资源简介

专题7　二次函数与幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
(1)幂函数的图象(以y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x为例)．
(2)在y＝xα中，
①当幂指数α>0时，幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；
②当幂指数α<0时，幂函数的图象都经过点(1,1)，在第一象限内函数单调递减.
例1　已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，求m为何值时，f(x)：
(1)是正比例函数；(2)是反比例函数；
(3)是二次函数；(4)是幂函数．
变式训练1　给出下列函数：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝，其中是幂函数的有________个．
例2　比较下列各组值的大小：
(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6；
(2)a－b，ab，aa，其中0变式训练2　比较下列各组值的大小：
(1)和；
(2)－8－和－().
例3　点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)问x取何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)变式训练3　幂函数y＝f(x)的图象经过点(4，)，则f()的值为(　　)
A．1B．2C．3D．4
A级
(第1,2题都是先求出函数的解析式，再根据解析式求结果．)
1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(27，)，则f()的值为(　　)
A．1B．2C．3D．4
2．若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域是(　　)
A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}
C．{x|x∈R，x≠0} D．R
(第3题考查的是幂函数图象，可以采取特殊值法求解．)
3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
(第4题根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小．)
4．若a>b>0,0A．logacC．accb
(第5,7题考查幂函数的概念和图象特征．)
5．函数f(x)＝(m2－2m＋2)x2m＋1是幂函数，则m＝________.
6．当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
7．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为增函数，则实数m的值为________．
B级
8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3B．1C．2D．1或2
(第9,10,11,12考查了幂函数的单调性，掌握幂函数的单调性是解决本题的关键．)
9．下列函数在(－∞，0]上为减函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－2
10．已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
11．函数y＝x－2在上的最大值是________．
12．若(a＋1)－<(10－2a)－，则a的取值范围为________．
(第13题考查的是幂函数的概念，掌握幂函数的概念是解决本题的关键．)
13．已知f(x)＝(m2＋m)xm2－2m－1，当m取什么值时，
(1)f(x)是正比例函数；
(2)f(x)是反比例函数；
(3)在第一象限内它的图象是上升的曲线．
(第14题是求二次函数含参问题．)
14．函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，∴m＝－；
(2)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，∴m＝－；
(3)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
∴m＝－1；
以上经验证m2－m－1均不等于0.
(4)若f(x)是幂函数，则m2－m－1＝1，
∴m＝2或－1.
变式训练1　2
解析　可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的四个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合幂函数的定义，是幂函数，其余两个都不是幂函数．
例2　解　(1)由y＝x0.2在x>0时是增函数，
∴0.20.2<0.40.2<20.2，
又y＝2x是增函数，∴20.2<21.6.
∴0.20.2<0.40.2<20.2<21.6.
(2)∵0又－baa>ab.
变式训练2　解　(1)因为y＝2x在x>0时是增函数，而<，
所以2<2，所以<.
(2)－()＝－9－，由于幂函数y＝x－在(0，＋∞)上是减函数，
所以8－>9－，
因此－8－<－9－，
即－8－<－().
例3　解　(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2，设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，
即g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示，
由图象可知：①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1变式训练3　B　[设幂函数f(x)＝xα，
则f(4)＝4α＝，
解得α＝－，
所以幂函数f(x)＝x－，
所以f＝()－＝2，故选B.]
强化提高
1．B　[设f(x)＝xα，由条件知f(27)＝，∴27α＝，
∴α＝－，∴f(x)＝x－，
∴f()＝()－＝2.]
2．C　[设f(x)＝xα，它过点(3，)，
则＝3α，
所以α＝－2，故f(x)＝x－2，
其定义域为{x|x∈R，x≠0}，故选C.]
3．B　[根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．]
4．B　[对A：logac＝，logbc＝，因为0b>0，所以lga>lgb，但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；对B：logca＝，logcb＝，而lga>lgb，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确；对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以C错；对D：由y＝cx在R上为减函数，得ca5．1
解析　根据题意可得，m2－2m＋2＝1，解得m＝1.
6．二、四
解析　幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象分布在第一、三象限，y＝x的图象分布在第一象限．
所以幂函数y＝xα(α∈{－1，，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．
7．－1
解析　依题意：?
，所以m＝－1.
8．B　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.]
9．B　[由幂函数的定义：y＝x2在(－∞，0]上y随x的增大而减小，为减函数．]
10．D　[∵f(x)是R上的减函数，
∴<1，整理得x(1－x)<0，
∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．]
11．4
解析　∵函数y＝x－2在(0，＋∞)为减函数，
∴ymax＝()－2＝4.
12．3解析　∵函数y＝x－在(0，＋∞)为减函数，
∴，
解得313．解　(1)令m2－2m－1＝1，得：
m2－2m－2＝0，m＝1±，
此时m2＋m≠0.
(2)令m2－2m－1＝－1，得：
m2－2m＝0?m1＝0，m2＝2，
当m＝0时，此时m2＋m＝0，不符合题意．故m＝2.
(3)由题意得：?
∴m<－1或m>1＋.
14．解　∵f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
∴x＝a是二次函数的对称轴，
又∵f(x)在区间[0,1]上有最大值2，
∴当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，a＝－1；
当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，a＝2；
当0综上，实数a的值为－1或2.

展开更多......

收起↑