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专题13　几何体的表面积和体积
1．表面积公式
2.体积公式
3.柱体，锥体，台体之间的关系
V柱体＝Sh?V台体＝h(S＋＋S′)?V锥体＝Sh.
例1　已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________，体积为________．
变式训练1　已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．
例2　在边长为a的正方形ABCD中，剪下一个扇形和一个圆，如图所示，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.
变式训练2　一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　)
A. B.
C. D.
例3　一个球内有相距9cm的两个平行截面，且截面同在一侧，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积和体积．
变式训练3　(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积．
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积．
(3)已知球的体积为π，求它的表面积．
A级
(第1题考查圆柱的侧面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答．)
1．底面半径为2，高为4的圆柱，它的侧面积是(　　)
A．8πB．16πC．20πD．24π
(第2题考查正方体的外接球的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．)
2．正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是(　　)
A.πB.πC．4πD．32π
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)
A．2πB．πC．2D．1
(第4题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，注意在底面积的计算时，要注意多思则少算．)
4．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(　　)
A．3B．6C．9D．18
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．
6．如果正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，那么四面体A1－ABD的体积是________．
7．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
B级
(第8题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识．)
8．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为(　　)
A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶16
9．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为(　　)
A.B.C.D.
(第10题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方．)
10.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
11．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是________cm.
(第12题考查不规则几何体的体积求法，解题的关键是看出几何体可以分成三部分，逐个求出三部分的体积，注意数字的运算不要出错．)
12.如图所示的几何体中，底面ABCD是矩形，AB＝9，BC＝6，EF∥平面ABCD，EF＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，求几何体EFABCD的体积．
(第13题考查了棱台的侧面积，解题关键是掌握求侧面积所需要的条件．)
13.如图，一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使SA＝SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积．
(第14题考查了棱锥的体积公式，解决关键是找到等量关系．)
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB＝a，且PD＝a，PA＝PC＝a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.
详解答案
典型例题
例1　4cm　32cm2　48cm2　cm3
解析　如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.
∵OE＝2cm，∠OPE＝35°，
∴斜高PE＝
＝＝4(cm)，
∴PO＝＝＝2.
∴S正棱锥侧＝ch′＝×4×4×4
＝32(cm2)，
S正棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
V＝×42×2＝(cm3)．
变式训练1　解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC＝a，
SD＝＝＝a，
所以S△SBC＝BC·SD＝a×a
＝a2.
因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
例2　解　设扇形半径为x，圆半径为r，则
×2πx＝2πr，∴x＝4r，
AC＝x＋r＋r＝(5＋)r.
又AC＝a，∴(5＋)r＝a，
解得r＝.
圆锥的高h＝＝r，
∴V＝πr2h＝.
变式训练2　A　[设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr.
∴S全＝2πr2＋(2πr)2＝2πr2(1＋2π)．
S侧＝h2＝4π2r2，
∴＝.]
例3　解　如图所示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7.
同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设OO1＝x，则OO2＝x＋9.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得x＝15.
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25.
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，
V球＝πR3＝π(cm3)，
∴球的表面积为2500πcm2，
体积为πcm3.
变式训练3　解　(1)∵直径为6cm，
∴半径R＝3cm，
∴表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，
体积V球＝πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S球＝4πR2＝64π，
∴R2＝16，即R＝4，
∴V球＝πR3＝π×43＝π.
(3)∵V球＝πR3＝π，
∴R3＝125，R＝5，
∴S球＝4πR2＝100π.
强化提高
1．B　[∵圆柱底面半径为2，高为4，
∴它的侧面积S＝(2×2×π)×4＝16π.
故选B.]
2．C　[设正方体的棱长为a，
则6a2＝24，∴a＝2，
其外接球的直径为2，半径为，
∴其体积为π()3＝4π.]
3．A　[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.]
4．B　[高h＝2sin60°＝3，又因底面正方形的对角线等于2，
∴底面积为S＝2××2×＝6，
∴体积V＝×6×3＝6，故选B.]
5．60°
解析　设母线为l，底面半径为r，则πl＝2πr.
∴＝，∴母线与高的夹角为30°.
∴圆锥的顶角为60°.
6.a3
解析　如图四面体A1－ABD的体积是V＝××a×a×a＝a3.
7.
解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱，
底面积S＝＝，高h＝1，
所以四棱柱体积V＝S·h＝×1＝.
8．C　[设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式，
可得它们的表面积分别为S1＝4πr，S2＝4πr，
∵两个球的表面积之比为1∶4，
∴＝＝，解之得，＝，
因此，这两个球的体积之比为＝＝，即两个球的体积之比为1∶8.]
9．D　[O是AC中点，连接DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO＝BO＝＝a，BD＝a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D－ABC的高，S△ABC＝a2，三棱锥D－ABC的体积：×a2×a＝，故选D.]
10．1∶24
解析　设三棱锥F－ADE的高为h，
A到DE的距离为h1，A到BC的距离为h2，
＝
＝＝.
11．3
解析　设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3cm.
12．解　本题可以采用分割的方法，过F，E做一个与平面ABCD垂直的平面，这个平面把几何体分割成三部分，
中间一部分得到一个侧棱长是3的几何体，且几何体的底面是一个等腰三角形，底边长是6，腰是＝3，
∴底面面积是×6×3＝9，
三棱柱的体积是3×9.
两侧截取两个体积相等的四棱锥，
四棱锥的底面是边长分别是3,6的矩形，高是3，
∴一个四棱锥的体积是×3×6×3＝18，
∴两个四棱锥的体积是36，
∴几何体的体积是27＋36＝63.
13．解　棱锥S－BCD的截面为B′C′D′，过S作SF⊥B′C′，垂足为F，延长SF交BC于点E，连接AF和OE，
∵平面BCD∥平面B′C′D′，平面B′C′D′∩平面SOE＝AF，平面BCD∩平面SOE＝OE，
∴AF∥OE，于是＝＝＝，
即SF＝SE，同理可得B′C′＝BC，
∴S△SB′C′＝S△SBC，S△SB′D′＝S△SBD，S△SC′D′＝S△SCD，
∴S棱锥S－B′C′D′＝Q，∴S棱台侧＝Q.
14．解　设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大，连接SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．由体积关系，得
VP－ABCD＝(S△PAB＋S△PBC＋S△PCD＋S△PAD＋S?ABCD)
＝＝(2＋)a2
又VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝a3，
∴(2＋)a2＝a3，
解得R＝a，故所放入的球的最大半径为a.

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