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专题6　对数函数
1．对数的概念
式子b＝logaN(a>0，且a≠1；N>0)叫做以a为底N的对数．
(1)常用对数：lgN；
(2)自然对数：lnN.
2．对数公式
(1)对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1；N>0)；
(2)对数换底公式：logbN＝.
3．对数的性质
(1)负数和零没有对数；
(2)1的对数是零；
(3)底的对数等于1.
4．对数的运算法则：
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么
(1)logaMN＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMa＝alogaM.
5．对数函数的图象与性质
例1　对下列式子化简求值：
(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06；
(2)log3·log5.
变式训练1　对下列的式子化简求值：
(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)；
(2)(lg32＋log416＋6lg)＋lg.
例2　比较下列各组数的大小．
(1)log3与log5；
(2)log1.10.7与log1.20.7.
变式训练2　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>a>cD．b>c>a
例3　函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　)
变式训练3　已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)
A级
1．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
2．已知0A．0C．03．在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．44．函数y＝log2(x＋4)(x>0)的反函数是(　　)
A．y＝2x＋4(x>2) B．y＝2x＋4(x>0)
C．y＝2x－4(x>2) D．y＝2x－4(x>0)
5．已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.
6．已知logx＝3，则x＝________.
7．函数f(x)＝1－loga(2－x)的图象恒过定点________．
B级
8．函数y＝log2|x|的图象大致为(　　)
9．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
10．已知函数f(x)＝，则f(2＋log32)的值为(　　)
A．－B.C.D．－54
11．函数f(x)＝的定义域为________．
12．函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间为________．
13．计算：
(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；
(2).
14．已知函数f(x)＝lg(x－1)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2
＝3lg2lg5＋3lg5＋3lg22－2
＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2
＝3lg2＋3lg5－2＝3－2＝1；
(2)原式＝log33－×log5(10－3－2)
＝－.
变式训练1　解　(1)(log32＋log92)·(log43＋log83)
＝log32·log23
＝(log32·log23)＝.
(2)原式＝lg25＋·log22－lg2－lg5
＝lg2＋－lg2－lg5
＝－lg2＋(2－lg5)
＝－lg2＋lg
＝－lg2＋lg20＝.
例2　解　(1)∵log3而log5>log51＝0，∴log3(2)方法一　∵0<0.7<1,1.1<1.2，
∴0>log0.71.1>log0.71.2.
∴<，
由换底公式可得log1.10.7方法二　作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，
如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.10.7变式训练2　A　[a＝log3π>log33＝1，
b＝log2c＝log3又＝＝＝2>1，
∴b>c，∴a>b>c.故选A.]
例3　C　[函数y＝lg(x＋1)底数为10>1，所以函数为递增函数，排除A，B；
当x＝0时，y＝0，即函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，
所以排除D，故选C.]
变式训练3　B　[可从图象位置及单调性来判断，或利用函数的性质识别，注意底数a对图象的影响．y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A、C，再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又排除D，故选B.]
强化提高
1．A　[∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.]
2．C　[由，解得03．D　[∵∴24．C　[∵x>0，∴x＋4>4.∴y>2.
∵y＝log2(x＋4)，∴2y＝x＋4.
∴反函数为y＝2x－4(x>2)．]
5.
解析　4a＝2，a＝，lgx＝a，x＝10a＝.
6.
解析　∵logx＝3，∴x＝3，
∴x＝＝.
7．(1,1)
解析　当x＝1时，不管a为何值，
f(1)＝1是定值，∴f(x)过定点(1,1)．
8．C　[由|x|＝1时，y＝0排除A、B；
由x>0时，y＝log2x为增函数，排除D，选C.]
9．B　[当a>1时，loga<0<1，成立．
当0由loga<1＝logaa，得0综上所述，01.]
10．B　[∵0∴f(2＋log32)＝f(3＋log32)＝f(log354)
＝()log354＝.]
11．(0，]
解析　要使函数f(x)＝有意义，则
解得012．(4，＋∞)
解析　先求定义域：由x2－4x>0得x(x－4)>0，
∴x<0或x>4，
又函数y＝log2t是增函数，
故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．
∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2，
∴所求单调递增区间为(4，＋∞)．
13．解　(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1
＝2＋1＋9×－0
＝＋1＋＝.
(2)
＝
＝
＝
＝＝
＝＝1.
14．(1)解　要使函数有意义，x的取值需满足x－1>0，则有x>1，即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．
由于函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函数f(x)的值域是R.
(2)证明　设1f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)
＝lg.
∵1∴0<<1.
又∵当0∴lg<0.∴f(x1)∴f(x)在定义域上是增函数．

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