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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(?UP)∪Q等于(　　)
A．{1} B．{3,5}
C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}
2．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是(　　)
A．1B．2C．0或1D．1或2
3．函数f(x)＝lg的定义域为(　　)
A．(1,4) B．[1,4)
C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
4．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积(　　)
A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍
C．不变 D．缩小到原来的
5．已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(?RB)∩A等于(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
6.已知幂函数y＝xn中的n取值分别为3，，－1，则它们对应的图象依次是(　　)
A．C2，C1，C3
B．C1，C3，C2
C．C3，C2，C1
D．C1，C2，C3
7．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.B.C.D.
8．函数y＝ln(3－x)的单调减区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,3)
9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
10．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
11.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于(　　)
A．3B．2C.D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．化简式子－lg12的结果是________．
14．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
15．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________．
16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|(x－m＋2)·(x－m－2)≤0}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若全集U＝R，A??UB，求实数m的取值范围．
18．(12分)求满足下列条件的直线方程：
(1)过点A(1，－4)，与直线2x＋3y＋5＝0平行；
(2)过点A(1，－4)，与直线2x－3y＋5＝0垂直．
19．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1为偶函数，且f(－1)＝－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋(2－k)x在区间[－2,2]上单调递减，求实数k的取值范围．
20．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
21．(12分)已知点N(，0)，以N为圆心的圆与直线l1：y＝x和l2：y＝－x都相切．
(1)求圆N的方程；
(2)设l分别与直线l1和l2交于A、B两点，且AB中点为E(4,1)，试判断直线l与圆N的位置关系，并说明理由．
22．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
(1)证明：EF∥平面A1CD；
(2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
详解答案
1．C　[∵?UP＝{2,4,6}，∴(?UP)∪Q＝{2,4,6}∪{1,2,4}＝{1,2,4,6}．]
2．C　[结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．]
3．A　[∵为使函数f(x)有意义，应有>0，即<0?1∴函数f(x)的定义域是(1,4)．]
4．A　[V＝π2×2h＝πr2h，故选A.]
5．B　[由2x－x2＞0，得x(x－2)＜0?0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，?RB＝{y|y≤1}，
则(?RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．]
6．A　[由y＝x3，y＝x＝，y＝x－1＝的图象可知应选A.]
7．D　[方法一　如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.
由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，
则sinα＝，
所以α＝30°，∠BPA＝60°.
故直线l的倾斜角的取值范围是.选D.
方法二　设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]．]
8．B　[函数的定义域为(－∞，3)，
∵t＝3－x在(－∞，3)上单调递减，
y＝lnt在定义域内为单调递增函数，
∴函数y＝ln(3－x)的单调减区间为(－∞，3)，故选B.]
9．D　[A不正确．因为m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线．
B不正确．因为α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行．
C不正确．因为α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行．
D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．故选D.]
10．C　[f(x)＝x2－2ax的对称轴是直线x＝a，则a≤1.]
11．D　[对A，∵BD∥B1D1，
∴BD∥面CB1D1，∴A正确．
对B，∵BD⊥AC且BD⊥CC1，
∴BD⊥面ACC1A1，∴BD⊥AC1，
∴B正确．
对C，∵AC1⊥B1D1，
又AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1.
∴C正确；
对D，∵AD∥BC，
∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角，其大小为45°，∴D错误．]
12．B　[利用弦心距、半弦长、半径长满足勾股定理求解．
圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1.
∴|AB|＝2＝2＝2.]
13．－1
解析　原式＝|1－lg12|－lg12
＝lg12－1－lg12＝－1.
14．(0,1]
解析　设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有即
解得015．10x＋15y－36＝0
解析　设方程为2x＋3y＋m＝0
由已知得：－－＝6，∴m＝－，
方程为10x＋15y－36＝0.
16．36
解析　该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD，高h＝60，
V＝Sh＝[(2＋4)×2]×6＝36.
17．解　(1)∵集合A＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1,3]，
集合B＝{x|(x－m＋2)(x－m－2)≤0}＝[－2＋m,2＋m]．
且A∩B＝[0,3]，∴，
∴m＝2.
(2)∵B＝{x|(x－m＋2)(x－m－2)≤0}＝[－2＋m,2＋m]，全集U＝R，
∴?UB＝(－∞，－2＋m)∪(2＋m，＋∞)，
∵A??UB，
∴3<－2＋m或2＋m<－1.
∴m＞5或m<－3.
故m的取值范围是{m|m<－3或m＞5}．
18．解　(1)设所求直线方程为2x＋3y＋C1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C1＝0，解得C1＝10，
所以所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)设所求直线方程为3x＋2y＋C2＝0，则
由题意得3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得C2＝5，
所以所求直线方程为3x＋2y＋5＝0.
19．解　(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1为偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－＝0，即b＝0，
又∵f(－1)＝a＋1＝－1，即a＝－2.
故f(x)＝－2x2＋1.
(2)由(1)得g(x)＝f(x)＋(2－k)x
＝－2x2＋(2－k)x＋1，
故函数g(x)的图象是开口向下，且以x＝为对称轴的抛物线，
故函数g(x)在[，＋∞)上单调递减，
又∵函数g(x)在区间[－2,2]上单调递减，
∴≤－2，解得k≥10.
故实数k的取值范围为[10，＋∞)．
20．解　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)
＝(x∈N)．
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x
＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6000；
当x＝1000时，L＝11000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
21．解　(1)由题意可得：点N(，0)为圆心，并且圆N与直线y＝x相切，
所以圆N的半径为，所以圆N的方程(x－)2＋y2＝.
(2)由题意可设A点的坐标为(a，a)，
因为AB中点为E(4,1)，所以B点的坐标为(8－a,2－a)，
又因为点B在直线y＝－x上，
所以a＝5，所以A点的坐标为(5,5)，
又因为AB中点为E(4,1)，
所以直线l的斜率为4，
所以l的方程为4x－y－15＝0，
圆心N到直线l的距离<，
所以直线l与圆N相交．
22.(1)证明　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE＝AC且DE∥AC，
又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，
即四边形A1DEF为平行四边形，
所以EF∥DA1.
又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，
所以，EF∥平面A1CD.
(2)证明　由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，
故CD⊥AB，
又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
所以A1A⊥CD，
又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，
而CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)解　在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.
由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，
而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，
故BG⊥平面A1CD.
由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．
设棱长为a，可得A1D＝，
由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.
在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

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