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专题16　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
相离、相切、相交．
2．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C的位置关系的判断方法
(1)几何法：求出圆的半径r，圆心C到直线l的距离为d
d>r?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点
d＝r?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点
d(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式Δ＝b2－4ac，
Δ<0?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点
Δ＝0?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点
Δ>0?直线l与圆C相交?直线l与圆C有两交点
3．直线l与圆交于A、B两点，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2.
例1　当k为何值时，直线l：y＝kx＋5与圆C：(x－1)2＋y2＝1：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
变式训练1　若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．0或4
C．2 D．4
例2　已知圆O：x2＋y2＝4，求过点P(2,4)与圆O相切的切线．
变式训练2　求斜率为－1与圆x2＋y2＝4相切的直线方程．
例3　求直线l：x－y＋2＝0被圆C：x2＋y2－4x＋4y－17＝0截得的弦AB的长．
变式训练3　求直线2x－y－1＝0被圆x2＋y2－2y－1＝0所截得的弦长．
A级
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为(　　)
A．? B．(1,1)
C．{(1,1)} D．{(－1，－1)}
(第4题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．)
4．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于(　　)
A．1B.C.D．2
(第5题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式是解题关键．)
5．若直线y＝kx＋2与⊙O：x2＋y2＝1相切，则k＝________.
6．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为________．
(第7题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直和中点在对称轴上这两个条件．)
7．圆C：x2＋y2－4x－2y＝0关于直线l：x＋y＋1＝0对称的圆C′的方程为________．
B级
(第8题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．)
8．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切B．相交C．相离D．不确定
(第9题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学们学习．)
9．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
(第10题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键．)
10．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
11．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，|MN|≥2，则k的取值范围是________．
(第12题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用．做法是由圆的方程可得圆心和半径，由点到直线的距离公式，求出圆心到直线2x－y－1＝0的距离，再利用弦长公式求得弦长．)
12．直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为________．
(第13,14题考查圆的方程的求法，可采用待定系数法．)
13．求圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．
14．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
详解答案
典型例题
例1　解　方法一　由消去y得(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，
即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，
故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)
＝－96－40k.
(1)当Δ＞0，即k<－时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即k＝－时，直线与圆相切．
(3)当Δ<0，即k＞－时，直线与圆相离．
方法二　圆心C的坐标为(1,0)，
半径r＝1，
圆心C到直线l的距离d＝.
(1)当d(2)当d＝r，即＝1?k＝－时，直线与圆相切．
(3)当d＞r，即＞1?k＞－时，直线与圆相离．
变式训练1　C　[方法一　圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0,0)，半径长r＝(m＞0)，由题意得＝，即m2＝2m，又m＞0，所以m＝2.
方法二　由消去y并整理，
得2x2＋2mx＋m2－m＝0.
因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解，
因此Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，
即m2－2m＝0，
又m＞0，所以m＝2.]
例2　解　∵点P(2,4)不在圆O上，当切线斜率不存在时x＝2与圆相切；当切线斜率存在时，设切线PT的直线方程为y＝k(x－2)＋4，根据d＝r，∴＝2，解得k＝，
所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.
所以过点P(2,4)与圆O相切的切线方程为3x－4y＋10＝0和x＝2.
变式训练2　解　设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0，
∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.
解得b＝±2.∴所求切线方程为x＋y±2＝0.
例3　解　x2＋y2－4x＋4y－17＝0化为标准方程为：(x－2)2＋(y＋2)2＝25，则圆心坐标为(2，－2)，半径r＝5，d＝＝3，l2＝r2－d2＝25－18＝7则l＝，所以所求弦长为2.
变式训练3　解　由圆的方程可得圆心为(0,1)，半径为，
则圆心到直线2x－y－1＝0的距离为，
则所求弦长为：2＝.
强化提高
1．B　[圆心到直线的距离d＝＝<1，
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.]
2．C　[圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.]
3．C　[解方程组，得.]
4．D　[由圆x2＋y2＝1，得到圆心坐标为(0,0)，半径r＝1，
∵圆心(0,0)在直线y＝x上，
∴弦AB为圆O的直径，则|AB|＝2r＝2.]
5．±
解析　若直线y＝kx＋2与⊙O：x2＋y2＝1相切，则圆心(0,0)到直线kx－y＋2＝0的距离等于半径，即＝1，解得k＝±.
6．±
解析　由已知可得，圆心到直线的距离d＝1×cos60°＝，即＝，解得k＝±.
7．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5
解析　圆C：x2＋y2－4x－2y＝0即(x－2)2＋(y－1)2＝5，表示以C(2,1)为圆心，以为半径的圆．
设C(2,1)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的C′的坐标为(a，b)，
则有×(－1)＝－1，
且＋＋1＝0.
解得a＝－2，b＝－3，即C′的坐标为(－2，－3)，故圆C′的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝5.
8．B　[由点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则a2＋b2>1，圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝<1，故直线与圆O相交．]
9．A
　[如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，
∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.]
10．(x－2)2＋2＝
解析　设圆心坐标为(2，y0)，则
，解得y0＝－，r＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋2
＝.
11．(－∞，0]
解析　因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，
解得k≤0.
12.
解析　依题意得，弦心距d＝，故弦长|AB|＝2＝2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为∠AOB＝.
13．解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则依题意有，
解方程组得a＝1，b＝－4，r＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
14．解　设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∵圆心到直线y＝x的距离为
＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

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