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专题4　函数的奇偶性
1．函数的奇偶性定义
对于函数f(x)的定义域内任意一个x：
(1)f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函数．
2．函数的奇偶性的性质
(1)对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；
(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x必须成立；
(3)可逆性：f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函数；
(4)等价性：偶函数：f(－x)－f(x)＝0；奇函数：f(－x)＋f(x)＝0；
(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．分类
奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．
4．函数的奇偶性判断方法与步骤
利用定义判断：(1)定义域是否关于原点对称，(2)数量关系f(－x)＝±f(x)哪一个成立．
例1　判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x＋x3＋x5；
(2) f(x)＝＋.
变式训练1　判断下列函数是否具有奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋1；
(2)f(x)＝x＋1；
(3)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
例2　求函数f(x)＝的奇偶性．
变式训练2　判定函数f(x)＝的奇偶性．
例3　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
变式训练3　已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．
A级
1．函数f(x)＝2x3的图象(　　)
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－B.C.D．－
3．函数f(x)＝x＋(　　)
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于(　　)
A．－3B．－1C．1D．3
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
6．若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝________.
7．奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1＋m)＋f(m)<0，则实数m的取值范围是________．
B级
8．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　)
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
9．已知函数f(x)对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　)
10．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数，则(　　)
A．a·b＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
11．定义在[－2,2]上的奇函数f(x)，当x∈(0,2]时，f(x)＝－x＋1，则不等式f(x)－f(－x)≥2x的解集为________．
12．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
13．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
14．设函数f(x)＝.
(1)判断它的奇偶性；
(2)x≠0，求f()＋f(x)的值；
(3)计算f()＋f()＋f()＋f()＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)的值．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R.
∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
(2)由得x＝－，或x＝.
∴函数f(x)的定义域为{－，}．
又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，
且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
变式训练1　解　(1)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
(2)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R，
∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，
－f(x)＝－(x＋1)，
f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)(x∈R)
∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3?[－1,3]．
∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．
例2　解　函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
变式训练2　解　当x>0时，－x<0
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－f(x)；
当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
例3　解　由f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)＝－f(－x)
＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)；
当x＝0时，f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
变式训练3　解　当x∈(0，＋∞)时，
－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x－x4.
强化提高
1．D　[∵f(x)＝2x3，
∴f(－x)＝2(－x)3＝－2x3＝－f(x)，
故函数f(x)是奇函数，故函数图象关于原点对称，故选D.]
2．B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.]
3．A　[f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
且f(－x)＝－x－＝－(x＋)
＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数，故选A.]
4．A　[∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]
5．4
解析　∵f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)对于任意的x都成立，
即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)，
∴x2＋(a－4)x－4a＝x2＋(4－a)x－4a，
∴(a－4)x＝0，∴a＝4.
6．0
解析　因为奇函数f(x)的定义域[p，q]关于原点对称，
故有p＝－q，即p＋q＝0.
7．(－，1]
解析　∵函数f(x)定义域在[－2,2]上为奇函数，
则由f(1＋m)＋f(m)<0，
可得f(1＋m)<－f(m)＝f(－m)，
又根据条件知函数f(x)在定义域上单调递减，
∴－2≤－m<1＋m≤2，
解可得，－8．A　[f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)＜f(1)＝f(3)．]
9．D　[∵函数f(x)对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，
∴函数f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除A、B，
将y＝lnx的图象向左平移1个单位长度，
即可得到f(x)＝ln(x＋1)的图象，
由对数函数的图象性质排除C，故选D.]
10．C　[若f(x)是奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
即－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b恒成立，
亦即x(|x－a|－|x＋a|)＝2b恒成立，
要使上式恒成立，
只需|x－a|－|x＋a|＝2b＝0，
即a＝b＝0，
故选C.]
11．{x|－2≤x≤－或0≤x≤}
解析　∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
则f(x)－f(－x)＝2f(x)≥2x，
即f(x)≥x，
当x∈(0,2]，f(x)＝－x＋1≥x，
解得0当x＝0时，f(x)＝0≥x，解得x＝0，
当x∈[－2,0)，f(x)＝－x－1≥x，
解得－2≤x≤－，
综上所述：－2≤x≤－或0≤x≤.
12．－－1
解析　∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)
＝－－1.
13．解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)
＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，
解之得－15∴x的取值范围是{x|－1514．解　(1)∵函数的定义域{x|x≠±1}，
f(－x)＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数；
(2)f()＝＝
＝－f(x)，
所以f()＋f(x)＝0.
(3)由(2)可得：f()＋f()＋f()＋f()＋f(0)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝0＋0＋0＋0＋f(0)＝1.

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