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专题15　圆周运动有关问题的分析
题组1　圆周运动的运动学分析(ω、v、a同轴，常见传动装置)
1．如图1所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶图1
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
2．如图2所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；图2
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
3．如图3所示为A、B两物体(可看作质点)做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知(　　)
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变图3
C．A物体运动的线速度与半径成正比
D．B物体运动的角速度与半径成正比
4．如图4所示，在半径为R＝2米的水平圆盘中心O的正上方高h＝0.8米处水平抛出一个小球，圆盘做匀速转动，当圆盘半径OB转到与小球水平初速度方向平行时，小球开始抛出，圆盘转动了一圈，小球刚好落到圆盘上，且落点为B，则小球的初速度为________，圆盘转动的角速度为________．图4
题组2　圆周运动的动力学分析(向心力＝合外力)
5．如图5所示，小物块放在水平转盘上，随盘同步做匀速圆周运动，则下列关于物块受力情况的叙述中正确的是(　　)
A．受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用图5
B．摩擦力的方向始终指向圆心O
C．摩擦力的方向始终与线速度的方向相同
D．静摩擦力提供使物体做匀速圆周运动的向心力
6．小球m用线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图6所示，如果减少M的重量，则小球m的轨道半径r、角速度ω、线速度v的大小变化情况是(　　)
A．r不变，v变小 B．r增大，ω减小图6
C．r减小，v不变 D．r减小，ω不变
7．如图7所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员(　　)图7
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为g D．向心加速度为2g
8．在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化成如图8所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离为L＝80m，铁索的最低点离A、B连线的垂直距离为H＝8m，若把铁索看做是圆弧，已知一质量m＝52kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时的速度为10m/s，那么(　　)
图8
A．人在整个铁索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得铁索的圆弧半径为100m
C．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为570N
D．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为50N
题组3　圆周运动的临界问题(无支撑物的)

9．如图9所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时(　　)
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0图9
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
10．如图10所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°(g取10m/s2)，求：
(1)小球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；
(2)当角速度为3rad/s时，两绳拉力分别为多大．图10
题组4　圆周运动的临界问题(有支撑物的)
11．如图11所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是(　　)
A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零
B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零图11
C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力不可能为零
D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力
12．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速公路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(取g＝10 m/s2)
13．如图12所示，A、B、C三个物块放在水平的圆盘上，它们的质量关系是mA＝2mB＝2mC，它们与转轴的距离的关系是2rA＝2rB＝rC，三个物块与圆盘表面的动摩擦因数都为μ，且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当圆盘转动时，A、B、C都没有滑动，则下列判断正确的是(　　)图12
A．C的向心加速度最大
B．B受的摩擦力最小
C．当圆盘转速增大时，B比A先滑动
D．当圆盘转速增大时，C比B先滑动
题组5　实际问题模型化(圆锥摆模型、拱形桥问题、水流星问题、航天器中的失重现象)
14．如图13所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于小球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的变量与小球在最高点时的速度大小关系，正确的是(　　)
A．杆的形变量越大，小球速度一定越大图13
B．杆的形变量越大，小球速度一定越小
C．杆的形变量为零，小球速度一定不为零
D．小球速度为零，杆可能无形变
15.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图14所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)(　　)
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出图14
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N
16．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图15所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动图15
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小

17．如图16所示，用长为L的细线拴一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向间的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A．小球受重力、线的拉力和向心力三个力的作用图16
B．向心力是细线的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力等于细线对小球拉力的竖直分量
D．向心力的大小等于mgtanθ
18．如图17所示，“旋转秋千”装置中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．A的角速度比B的大图17
B．A的速度比B的大
C．A与B的向心加速度大小相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

