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专题10　空间图形的基本关系
1．空间点与直线的位置关系：点在直线上，点在直线外．
2．空间点与平面的位置关系：点在平面内，点在平面外．
3．空间直线与直线的位置关系：平行，相交，异面．
4．空间直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线在平面外．
5．空间平面与平面的位置关系：平行，相交．
例1　给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
变式训练1　
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CD上的点，设EG与FH交于点P.求证：P、A、C三点共线．
例2如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(　　)
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
变式训练2　设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
例3　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
变式训练3　已知平面α∥平面β，直线a?α，则直线a与平面β的位置关系为________．
A级
(第1题考查的是平面与平面的位置关系，解决关键是掌握平面与平面的位置关系．)
1.空间三个平面如果每两个面都相交，那么它们的交线的条数是(　　)
A．一条 B．两条
C．三条 D．一条或三条
(第2题考查的是直线与直线的位置关系，解决关键是画出图形，进行判定．)
2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
(第3题考查的是异面直线所成角，解决关键是找到两条异面直线所成角的等价角．)
3.正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
5．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
6．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有________，与棱BB1平行的面有________．
7．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．
B级
(第8题考查的是平面与平面的位置关系，解决关键是掌握平面与平面的位置关系．)
8.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么(　　)
A．α∥β B．α与β相交
C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
9．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线(　　)
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在棱AA1、CC1上，当E、F满足什么条件时，点D1、E、F、B共面？________(填上一个条件即可)．
(第11小题主要考查直三棱柱ABC－A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法．)
11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．
(第12题考查线面、面面之间的位置关系．逐一分析各个选项，利用线面、面面之间的关系，应用有关定理推论，举反例等手段，排除错误选项，得到真命题．)
12．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直则直线l与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.
其中真命题的序号为________．
(第13题考查棱柱的结构特征，考查作图能力．解决关键是掌握点共面，点共线的方法．)
13.在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如右图．
(1)求证：D、B、E、F四点共面．
(2)设直线AC1与平面BDEF的交点为M，证明：P、Q、M三点共线．
(第14题的实质就是证明直线a与平面α除点A以外不存在其他公共点，用反证法．)
14．如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．
详解答案
典型例题
例1　B　[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]
变式训练1　证明　∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC.
∴P∈AC.∴P、A、C三点共线．
例2　C　[因为四边形PQMN为正方形，所以PQ∥MN，
又PQ?平面ADC，MN?平面ADC，
所以PQ∥平面ADC.
又PQ?平面ABC，平面BAC∩平面DAC＝AC，
所以PQ∥AC.
同理可证QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；综上知C错误．]
变式训练2　D　[对于A，易知点A，B，C，D共面，故AD与BC共面，所以A正确；对于B，假设AD与BC不异面，则可得AC与BD共面，与题意矛盾，故B正确；对于C，如图，E为BC中点，易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC，故C正确；对于D，当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，但二者不一定相等，故D错误．]
例3　C　[如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．∴应选C.]
变式训练3　a∥β
解析　∵α∥β，∴α与β无公共点，
∵a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
强化提高
1．D
2．D
3．C　[∵A1D∥B1C，
∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.
∵△A1DB为正三角形，∴∠A1DB＝60°.]
4．C　[由公理2知：不共线的三点确定一个平面，而三角形的三个顶点一定不共线，故三角形可以确定一个平面．]
5．D　[在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，
则直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；
这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选D.]
6．BB1和DD1　面AD1和面DC1
7．A∈m
解析　因为A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，又α∩β＝m，故A在α与β的交线m上．
8．D　[如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线．这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.]
9．D　[若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D.]
10．AE＝C1F　A1E＝CF
解析　当AE＝C1F时，四点D1、E、B、F共面，
在B1B上取点G，使B1G＝A1E，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E∥B1G，
∴四边形A1B1GE为平行四边形，
∴EG∥A1B1.
又∵A1B1∥C1D1，∴EG∥C1D1，
∴四边形EGC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1G，
又∵C1F∥BG，∴C1G∥BF，
∴D1E∥BF，
∴四边形BFD1E为平行四边形，
故D1、E、B、F四点共面．
11．60°
解析　延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，
∵直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
AB＝AC＝AA1，
∴三角形A1DB为等边三角形，
∴∠DA1B＝60°
12．①②
解析　因为2个平行平面中有一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直，故①正确．
若2个平面都和第三个平面垂直，则他们的交线也和第三个平面垂直，故②正确．
直线l与平面α内的无数条直线垂直，也不能保证直线l与平面α内的2条相交直线垂直，故③不正确．
α内存在不共线的三点到β的距离相等，这3个点可能在2个相交平面的交线的两侧，故④不正确．
综上，正确答案为①②.
13．证明　(1)由于E、F为中点，
∴EF∥B1D1，又BD∥B1D1，∴EF∥BD，
∴E、F、B、D四点共面．
(2)在平面ACC1A1中，AC1与PQ必相交于一点R，
∵Q∈EF，P∈BD，∴P、Q∈平面BDEF，
∴PQ?平面BDEF，
∵R∈PQ，∴R∈平面BDEF，
故R就是直线AC1与平面BDEF的交点M，
∴P、Q、M三点共线．
14．证明　方法一　
如右图，
假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a?α.
若a∥α，∵A∈a，
∴A?α与A∈α矛盾．
若a?α，∵B∈a，∴B∈α与B?α矛盾．
∴假设不成立．∴直线a和平面α相交．
方法二　假设直线a与α还有一个公共点C，由公理1知a?α，
又B∈a，∴B∈α与B?α矛盾，
∴直线a与α有且仅有一个公共点，
∴直线a与α相交．

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