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专题14　直线的方程及两直线的位置关系
1．直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l，若x1≠x2，则l的斜率k＝；若x1＝x2，则l的斜率不存在．
2．直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
3．直线方程的各种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1) 特例：斜截式y＝kx＋b.
(2)两点式：＝(x1≠x2且y1≠y2) ，特例：截距式＋＝1(ab≠0)．
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
4．两条直线的位置关系
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2，
l1⊥l2?k1·k2＝－1.
5．两条直线的交点
6．距离
(1)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(2)设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离d＝.
例1　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
变式训练1　已知A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点，求直线AB，AC的斜率．
例2　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2且原点到这两条直线的距离相等．
变式训练2　已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＋＝0.试确定m，n的值或取值范围，使：
(1) l1⊥l2；
(2) l1∥l2.
例3　根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
变式训练3　已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
A级
(第1题考查了两条直线的位置关系与斜率，解决问题的方法是利用两条直线平行的条件进行求解．)
1．若A(－1,2)，B(0，－1)，且直线AB∥l，则直线l的斜率是(　　)
A．3B．－3C.D．－
(第2题考查了倾斜角与斜率的关系，解决问题的关键是掌握倾斜角与斜率的概念．)
2．在下列四个命题中，正确的命题共有(　　)
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0，π]；
③若一直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.
A．0个B．1个C．2个D．3个
(第3题考查了点斜式方程，解决问题的方法是利用点斜式方程求解所需要的条件．)
3．在x轴上的截距为2且倾斜角为45°的直线方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝－x－2
C．y＝x－2 D．y＝x＋2
4．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　)
A．－B．－C.D.
5．一直线倾斜角的正切值为，且过点P(1,2)，则直线方程为____________．
6．直线y＝kx＋3过直线2x－y＋1＝0与y＝x＋5的交点时，k的值是________．
7．若直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则实数a的值为________．
B级
(第8,9题考查的是两条直线的位置关系，解决关键是掌握直线平行与垂直的条件．)
8．两条直线3x＋2y＋n＝0与2x－3y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．与n的值有关
9．已知A(0,8)，B(－4,0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是(　　)
A．－6B．－2C．2D．6
10．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上截距之和为2，则实数k＝________.
11．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
12．平行四边形ABCD中，已知三个顶点坐标为A(－3,1)、B(3,0)、C(－1,2)，则D点坐标为________．
(第13,14题主要考查的是求直线的方程，解决的基本方法是根据题意，选用适当的方程形式解决．)
13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
14．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝，
∴直线AB的斜率为，AC的斜率为.
(2)如图，当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是[，]．
变式训练1　解　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.
例2　解　(1)∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(－b)×1＝0，①
又l1过点(－3，－1)，则－3a＋b＋4＝0，②
联立①②可得，a＝2，b＝2.
(2)依题意有，＝≠，
且＝，
解得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
变式训练2　解　(1)当m＝0时，直线l1：y＝－和l2：x＝，此时，l1⊥l2，
当m≠0时，此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，
所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．
(2)当m＝0时，显然l1与l2不平行.
当m≠0时，＝≠，
解得m＝±4,4n－8－n·m≠0，解得：m＝4，n∈R，或m＝－4，n≠1时，l1∥l2.
例3　解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，从而cosα＝±，
则k＝tanα＝±，故所求直线方程为
y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2) 由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，
则y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0，由点线距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
变式训练3　A　[由直线方程的点斜式得，y－5＝－(x＋2)，整理得3x＋4y－14＝0.]
强化提高
1．B　[∵AB∥l，
∴kl＝kAB＝＝－3.]
2．A　[当倾斜角α＝90°时，其斜率不存在，故否定①、④；倾斜角α的范围为[0°，180°)，故②不正确；直线的斜率k＝tan 210°这是可以的，此时倾斜角α＝30°而不是210°，故③不正确．]
3．C　[由已知可知，直线过点(2,0)，斜率为tan45°＝1.
由点斜式得，y－0＝1×(x－2)，
即y＝x－2.]
4．A　[由题意得：×(－)＝－1，
解得a＝－.]
5．y－2＝(x－1)
6.
解析　由得交点是(4,9)，
把(4,9)代入y＝kx＋3得9＝4k＋3，
∴k＝.
7．－6
解析　把x＝3，y＝0代入方程(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0中得3(a＋2)－2a＝0，a＝－6.
8．B　[∵3×2＋2×(－3)＝0，
∴两直线垂直．]
9．A　[kAB＝＝2，kBC＝
∵kAB＝kBC，∴m＝－6.故选A.]
10．－24
解析　方程变形为＋＝1，
因此－＋＝2，则k＝－24.
11．k≥
解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
12．(－7,3)
解析　设D(x，y)，∵AB∥CD，
∴＝.
又∵AD∥BC，
∴＝，解得.
13．解　由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，所以直线l的方程为y＝x－.
14．解　由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．
由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，
化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.
当x0＝1时，
AB方程为x＝1，
当x0＝5时，
AB方程为3x＋4y＋1＝0.
综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

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