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专题12　空间中的垂直关系
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
3．(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．21cnjy.com
例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，O为AC与BD的交点．21·cn·jy·com
求证：(1)A1O⊥平面BDF；(2)平面BDF⊥平面AA1C.
变式训练1　如图所示，ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且平面PCD⊥平面ABCD，又△PCD是正三角形，E是PC中点．2·1·c·n·j·y
求证：平面EDB⊥平面PBC.
例2　已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练2　三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A－BD－C的大小．www-2-1-cnjy-com
例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.2-1-c-n-j-y
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
变式训练3　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面BDM⊥平面ECA.21*cnjy*com
A级
(第1题考查的是线面位置关系，解题方法是利用线面位置关系的性质定理可判定．)
1．若已知直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则(　　)
A．b⊥α
B．b∥α
C．b与α相交但不垂直
D．b与α的位置关系无法确定
(第2题考查的是线线的位置关系，解题方法是利用线面位置关系的性质定理和勾股定理．)
2.如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(第3题考查的是二面角的求法，解题方法是先找到二面角的平面角，然后放在三角形中求解．)
3．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A.B.C.D.
4．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是(　　)
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
5．下列命题中正确的是(　　)
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
6．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．【出处：21教育名师】
7．?ABCD的对角线交点为O，点P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．【版权所有：21教育】
B级
(第8题考查了线线，面面位置关系，解题关键是掌握相关的判定定理．)
8．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m?β，给出下列三个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数有(　　)
A．1个B．2个C．3个D．0个
9．三棱锥P－ABC的两个侧面△PAB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝a，则平面ABC与平面PAC的位置关系是________．www.21-cn-jy.com
10．空间四边形ABCD中，四条边均相等，则对角线AC、BD的位置关系是________．
(第11题考查面面垂直的性质，考查线面、线线垂直，考查学生的计算能力．)
11．四面体P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，则PC＝________.21教育名师原创作品
(第12题考查面面垂直的性质，考查线面、线线垂直，考查学生的计算能力，属于基础题．)
12.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中正确结论的序号是________．
(第13题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．)21*cnjy*com
13.如图，已知PA⊥平面ABC，二面角A－PB－C是直二面角．求证：AB⊥BC.
14.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由．
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
详解答案
典型例题
例1　证明　(1)设正方体的棱长为a，
在Rt△A1AO中，A1O2＝a2，
在Rt△OCF中，OF2＝a2，
在Rt△A1C1F中，A1F2＝a2，
于是A1O2＋OF2＝A1F2?A1O⊥OF，
又BD⊥A1O，BD与OF相交于O点，
∴A1O⊥平面BDF.
(2)由(1)知，A1O⊥平面BDF，而A1O在平面AA1C上，
∴平面BDF⊥平面AA1C.
变式训练1　证明　∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，BC⊥CD，CB?平面ABCD，21·世纪*教育网
∴BC⊥平面PCD，∵DE?平面PCD，
∴DE⊥BC.
∵△PCD是正三角形，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC.
例2　解　
如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
设OC＝a，
∵AO⊥α，BC?α，
∴AO⊥BC.
又∵AO∩OD＝O，
∴BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD.
∴AD⊥BC，
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，
AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，
∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝a，
∴AD＝＝＝a.
在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝
＝.∴∠ADO＝60°.
即二面角A－BC－O的大小是60°.
变式训练2　解　取BD的中点O，分别连接AO、CO，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC为二面角A－BD－C的平面角，
∵AB＝AD＝a，BD＝a，
∴AO＝a，
∵BC＝CD＝a，BD＝a，∴OC＝a，
在△AOC中，OC＝a，AO＝a，AC＝a，
∴OA2＋OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°.
即二面角A－BD－C的大小为90°.
例3　证明　(1)如图，连接AC，交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC.
∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形．
而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.
同理，由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.
∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC，
∴BC⊥DE.BC∩PC＝C，
∴DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF＝E，
∴PB⊥平面EFD.
变式训练3　证明　如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC且MN＝EC，
∵EC∥BD，
∴MN∥BD，
∴点N在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内，
∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.
强化提高
1．A　[利用线面垂直的性质可知，b⊥α.]
2．A　[PA⊥平面ABC，
∴∠PAB＝∠PAC＝90°，PA⊥BC.
又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
∴∠BCP＝∠BCA＝90°，故选A.]
3．C　[设AC、BD交于O，连接A1O，
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角的平面角．
tan∠A1OA＝＝，∴选C.]
4．A　[∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α，
又∵α∥β，∴b⊥β.]
5．C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．]21世纪教育网版权所有
6．45°
解析　可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.
7．垂直
解析　∵PA＝PC，O是AC的中点，
∴PO⊥AC.
同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
8．B　[①对，l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m?β，
∴l⊥m；
②错，因为l不一定垂直于β；③对，
∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，
又∵m?β，∴α⊥β，故①③正确．]
9．垂直
解析　如图，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，
PO＝a，PB＝a，
OB＝a，
∴PB2＝PO2＋OB2，
∴PO⊥OB，
∴PO⊥面ABC，
又∵PO?面PAC，∴面ABC⊥面PAC.
10．BD⊥AC
解析　如图取BD的中点O，连接AO，CO，
∵AB＝BC＝CD＝AD，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴BD⊥面AOC，AC?面AOC，
∴BD⊥AC.
11．13cm
解析　取AB中点E，连接PE，EC，
又∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，
BC＝6cm，
∴AB＝10cm，∴CE＝5cm，
∵PA＝PB＝13cm，E是AB中点，
∴PE＝12cm，PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PE⊥平面ABC，
∵CE?平面ABC，∴PE⊥CE，
在直角△PEC中，
PC＝＝13cm.
12．①②③
解析　∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，
取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；
连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE异面错误；21教育网
故答案为：①②③.
13．证明　二面角A－PB－C为直二面角，即平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线．
在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂足，
则AD⊥平面CPB，
又BC?平面CPB，所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，
又PA∩AD＝A，
因此，BC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，所以AB⊥BC.
14．(1)解　取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.
又AB?平面PAB，CM?平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
又BC∥MD，且BC＝MD.
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.

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