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.
略
　图形旋转的相关计算
【例2】如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．
(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
【解析】(1)证△B′AD≌△C′AE；(2)由于DB′∥AE，根据平行线的性质得到∠B′DA＝∠DAE＝90°，又因为AD＝AB＝AB′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB′D＝30°，利用互余即可得到旋转角∠B′AD的度数．
【学生解答】解：(1)DB′＝EC′.证明略；(2)旋转角α的度数为60°.
4．(2016岳阳中考)数学活动——旋转变换
,图(1)) ,图(2)) ,图(3))
(1)如图(1)，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C′，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
(2)如图(2)，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以点A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
②连接A′B，求线段A′B的长度；
(3)如图(3)，在△ABC中，∠ABC＝α(90°＜α＜180°)，AB＝m，BC＝n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以点A′为圆心，A′B′长为半径作圆．当角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m，n所组的式子表示)
解：(1)∠A′B′B＝65°；(2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．证明：由旋转得∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB＝CB′，∠BCB′＝60°，∴∠BB′C＝(180°－∠BCB′)＝60°，∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即BB′⊥A′B′，∴直线BB′与⊙A′相切；②由旋转得A′B′＝AB＝3，B′C＝BC＝5，∠BCB′＝60°，∴△BCB′为等边三角形，∴BB′＝BC＝5.在Rt△A′B′B中，A′B＝＝；(3)满足条件：α＋β＝180°，理由如下：在△BB′C中，∠BB′C＝＝90°－β，∴∠A′B′B＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°，∵α＋β＝180°，∴∠A′B′B＝90°，即BB′⊥A′B′，∴直线BB′与⊙A′相切．过点C作CD⊥BB′于点D，∠B′CD＝∠BCB′＝β，在Rt△B′CD中，B′D＝B′C·sinβ，由α＋β＝180°得到△A′B′B为直角三角形，∴A′B＝＝＝.
5．(2016成都中考)如图(1)，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.
,图(1)) ,图(2)) ,图(3))
(1)求证：BD＝AC；
(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.
①如图(2)，当点F落在AC上时(点F不与点C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；
②如图(3)，当△EHF由△BHD绕点H逆时针旋转30°时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵∠ABC＝45°，AH⊥BC，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH＝AH，∠BHD＝∠AHC＝90°，又DH＝CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC；(2)①过点H作HM⊥AE交AE于点M，在Rt△AHC中，∵tanC＝3，∴＝3.∴BH＝AH＝3CH，∴BC＝4，又∵BH＋CH＝4CH＝4，∴CH＝1，BH＝3，由旋转的性质可以得到，HE＝BH＝AH＝3，HF＝HC＝1，∠EHF＝∠AHC＝90°，∴∠EHA＝∠FHC，∴∠EAH＝∠C，AM＝EM，tan∠EAH＝tanC＝3，设AM＝x，HM＝3x，在Rt△AHM中，AH2＝AM2＋HM2，∴x＝，∴AE＝2AM＝2x＝；②EF＝2CH，设AH交CG于点N，由旋转的性质可以得到HE＝HA，HF＝HC，∵旋转角为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，∴∠FCH＝∠GAH＝30°，∴△ANG∽△CNH，∴∠AGN＝∠CHN＝90°，＝，∴＝＝，又∵∠GNH＝∠AHC，∴△GNH∽△ANC，∴＝＝，∴＝＝2，∴EF＝2GH.
第二节　平移与旋转
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
1．(2016舟山中考)如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是(　B　)
A．(，1) B．(1，－)
C．(2，－2) D．(2，－2)
2．(2016临沂中考)如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论：
①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是(　D　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(第2题图)
　　　(第3题图)
3．(2016河南中考)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(　B　)
A．(1，－1) B．(－1，－1)
C．(，0) D．(0，－)
4．(2016遵义红花岗二模)如图，点O，A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　C　)
A．30° B．45° C．90° D．135°
,(第4题图))　　,(第5题图))
5．(2016锦州中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝____．
6．(2016泰安中考)如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O分斜边AB为BO∶OA＝1∶，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC＝__105°__．
,(第6题图))　　　,(第7题图))
7．(2017中考预测)如图，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为__2－__.
