资源简介

专题2　函数的概念及其表示
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数相等：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．映射的概念
4．区间的分类
开区间、闭区间、半开半闭区间．
5．分段函数
例1　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝，g(x)＝
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
变式训练1　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)y＝1，y＝x0；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝x，y＝；
(4)y＝|x|，y＝()2.
例2　已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－1)，f(7)，f(a－2)(a>0，且a≠3)的值．
变式训练2　已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(2)－f()的值．
例3　已知某广告公司某年的1至6月份的经济收入如下：1月份为10000元，从2月份起每月的收入比上一个月多5000元，用表格、图象、解析式三种形式表示该公司1至6月份的收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出函数的定义域、值域、对应关系．
变式训练3　某商场新进了8台彩电，每台售价3000元，试求出售台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
例4　若f(2x－1)＝x2，求f(x)．
变式训练4　若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)．
A级
(以下3个小题考查的是函数的基本概念．理解函数的有关概念是解决下列问题的关键)
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(　　)
A．真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间
B．正方形边长和面积
C．正n边形边数和顶点角度之和
D．人的年龄和身高
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)
B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3．下列说法中，不正确的是(　　)
A．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是(　　)
A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7
5．已知函数f(x)＝则满足方程f(a)＝1的所有a的值组成的集合为________．
6．函数y＝＋的定义域为________________．
(第7题要掌握求函数的解析式的方法，比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等)
7．已知f(－1)＝x＋2，则f(x)＝________________.
B级
8．设f(x)＝g(x)＝
则f[g(π)]的值为(　　)
A．1B．0C．－1D．π
9．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
(第10题是求抽象函数的定义域，求解关键是理解函数自变量的定义)
10．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，－)
C．(－1,0) D．(，1)
(第11题考查映射的概念和应用，需要透彻理解映射的概念．)
11.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象，那么这样的映射有________个．
12．已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(x)]≥1的解集为________________．
(第13题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或方程，再求解．)
13．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
详解答案
典型例题
例1　解　对于(1)，A中，两个函数的解析式不同，故不表示同一函数；
对于(2)，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；
对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数．
变式训练1　解　(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
∴它们不是同一函数．
(2)y＝·的定义域为
{x|x≥2}，
y＝的定义域为{x|x≥2或x≤－2}，
∴它们不是同一函数．
(3)y＝x，y＝＝t，它们的定义域和对应关系都相同，
∴它们是同一函数．
(4)y＝|x|的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，
∴它们不是同一函数．
例2　解　(1)要使函数有意义，只须，
解得x≥－2，且x≠1，
∴原函数的定义域为{x|x≥－2且x≠1}．
(2)f(－1)＝＋＝，f(7)＝＋＝，
f(a－2)＝＋＝＋.
变式训练2　解　(1)要使函数有意义，只须x≠－1即可，
∴原函数的定义域为{x|x≠－1}．
(2)f(2)－f()＝－＝.
例3　解　依据题意，该公司1到6月份收入为：10000元，15000元，20000元，30000元，35000元．
(1)表格形式如下表：
(2)函数图象形式如图．
(3)解析式形式为：
y＝5000(x＋1)(1≤x≤6，x∈N*)
其定义域为{x|1≤x≤6，x∈N*}，值域为{10000,15000,20000,25000,30000，35000}，对应关系是：x→y＝5000(x＋1)．
变式训练3　解　(1)列表法：
(2)图象法：
(3)解析式形式为：
y＝3000x(1≤x≤8，x∈N*)．
例4　解　∵f(2x－1)＝x2，
∴令t＝2x－1，则x＝，
∴f(t)＝2，∴f(x)＝2.
变式训练4　解　∵f(x＋1)＝2x2＋1，
∴令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，
∴f(x)＝2x2－4x＋3.
强化提高
1．D　[A由物理知识知，自由落体运动物体的下落距离h和下落时间t满足h＝gt2(t>0)．
B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，
C中任意的正n边形边数(n≥3)总对应唯一的顶点角度之和((n－2)180°)，故A，B，C均为函数关系，而D中的任意一个年龄对应的身高不唯一，故而不是函数关系，故选D.]
2．C　[要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x>0，
解得x>1或x<0.
所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
(－∞，0)∪(1，＋∞)．]
3．B
4．B　[∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.]
5．{3,0}
解析　当a>0时，由log3a＝1，解得a＝3>0，符合题意，当a≤0时，由()a＝1，解得a＝0，符合题意，综上所述，a＝0或a＝3.
6．{x|x≥－1且x≠2}
解析　若使该函数有意义，则有，
∴x≥－1且x≠2，∴其定义域为{x|x≥－1且x≠2}.
7．x2＋4x＋3(x≥－1)
解析　令t＝－1(t≥－1)，
则x＝(t＋1)2，
所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)
＝t2＋4t＋3(t≥－1)，
所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
8．B
9．C　[排除法．考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C.]
10．B　[∵原函数的定义域为(－1,0)，
∴－1<2x＋1<0，解得－1∴则函数f(2x＋1)的定义域为(－1，－)．故选B.]
11．14
解析　∵集合A中的元素1,2,3,4各有2种对应情况，
∴映射f：A→B的个数是2×2×2×2＝16个．
∵集合B中的元素不都是A中元素在f下的象的映射有2个，
∴集合B中的元素都是A中元素在f下的象的映射一共有16－2＝14个．
12．{x|x≥1}
解析　f[f(x)]＝2f(x)－1＝2(2x－1)－1＝4x－3≥1，
∴4x≥4，x≥1，
故f[f(x)]≥1的解集为{x|x≥1}．
13．解　(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为＝12，∴这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3000)元，则租赁公司月收益为
y＝(100－)(x－150)－×50，整理后得：
y＝－＋162x－21000
＝－(x－4050)2＋307050，
∴当x＝4050时，y的最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307050元．

展开更多......

收起↑