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专题11　空间中的平行关系
1．线线平行
(1)过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
(2)平行关系传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行．
2．直线与平面平行(简称：线面平行)
(1)定义：如果直线与平面无交点，则这条直线和这个平面平行．
(2)判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
(3)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．
3．平面与平面平行(简称：面面平行)
(1)定义
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面的两条相交直线，则这两个平面平行．
(3)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
4．等角定理
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
变式训练1　过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.
例2　在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且＝＝＝，
求证：平面EFG∥平面ABC.
变式训练2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱AB、BC、CC1的中点，P、Q、R分别在棱C1D1、A1D1、A1A上，且＝＝＝，
求证：平面EFG∥平面PQR.
例3　如图所示，四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形．
(1)求证：CD∥平面EFGH；
(2)求异面直线AB、CD所成的角．
变式训练3　
如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
A级
(第1题考查的是直线与平面的定义，解题关键是理解直线与平面平行的定义．)
1．直线与平面平行是指(　　)
A．直线与平面内的无数条直线都无公共点
B．直线上两点到平面的距离相等
C．直线与平面无公共点
D．直线不在平面内
(第2题考查的是线线平行的性质定理．)
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线(　　)
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
(第3,4题考查的是线面平行，线线平行，基本做法是画出图形判断位置关系．)
3．a、b是两条异面直线，下列结论中正确的是(　　)
A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行
B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交
C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行
D．空间中存在无数个与a、b同时平行的平面
4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(　　)
A．AC∥截面BA1C1
B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内
D．以上答案都错误
(第5,7,8题考查的是面面平行，解题关键是掌握定义和判定定理．)
5．正方体中互相平行的平面有________对．
6．三角形ABC的一边BC放在桌面上，E、F分别为AB、AC的中点，则EF与桌面的关系是________．
7．已知a和b是异面直线，且a?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
B级
8．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________．
11．已知不重合的直线a，b和平面α.
①若a∥α，b?α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α，
其中正确命题的个数是________．
(第12题考查了直线与平面平行的判定与性质定理，异面直线所成的角．对于证明线面平行，只需找到该面内的一条直线与该直线平行即可．对于异面直线所成的角首先要找其平面角，然后放到三角形中求解．)
12.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
(第13题考查了平面与平面平行的判定，基本做法是在其中一个平面内找到两个相交直线与另一个平面平行即可．)
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面B1D1F.
详解答案
典型例题
例1　证明　如图，连接AC交于BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点．
又M是PC的中点，
∴AP∥OM.
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴PA∥GH.
变式训练1　证明　
如右图，∵CC1∥BB1，CC1?平面CDD1C1，BB1?平面CDD1C1，
∴BB1∥平面CDD1C1，
BB1?平面BEE1B1，平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，
∴BB1∥EE1.
例2　证明　
在△PAB中，∵＝，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
同理FG∥平面ABC，
∵EF∩FG＝F，且EF、FG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABC.
变式训练2　证明　
∵＝，
∴PQ∥A1C1，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵A1C1∥AC，∴PQ∥EF；
同理QR∥FG，
又PQ∩QR＝Q，EF∩FG＝F，PQ，QR?平面PQR，EF，FG?平面EFG，
∴平面PQR∥平面EFG.
例3　(1)证明　∵截面EFGH是一个矩形，
∴EF∥GH，又EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
而EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.
(2)解　由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，
∴∠EFG为异面直线AB、CD所成的角，
∵∠EFG＝90°，
∴AB、CD所成的角为90°.
变式训练3　证明　连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，
SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
强化提高
1．C　[直线与平面平行的定义是直线与平面无公共点．]
2．B　[根据线面平行的性质定理知这n条直线中至多有一条．]
3．D　[A错，有时作不出来；B错，有时可作多条；C错，不存在这样的直线与a，b都平行，否则a∥b；D正确．]
4．A　[∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.]
5．3
解析　由正方体的图形可知正方体的三组对面互相平行．
6．平行
解析　∵EF∥BC，且EF?α，BC?α(α为桌面)，
∴EF∥α.
7．平行
解析　在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l?β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
8．D　[若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．]
9．平行
解析　如图，假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.
故α∥β.
10．相交
解析　因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．
11．1
解析　①若a∥α，b?α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b?α，则a∥α或a?α.④正确．故答案为1.
12．(1)证明　取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，
∴NH∥DC.由M是AB的中点，
∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
由MN?平面PAD，AH?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)解　连接AC并取其中点O，连接OM、ON，
∴OM∥BC，ON∥PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
13．证明　设G是BB1的中点，连接FG、CG.
∵FG∥AB，AB∥DC，
∴FG∥DC.
∴四边形FGCD是平行四边形，则DF∥CG.
由题设可得EB1∥CG，则DF∥EB1.
所以四边形DFB1E是平行四边形．
∴B1F∥ED，∵B1F?平面BDE，ED?平面BDE，
所以B1F∥平面BDE.
又∵B1D1∥BD，B1D1?平面BDE，BD?平面BDE.
∴B1D1∥平面BDE.
∵B1D1∩B1F＝B1，
∴平面BDE∥平面B1D1F.

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