8．(2016湘潭中考)如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是__60°__．
(第8题图)
　　　(第9题图)
9．(2017中考预测)如图，线段OA垂直射线OB于点O，OA＝4，⊙A的半径是2.将OB绕点O沿顺时针方向旋转，当OB与⊙A相切时，OB旋转的角度为__60°或120°__．
10．(2016巴中中考)如图，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，△EFG是以A点为中心的等边三角形，P为△EFG边上的任意一点，连接CP，把CP绕点C顺时针旋转90°到CQ的位置，连接BQ.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)随着P点运动，其对应点Q也随着运动，请说出Q点运动所形成图形的具体形状、位置；
(3)当点P在边AB上，且CP＝5时，直接写出P与Q两点之间的距离．
解：(1)∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠PCA＝∠BCQ，∵AC＝BC，PC＝QC，∴△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ；(2)Q点运动所形成的图形是和△EFG全等的等边三角形，其中心为B，是△EFG绕点C旋转90°得到的；(3)PQ＝5.
11．(2016昆明中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
略
12．(2016吉林中考)(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；
(2)如图(2)，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3)如图(3)，在图(2)的基础上，连接B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．
解：(1)平行；
(2)C1B1∥BC.理由如下：如图，过C1作C1E∥B1C，交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB，由旋转的性质知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，∴∠C1BC＝∠C1EB，∴C1B＝C1E，∴C1E＝B1C，∴四边形C1ECB1是平行四边形，∴C1B1∥BC；(3)6.
13．(2015昆明中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长．(结果保留根号和π)
解：(1)△A1B1C1如图所示， 点A1的坐标为(2，－4)；(2)△A2BC2如图所示；(3)BC＝＝，∴C点旋转到C2点所经过的路径长为＝.
阶段测评(六)　图形的变化
(时间：45分钟　总分：100分)
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．(2017中考预测)下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是(　A　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　
,A) 　,B) 　,C) 　,D)
2．(2016湖州中考)由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(　A　)
　　,A)　　　　,B)
,C) ,D)
3．(2016绍兴中考)我国传统建筑中，窗框[如图(1)]的图案玲珑剔透，千变万化，窗框一部分如图(2)，它是一个轴对称图形，其对称轴有(　B　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．(2016茂名中考)如图是某几何体的三视图，该几何体是(　D　)
A．球
B．三棱柱
C．圆柱
D．圆锥
5．(2016青岛中考)如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　A　)
A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)
6．(2016资阳中考)如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是(　C　)
　,A)　　　,B)　　　,C)　　　,D)
7．(2016大庆中考)由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有(　B　)
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．(2016海南中考)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为(　D　)
A．6 B．6 C．2 D．3
(第8题图)
　　　(第9题图)
9．(2016黄石中考)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(　B　)
A．50° B．100° C．120° D．130°
10．(2016湖州中考)如图(1)，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图(2)，在底边BC上取一点D，连接AD，使得∠DAC＝∠ACD.如图(3)，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连接BE，得到四边形ABED.则BE的长是(　B　)
A．4 B. C．3 D．2
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．(2016西宁虎台中学模拟)如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是__24__cm3.
,(第11题图))　　　,(第12题图))
12．(2016青海湟川中学模拟)如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为__(0，1)__．
13．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A(－2，1)，B(1，3)，将线段AB经过平移后得到线段A′B′.若点A的对应点为A′(3，2)，则点B的对应点B′的坐标是__(6，4)__．
14．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为__10__．
三、综合题(40分)
15．(12分)如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形．(即三角形的顶点都在格点上)
(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)、(2)变换的路径总长．
解：(1)略；(2)略；(3)∵B→B1的路径长为：BB1＝＝3，B1→B2的路径长为：＝＝π，∴B→B2的路径长为：BB1＋＝3＋π.
16．(14分)(2016绍兴中考)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)．已知点A的坐标为(1，0)．
(1)分别写出点A经1次、2次斜平移后得到的点的坐标．
(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C.
①若A，B，C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n的值．
略
17．(14分)(2016十堰中考)如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴GE＝EC，∴GF＝EC，又∵GF∥EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；(2)如图(1)，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE，∴CE＝CD＝DG，∵DG∥CE，∴四边形CEGD是矩形，∴CE＝CD＝AB＝3；如图(2)，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2，∴CE＝5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.
图(1)
　　图(2)

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