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专题8　函数与方程
1．函数零点
(1)概念
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)意义
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(3)求法
①(代数法)求方程f(x)＝0的实数根；
②(几何法)求函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理．
3．二分法
(1)概念
①中点：一般地，我们把称为区间(a，b)的中点；
②二分法．
(2)用二分法求函数零点近似值的基本步骤．
例1　判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
变式训练1　求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x3＋1；(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
例2　已知函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则函数f(x)的零点个数是(　　)
A．0B．1
C．2D．不确定
变式训练2　若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
例3　已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1的两个零点都在(－2,4)内，求实数a的取值范围．
变式训练3　若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
A级
(第1,7题是考查偶函数的性质及零点的概念，解题关键是利用偶函数的对称性．)
1．已知函数f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为(　　)
A．0B．1C．2D．4
2．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(第3题考查的是函数图象与零点的关系，解题关键是将函数图象画出来，然后判断交点个数．)
3．函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)
A．3B．2C．1D．0
(第4题考查的是零点存在性定理，解题方法是将答案一一验证．)
4．方程lgx＋x＝0的根所在的区间可能是(　　)
A．(－∞，0) B．(0.1,1) C．(1,2) D．(2,4)
(第5题考查的是零点的概念，求解方法是直接将零点求出来．)
5．函数f(x)＝的零点个数为________．
6．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________．
7．函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．
B级
8．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．一个 B．两个
C．至少两个 D．无关判断
(第9,12题考查了零点的性质应用，求解方法是利用零点的性质，辅助图象解题．)
9．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(1，＋∞)
C. D.
10．方程2x＝x2的实数根的个数是(　　)
A．1B．2C．3D．无数多
11．方程＋1＝3x的实数解为________．
12．已知函数f(x)＝
若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
13．不用求根公式，求函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1的零点的个数，并比较零点与3的大小．
14．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)方法一　∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝82－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
方法二　令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，x＝－3?[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
(2)方法一　∵f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3∴f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．
方法二　设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．
变式训练1　解　(1)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1，
即函数f(x)＝x3＋1的零点为x＝－1；
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，化得(x＋1)(x－1)(x－2)＝0，解得x＝－1或x＝1或x＝2，
所以函数y＝x3－2x2＋x－2的零点分别为x＝－1或x＝1或x＝2.
例2　C　[因ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.]
变式训练2　A　[∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
例3　解　设函数的两个零点为x1与x2，且－2，
化简得，
解得，
所以实数a的取值范围为－1变式训练3　解　若a＝0，
则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，
即－x－1＝0，得x＝－1，故符合题意；
若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数；
故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0，
解得a＝－.
综上所述a＝0或a＝－.
强化提高
1．A　[因为函数f(x)是偶函数，所以其y轴左右各两个点是关于y轴对称的，则该函数的所有零点之和为0，选A.]
2．C　[Δ＝m2－4>0，m>2或m<－2，应选C.]
3．B　[画出两个函数f(x)，g(x)的图象，
由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.]
4．B　[由于lgx有意义，所以x>0.令f(x)＝lgx＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点．]
5．2
解析　当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以函数f(x)有两个零点．
6．(－∞，0]∪{1}
解析　当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，
即mf(0)＜0，即m＜0.
7.
解析　设方程f(x)＝0的三个实根分别为x1，x2，x3，
因为对称轴为x＝，
所以x2＝，且－x1＝x3－，
则x1＋x3＝3，所以x1＋x2＋x3＝.
8．B　[依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：
可知f(x)有两个零点．]
9．C　[设f(x)＝x2＋ax－2，
∵f(0)＝－2<0，
∴由x2＋ax－2＝0在区间[1, 5]上有解，只需f(1)≤0且f(5)≥0即可，
解得－≤a≤1.]
10．C　[画出函数y1＝2x与y2＝x2的图象可知x＝2与x＝4时，y1＝y2，当x<0时存在一个x使y1＝y2；
当x>4时，函数y1＝2x递增的速度明显比y2＝x2快，
即x>4后，再没有交点，故选C.]
11．log34
解析　令t＝3x(t>0)，则原方程可化为：(t－1)2＝9(t>0)．
∴t－1＝3，t＝4，即x＝log34可满足条件，
即方程＋1＝3x的实数解为log34.
12．1解析　画出函数f(x)的图象如图所示．
函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．
当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.
当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，
此时，由
得x2＋(5－a)x＋4＝0.
由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，
则当1故实数a的取值范围是113．解　f(x)＝(x－2)(x－5)－1＝x2－7x＋9，令x2－7x＋9＝0，则x2－7x＋9＝0，
Δ＝(－7)2－4×9＝13>0，
所以方程x2－7x＋9＝0有两个不等实数根，
即函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点；
又因为f(3)＝(3－2)(3－5)－1＝－3<0，
且函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1为开口向上的抛物线，
所以函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1的零点有一个大于3，另一个小于3.
14．解　f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，
即0≤a≤时，
须使
即
∴a的解集为?.
②当－1<－<0，即a>时，
须使
即解得a≥1，
∴a的取值范围是[1，＋∞)．

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