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专题5　指数函数
一、指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.当n是奇数时，＝a，当n是偶数时，＝|a|＝.
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)，0的负分数指数幂没有意义，0的正分数指数幂等于0.
3．实数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、指数函数及其性质
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
2．指数函数的图象和性质
例1　求函数y＝的定义域和值域．
变式训练1　求函数y＝的定义域．
例2　已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是________．
变式训练2　比较大小：(1)0.6－，0.6；(2)4.54.5,4.55.
例3　已知函数y＝x2－4x＋1，求函数的单调区间及值域．
变式训练3　求函数y＝3x2－5x－6的单调区间．
A级
1．已知m10＝2，则m等于(　　)
A.B．－C.D．±
(第2,3,4,5题都是指数函数性质——单调性的简单应用，解题时要牢记指数函数图象特征与底数特点．)
2．已知函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)
A．2B．3C．4D．5
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
4．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．若函数f(x)＝(2a＋1)x是减函数，则a的取值范围是________．
6．若10x＝2,10y＝3，则10＝________.
(第7题是求抽象函数定义域，解题时要注意x的作用．)
7．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．
B级
8．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
9．设<()b<()a<1，则(　　)
A．aaC．ab(第10题是求复合函数单调性问题，可以按照求复合函数的单调区间的步骤去做．)
10．函数y＝()1－x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
11．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
(第12题是求函数图象恒过定点问题，解题关键是掌握函数y＝ax图象与函数y＝ax－2013＋2013的图象的关系．)
12．函数y＝ax－2013＋2013(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．
13．化简：÷(1－2)×.
(第14题先确定自变量x的范围，然后根据x的范围和函数的单调性确定值域．)
14．已知2x≤()x－3，求函数y＝()x的值域．
详解答案
典型例题
例1　解　由题意可得1－6x－2≥0，
即6x－2≤1，∴x－2≤0，故x≤2.
∴函数f(x)的定义域是(－∞，2]．
令t＝6x－2，则y＝，
又∵x≤2，∴x－2≤0.
∴0<6x－2≤1，即0∴0≤1－t<1，即0≤y<1.
∴函数的值域是[0,1)．
变式训练1　解　由2x2－4x＋3－1≥0，
即2x2－4x＋3≥1＝20，
得x2－4x＋3≥0，即x≥3或x≤1，
所以定义域为{x|x≥3或x≤1}．
例2　f(cx)≥f(bx)
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函数f(x)的对称轴是x＝1.
故b＝2，又f(0)＝3，∴c＝3，
∴函数f(x)在(－∞，1]上递减，
在[1，＋∞)上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)；
若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．
综上可得f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)．
变式训练2　解　(1)因为y＝0.6x是定义域内的减函数，－<1，
所以0.6－>0.6.
(2)因为y＝4.5x是定义域内的增函数，4.5<5，
所以4.54.5<4.55.
例3　解　令t＝x2－4x＋1，则y＝t.
又t＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，
∴函数y＝x2－4x＋1的单调递减区间为[2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，2]．
又∵x∈R时，t≥－3，
∴0＜y≤－3，即值域为(0,8]．
变式训练3　解　设y＝3u, y关于u递增，而u＝x2－5x－6在x∈上是减函数，在x∈上是增函数，所以y＝3x2－5x－6的单调减区间为x∈，单调增区间为x∈.
强化提高
1．D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.故选D.]
2．A　[当0所以函数在[0,1]端点处取得最大值和最小值，
所以a0＋a1＝3，所以a＝2.
当a>1时，函数y＝ax是增函数，
所以函数在[0,1]端点处取得最小值和最大值，
所以a1＋a0＝3，所以a＝2.]
3．D　[y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝()－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，
且1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.]
4．B　[函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．(－，0)
解析　根据题意可得，0<2a＋1<1，
解得－6.
解析　由10x＝2,10y＝3，得10x＝(10x)＝2，
102y＝(10y)2＝32，∴10＝＝＝.
7．(0,1)
解析　由函数的定义，
得1<2x<2?0所以应填(0,1)．
8．A　[由1－2x≥0得2x≤1，根据y＝2x的图象可得x≤0，选A.]
9．C　[由已知条件得0∴ab10．A　[设t＝1－x，则y＝t，
则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，
即为y＝1－x的递增区间．]
11．[8，＋∞)
解析　当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
12．(2013,2014)
解析　因为函数y＝ax恒过点(0,1)，所以令x－2013＝0解得x＝2013，则y＝2014，所以函数y＝ax－2013＋2013恒过点(2013,2014)．
13．解　原式＝÷
·a
＝··a
＝a·a·a＝a.
14．解　由2x≤()x－3，得2x≤2－2x＋6，
∴x≤－2x＋6，∴x≤2.
∴()x≥()2＝，
即y＝()x的值域为[，＋∞)．

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