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专题3　函数的单调性
1．函数单调性的定义
(1)增函数
(2)减函数
2．函数单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．用定义法证明函数单调性的一般步骤
取值——作差——变形——定号——下结论．
4．求单调区间的方法
定义法、图象法．
5．复合函数y＝f[g(x)]在公共定义域上的单调性
(1)若f与g的单调性相同，则函数f[g(x)]为增函数；
(2)若f与g的单调性相反，则函数f[g(x)]为减函数．
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集．
例1　求证：函数f(x)＝－2x2＋3x－1在区间(－∞，]上是单调递增函数．
变式训练1　求证：函数f(x)＝－2x3－x在R上是单调递减函数．
例2　求下列函数的增区间与减区间：
(1)y＝|x2＋2x－3|；(2)y＝.
变式训练2　求函数f(x)＝的单调区间和值域．
例3　函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
变式训练3　已知函数f(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
A级
1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝cosx
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．不增不减函数 D．既增又减函数
3．函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,2)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)A．[－1,3] B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,3) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．函数f(x)＝(2k－1)x＋1在R上单调递减，则k的取值范围是________．
6．函数f(x)＝的单调递减区间是________．
7．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
B级
8．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
9．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的一个递增区间是(　　)
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
10．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)11．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
12．给出下列命题：
①y＝在定义域内为减函数；
②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上为增函数；
④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
13．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较f与f(a2－a＋1)的大小．
14．设函数f(x)＝－ax，其中a>0.证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调函数．
详解答案
典型例题
例1　证明　对于区间(－∞，]内的任意两个值x1，x2，且x1因为f(x1)－f(x2)
＝－2x＋3x1－1－(－2x＋3x2－1)
＝2x－2x＋3x1－3x2
＝(x1－x2)[3－2(x1＋x2)]，
又x1则x1－x2<0，x1＋x2<，
得3－2(x1＋x2)>0，
故(x1－x2)[3－2(x1＋x2)]<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以，函数f(x)＝－2x2＋3x－1在区间(－∞，]上是单调递增函数．
变式训练1　证明　对于R上的任意两个值x1，x2，且x1因为f(x1)－f(x2)
＝－2x－x1－(－2x－x2)
＝2x－2x＋x2－x1
＝(x2－x1)[2(x2＋x1)2＋x＋1]，
又x1则x2－x1>0,2(x2＋x1)2＋x＋1>0，
得(x2－x1)[2(x2＋x1)2＋x＋1]>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝－2x3－x在R上是单调减函数．
例2　解　(1)令f(x)＝x2＋2x－3
＝(x＋1)2－4.
先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如下图所示．由图象易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．
(2)由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1.
令u＝g(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋1)2＋4.
在x∈[－3，－1]上是单调递增，
在x∈[－1,1]上是单调递减.
而y＝在u≥0上是增函数．
∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1,1]．
变式训练2　解　由－x2＋6x－8≥0，可得x2－6x＋8≤0，
∴2≤x≤4，即函数的定义域为[2,4]，
令g(x)＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，
∴函数g(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)＝的单调增区间为[2,3]，单调减区间为[3,4]，
∵0≤g(x)≤1，∴函数的值域为[0,1]．
例3　解　当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．
当a≠0时，对称轴x＝，
当a>0时，由，得0若a<0时，无解．
∴a的取值范围是0≤a≤1.
变式训练3　解　f(x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x＋1
①当λ＝－1时，f(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函数，
∴λ＝－1满足题意．
②当λ≠－1时，对称轴方程为x＝，
(ⅰ)当λ<－1时，≤－1，
解得λ<－1；
(ⅱ)当λ>－1时，≥1，
解得－1<λ≤0；综上，λ≤0.
强化提高
1．D　[y＝与y＝ln(x＋1)在区间(－1,1)上为增函数；
y＝cosx在区间(－1,1)上不是单调函数；y＝2－x＝x在(－1,1)上单调递减．]
2．B　[∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0?
或
即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数．]
3．C　[∵a>0，∴2－ax在[0,1]上是减函数．
∴y＝logau应为增函数，且u＝2－ax在[0,1]上应恒大于零．
∴，∴14．B　[因为f(x)为R上的减函数，
且f(x2－2x)所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，
解得x<－1或x>3，
所以满足f(x2－2x)5．(－∞，)
解析　因为f(x)＝(2k－1)x＋1在R上单调递减，
所以2k－1<0，解得k<，
所以k的取值范围为(－∞，)．
6．(－∞，－1]
解析　令x2－x－2>0，
得x<－1，或x>2，
∴函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
∵f(x)＝
＝，
∴单调递减区间是(－∞，－1]．
7．m≤－16
解析　由题意，得函数f(x)＝4x2－mx＋5的对称轴x＝≤－2，所以m≤－16.
8．A　[当x＝2时，y＝loga(22＋2×2－3)，
∴y＝loga5>0，∴a>1，
由复合函数单调性知单减区间须满足
，解之得x<－3.]
9．B　[令－210．[1，)
解析　由题意，得
解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
11．(－∞，0)
解析　
函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
且f(x)＝lgx2
＝
函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．
12．3
解析　y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)为减函数，所以①错误；
根据函数y＝(x－1)2的图象可知，函数在(1，＋∞)上是增函数，所以②错误；
根据其函数图象可知，y＝－在(－∞，0)上为增函数，所以③是正确的；
其中④中若k＝0，则命题不成立，④错误．
13．解　a2－a＋1＝2＋≥＞0，
∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.
14．证明　在区间[0，＋∞)上任取x1、x2，使得x1则f(x1)－f(x2)＝－－a(x1－x2)
＝－a(x1－x2)
＝(x1－x2)(－a)．
∵<1，且a≥1，
∴－a<0，
又x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递减函数．

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