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专题9　空间几何体的结构与三视图
1．简单空间几何体分类
柱体
锥体
台体
球
2．特殊的四棱柱
棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱
正方体
3．三视图：正视图，俯视图和侧视图
例1　下列命题中正确的是(　　)
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
变式训练1　下列说法中正确的是(　　)
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
例2　
如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．
变式训练2　用一个平面截半径为5cm的球，球心到截面距离为4cm，求截面圆的面积．
例3　(1)画出下列几何体的三视图．
(2)某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状．
变式训练3　根据下列图中所给的三视图，试画出该物体的形状．
A级
(第1,2,3题都是考查简单几何体的概念，解题关键是理解几何体相关概念．)
1．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是(　　)
A．正方形B．长方形C．三角形D．圆
2．下列命题正确的是(　　)
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
3．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是(　　)
(第4,5题考查的是三视图，考查了学生的空间想象能力，掌握三视图的画法是解题的关键．)
4.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
5．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)
A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.
(第7题考查了球的计算问题，考查了学生空间想象能力和数形结合思想，结合图形解决问题是解决的关键．)
7．已知球的大圆的内接直角三角形的两直角边长分别为3和4，则球的半径为________．
B级
8．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱
(第9题考查了简单空间几何体的三视图，解答的关键是明确三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影．)21世纪教育网版权所有
9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)21·cn·jy·com
(第10题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．)www.21-cn-jy.com
10．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是(　　)
A.B．2C.D.
(第11题考查圆锥的结构特征，旋转体的侧面展开图，考查计算能力，空间想象能力．)
11．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．2·1·c·n·j·y
12．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________．
(第13题考查了棱柱的概念，解题关键是理解和掌握棱柱的概念．)
13.如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
(第14题考查的是三视图，解题关键是掌握三视图的画法．)
14.画出下面空间几何体的三视图．
详解答案
典型例题
例1　C　[四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体，两个底面是矩形的直平行六面体是长方体．]
变式训练1　A　[棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，由这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．]
例2　解　
作出截面图，如图所示．
球心O1和O2在AC上，过O1、O2分别作AD、BC的垂线交于E、F两点．
则由AB＝1，AC＝，得AO1＝r，CO2＝R.
∴r＋R＋(r＋R)＝.
∴R＋r＝＝.
变式训练2　解　
如图，设AK为截面圆的半径，则OK⊥AK.
在Rt△OAK中，OA＝5，OK＝4.
∴AK＝＝＝3(cm)．
∴截面圆的面积为π×32＝9π(cm2)．
例3　解　(1)这两个几何体的三视图分别如下：
(2)该几何体为一个正四棱锥．
变式训练3　解　根据三视图的画法规则，可知他们所对应的几何体形状如下图：
强化提高
1．C　[根据圆柱体特征，三视图中可能存在的图形是正方形，长方形，圆等．]
2．D　[由三棱柱和四棱柱可以排除A，B；过棱锥的顶点的平面可以把棱锥分成两个棱锥，排除C；平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故选D.]21教育网
3．C
4．B　[如图，几何体为三棱柱．]
5．D　[由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.]
6．12
解析　因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12 (cm)．
7.
解析　球的大圆的直径就是其内接直角三角形的斜边，而斜边长为5，得球的大圆半径为，即球的半径．
8．B　[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]
9．C　[由三视图中的正视图、侧视图得到几何体如图所示，所以该几何体的俯视图为C.]
10．B　[由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，
r即为底面正三角形的内切圆半径，
∵底面边长为4得r＝2，故选B.]
11.
解析　设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为.
12．②④
解析　正方体的三视图都是相同的正方体；
圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；
三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；21cnjy.com
四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．
故有且仅有两个视图相同的是②和④.
13．解　截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′－DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
14．解　空间几何体的三视图如图．

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