答案解析
1．AD　[板上A、B两点绕同一个转轴转动，所以具有相同的角速度．角速度之比ωA：ωB＝1∶1，A正确，B错误；根据几何关系得板上A、B的轨道半径之比为1∶，所以线速度之比vA：vB＝1∶，C错误，D正确；故选A、D.]
2．(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1
解析　(1)令vA＝v，由于皮带转动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
3．A　[A为双曲线的一个分支，知A的向心加速度与半径成反比，根据a＝知，A的线速度不变；B为过原点的倾斜直线，知B的向心加速度与半径成正比，根据a＝rω2知，B的角速度不变；A正确，B、C、D错误；故选A.]
4．5m/s　5π rad/s
解析　由h＝gt2得，t＝＝0.4s.
则初速度v0＝＝m/s＝5 m/s，
圆盘的角速度ω＝＝rad/s＝5π rad/s.
5．BD　[小物块受到重力、支持力和静摩擦力三个力，向心力是物体做圆周运动所需要的力．故A错误．物块做圆周运动所需要的向心力由静摩擦力提供，向心力的方向指向圆心，所以静摩擦力的方向指向圆心．故B、D正确，C错误．故选B、D.]
6．B　[小球在砝码的重力作用下，在光滑水平面上做匀速圆周运动．砝码的重力提供向心力，当砝码的重量减小，此时小球所需向心力大于砝码的重力，从而做离心运动，导致半径变大．当再次出现砝码的重力与向心力相等时，小球又做匀速圆周运动．由于半径变大，而向心力大小变小，则线速度大小可不变、可变大、也可变小，故A、C均错误；由于半径变大，而向心力大小变小，则角速度减小，B正确，D错误．]
7．BC　[女运动员做圆锥摆运动，对女运动员受力分析可知，受到重力、男运动员对女运动员的拉力，如图所示，竖直方向合力为零，由Fsin30°＝G，解得：F＝2G，故A错误，B正确；水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力，有Fcos30°＝ma向即2mgcos30°＝ma向，所以a向＝g，故C正确，D错误．]
8．C　[人借助滑轮下滑过程中，其速度是逐渐增大的，因此人在整个铁索上的运动不能看成匀速圆周运动；设圆弧的半径为r，由几何关系，有：(r－H)2＋()2＝r2，解得r＝104m；人在滑到最低点时，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝m，解得FN＝570N，选项C正确．]
9．CD　[小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，由mg＝m得，v＝，故选C、D.]
10．(1)2.4rad/s≤ω≤3.16 rad/s
(2)FTAC≈0.27N　FTBC≈1.08N
解析　(1)当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC绳处于松弛状态．当ω逐渐增大到AC与轴的夹角为30°时，BC才会被拉直(这是一个临界状态)，但BC绳中的张力仍然为零．设此时的角速度为ω1，则
FTACcos30°＝mg，
FTACsin30°＝mωLsin30°，
将已知条件代入上式解得ω1≈2.4rad/s，
当角速度ω继续增大时，FTAC减小，FTBC增大．设角速度达到ω2时，FTAC＝0(这又是一个临界状态，角速度再增大就会导致AC绳处于松弛状态)，则
FTBCcos45°＝mg，
FTBCsin45°＝mωLsin30°，
将已知条件代入上式解得ω2≈3.16rad/s，
所以当ω满足2.4rad/s≤ω≤3.16 rad/s时，AC、BC两绳始终张紧．
(2)本题所给条件为ω＝3rad/s，此时两绳拉力FTAC、FTBC都不为零．
FTACsin30°＋FTBCsin45°＝mω2Lsin30°，
FTACcos30°＋FTBCcos45°＝mg，
将数据代入上面两式解得FTAC≈0.27N，FTBC≈1.08N.
11．B　[若连接体是轻质细绳，小球在最高点的最小速度为，此时细绳拉力为零，A、C错误；若连接体是轻质细杆，小球刚好到达P点的速度为零，B正确；如果小球在最高点P的速度为，细杆拉力为零，如果v>，细杆的作用力为拉力，如果v<，细杆的作用力为推力，小球在最低点Q时受到细杆的拉力作用，D错误．故选B.]
12．150m　90m
解析　汽车在水平路面上拐弯，做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的最大静摩擦力，有m<0.6mg
由速度v＝108km/h＝30 m/s，得半径r>150m；
汽车过圆弧拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，
到达最高点时，
有m＝mg－FN
为了保证安全，车对路面的压力FN必须大于零．
有m则R>90m.
13．ABD　14.C
15．B　[“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.]
16．AC
17．BD　[小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示．小球受重力和绳子的拉力，由于它们的合力总是指向圆心并使得小球在水平面内做圆周运动，即向心力是重力和拉力的合力，故A错误，B正确；根据几何关系可知：F向＝mgtanθ，C错误，D正确．故选B、D.]
18．D　[当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，二者的角速度ω相等，选项A错误．由v＝ωr可知，A的速度比B的小，选项B错误．由a＝ω2r可知aA

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