资源简介

高一年级寒假课程学习效果验收考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级和学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有(　　)
A．2个 B．4个
C．8个 D．16个
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
3．如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)
A．3 B．－
C．－3 D.
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
5．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是(　　)
A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)
C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)
6．已知f(x)＝则f{f[f(－2)]}的值为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．8
7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是(　　)
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
8．比较1.5、23.1、2的大小关系是(　　)
A．23.1＜2＜1.5 B．1.5＜23.1＜2
C．1.5＜2＜23.1 D．2＜1.5＜23.1
9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的(　　)
A. B.
C. D.
10．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
11．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
12．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是(　　)
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A．90° B．60°
C．45° D．30°
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的范围是________．
14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α， ( http: / / www.21cnjy.com )则b∥α；②若a∥α，b α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
15．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝______.
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{x||x－a|<4}，B＝{x|x2－4x－5＞0}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
18．(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
19．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
20．(12分)已知f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函数解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
21．(12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝.
(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.
22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E－ABC的体积．
详解答案
1．B　[由题意知A＝{0}或A＝{0，－1}或A＝{0,1}或A＝{－1,0,1}，共4个．故选B.]
2．A　[A中f(x)＝是偶函数，且在( ( http: / / www.21cnjy.com )－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．]
3．C　[由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C.]
4．C　[正方形的对角线长为x，从而外接圆半径为y＝×x＝x.]
5．A　[设f(x)＝lg ( http: / / www.21cnjy.com )x－x＋1，f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f(0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，
f(0.1)f(0.2)<0.]
6．C　[∵－2<0，∴f(－2)＝0，
∴f[f(－2)]＝f(0)＝2>0，
f{f[f(－2)]}＝f(2)＝4.故选C.]
7．B　[设职工原工资为p，平均增长率为x，则p(1＋x)6＝8p，x＝－1＝－1＝41%.]
8．D　[∵1.5＝1.5－3.1＝()3.1，
2＝2－3.1＝()3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，＜＜2，
∴()3.1＜()3.1＜23.1，故选D.]
9．A　[如图所示的过球心的截面图，
r＝＝R，
＝＝.]
10．D　[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]
11．B　[利用截面圆的性质先求得球的半径长．
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，
∴OM＝＝，
即球的半径为，
∴V＝π()3＝4π.]
12．A　[连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
INCLUDEPICTURE "../../../475.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "475.TIF" \* MERGEFORMAT
则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝a，
所以∠B′DC＝90°.]
13．(－∞，)
解析　D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4m＞0，得m<.
14．④
解析　①中b可能在α内；②a与b可能异面或者垂直；③a可能与α内的直线异面或垂直．
15.或－1
解析　当a＞0时，log2a＝，则a＝；当a≤0时，2a＝，则a＝－1.
16．24
解析　由俯视图可以判断该几何体的底面为 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝×4×3×5＝30，V棱锥P－A1B1C1＝S△A1B1C1·PB1＝××4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.
INCLUDEPICTURE "../../../-231.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "-231.TIF" \* MERGEFORMAT
17．解　(1)当a＝1时，
A＝{x||x－1|<4}＝{x|－3x2－4x－5＞0 x<－1或x＞5，
则B＝{x|x<－1或x＞5}．A∩B＝{x|－3(2)根据题意，得A＝{x|a－4B＝{x|x<－1或x＞5}，
若A∪B＝R，则有，
解可得118．解　(1)令x＝0，得y＝a－2.
令y＝0，得x＝(a≠－1)．
由a－2＝，解得a＝2，或a＝0.
∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2.
∵l不过第二象限，∴
∴a≤－1.∴a的取值范围为(－∞，－1]．
19．解　(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，
∴设切线方程为x＋y＝a(a≠0)，
又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆的半径，
∴＝ a＝－1，或a＝3，则所求切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
∴2x1－4y1＋3＝0，
∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0.
|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝.此时P点的坐标为(－，)．
20．解　(1)∵f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，∴f(0)＝0，
即f(0)＝－＝1－a＝0.∴a＝1.
设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.
(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴设t＝2x(t＞0)，则f(t)＝t－t2.
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
21．证明　(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，
所以△A1AC为等边三角形．所以A1C＝1.
因为BC＝1，A1B＝，所以A1C2＋BC2＝A1B2.
所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.
因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC 平面A1BC，
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2) 连接AC1交A1C于点O，连接OD.
因为ACC1A1为平行四边形，
所以O为AC1的中点．
因为D为AB的中点，
所以OD∥BC1.
因为OD 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
22．(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB 平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明　取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．
所以C1F∥EG.
又因为EG 平面ABE，C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1
＝×××1×2＝.

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