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专题1　集合的概念及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示：列举法、描述法．
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B (或B?A)．
(2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B (或B?A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
(4)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
3．集合的基本运算及其性质
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}，U为全集．
(4)集合的运算性质．
例1　已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
变式训练1　设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
例2　已知集合A＝{x∈R|－8≤x－4≤1}，B＝{x|2x≥}，则集合A∩B＝________.
变式训练2　若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)
A．{x|－1≤x<0} B．{x|0C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1变式训练3　已知集合A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝{x|1A级
(以下3个小题考查的是集合的概念及运算．基本方法是先化简集合，使集合元素具体化，然后利用数轴或Venn图进行运算)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B等于(　　)
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
2．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于(　　)
A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}
3．设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是(　　)
A．10B．11C．20D．21
(第4题要理解集合中代表元素的几何意义，使集合元素具体化)
4．已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于(　　)
A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[1,2) D．[－1,2)
5．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|06．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
7．已知集合A＝{3,4,5,12,13}，B＝{2,3,5,8,13}，则A∩B＝________.
B级
8．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则?AB等于(　　)
A．{4,8} B．{0,2, 6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
(第9题考查集合的概念，首先要理解集合B中代表元素的意义)
9．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1B．3C．5D．9
(第10题化简集合，将集合具体化是解决本题的关键)
10．已知全集为R，集合A＝{x|()x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(?RB)等于(　　)
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|011．已知集合A＝{－1，a}，B＝{2a，b}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝________.
12．已知集合A＝{1,2，a＋1}，B＝{－1,3，a2＋1}，若A∩B＝{2}，则实数a的值是________．
(第13题先解不等式，再根据集合相等、集合交集等意义求解)
13．设全集U＝R，A＝{x|<0}．
(1)求?UA；
(2)若B＝{x|2a14．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y＝x2－x＋，0≤x≤3}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(?RA)∩B.
详解答案
典型例题
例1　－
解析　因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不合乎题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3合乎题意．
所以m＝－.
变式训练1　1
解析　若a＋2＝3，a＝1，检验此时A＝{－1，1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．
若a2＋4＝3，无解．
故a＝1.
例2　{x|－2≤x≤5}
解析　解不等式组得A＝[－4,5]，
又由初等函数的单调性得B＝[－2，＋∞)，
所以A∩B＝[－2,5]．
变式训练2　B　[∵A＝{x|－1≤x≤1}，
B＝{x|0∴A∩B＝{x|0例3　解　当B＝?时，有m＋1≥2m－1，
得m≤2，
当B≠?时，有
解得2综上：m≤4.
变式训练3　解　∵A∩B＝{x|1又A∪B＝{x|x>－2}，∴－2∴a＝－1.
强化提高
1．D　[由x2<9解得－32．D　[M＝{x|x＝0或x＝－2}＝{0，－2}，N＝{0,2}，∴M∪N＝{－2,0,2}．]
3．C　[∵A∪B＝{x|x∈Z且－15≤x<5}＝{－15，－14，－13，…，1,2,3,4}，
∴A∪B中共20个元素．]
4．A　[M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}．]
5．{1}
解析　A∩B＝{－1,0,1}∩{x|06．{1}
解析　由x2＋x－2＝0，
得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
7．{3,5,13}
解析　作出Venn图如图，故A∩B＝{3,4,5,12,13}∩{2,3,5,8,13}＝{3,5,13}．
8．C　[A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴?AB＝{0,2,6,10}．]
9．C　[x－y∈.]
10．C　[A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，
∴A∩(?RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}＝{x|0≤x<2或x>4}．]
11．{－1,1,2}
解析　由A∩B＝{1}，
得1∈A，a＝1,2a＝2，所以b＝1.
故A∪B＝{－1,1,2}．
12．－1
解析　因为A∩B＝{2}，所以2∈B，于是由a2＋1＝2，得a2＝1，解得a＝±1，
当a＝1时，a＋1＝2(舍去)．
当a＝－1时，A＝{0,1,2}，B＝{－1,3,2}满足条件．
所以a＝－1.
13．解　(1)A＝{x|<0}＝{x|x<0}，
∴?UA＝{x|x≥0}．
(2)若2a≥a＋3，即a≥3，则B＝???UA.
若2a需解得0≤a<3.
综上，a的取值范围是{a|0≤a<3}∪{a|a≥3}＝{a|a≥0}．
14．解　A＝{y|ya2＋1}，
B＝{y|2≤y≤4}．
(1)当A∩B＝?时，
∴≤a≤2或a≤－.
(2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0，
依题意Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2.
∴a的最小值为－2.
当a＝－2时，A＝{y|y<－2或y>5}．
∴?RA＝{y|－2≤y≤5}，
∴(?RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．

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