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专题15　圆的方程
1．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)，半径为r.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心C(－，－)，半径为.
例1　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长．21*cnjy*com
变式训练1　将下列圆的方程化为标准方程，并求出圆心和半径．
(1)x2＋y2－2x＋4y＋4＝0；
(2)2x2＋2y2＋8x－12y＋23＝0.
例2　求经过两点A(2，－3)、B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．
变式训练2　求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程．
例3　试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四点是否在同一圆上．
变式训练3　过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程为________．
A级
(第1题考查的是圆的一般方程的定义，求圆的半径和圆心有两种方法：一个是转化为圆的标准方程，一个是直接利用一般式方程的定义求解．)21·世纪*教育网
1．方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0表示的圆的圆心为(　　)
A．(2,4) B．(－2，－4)
C．(－1，－2) D．(1,2)
2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
(第3题考查的是圆一般方程的定义，解题方法是利用一般式方程定义求解．)
3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)
A．a<1 B．a>1
C．－2(第4题考查的是圆的方程，做法是先求出端点坐标，然后求出半径，可得圆的标准方程．)
4．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
5．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．
(第6题考查学生掌握圆的基本性质，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，做题时注意数形结合．)【来源：21cnj*y.co*m】
6．已知三角形的三个顶点是A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，则△ABC的外接圆方程为________．
7．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
B级
(第8题做法是因为圆心一定在圆直径上，所以只要求出圆心坐标，再逐一代入各个选项验证即可．)
8．已知圆的方程为x2＋y2－2x－2y－8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
(第9题考查圆的标准方程，圆的一般方程，两圆的位置关系，确定圆的圆心与半径，即可求得结论．)
9．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
10．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.
11．在已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0中，长为8的弦中点的轨迹方程为________．
12．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
(第13题考查了二元二次方程表示圆的条件和求半径的最大值，可用配方法将方程化为标准方程后，利用r2＞0求出参数的范围，求半径的最大值时需要验证对称轴的值是否取到．)
13．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0(k为实数)．
(1)若定点A(1,2)在圆的外面，求k的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程．
(第14题熟练掌握圆的一般方程表示圆的充要条件和二次函数的性质是解题的关键．)
14．已知x2＋y2－2(2t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.
(1)当t为何值时，方程表示圆？
(2)方程表示的圆的圆心能否在直线y＝x上？
详解答案
典型例题
例1　解　方法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，21世纪教育网版权所有
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.
方法二　原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝|m－2|.
变式训练1　解　(1)配方化为：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心(1，－2)，半径r＝1.
(2)配方化为：2(x＋2)2＋2(y－3)2＝3，
即(x＋2)2＋(y－3)2＝，圆心(－2,3)，半径r＝.
例2　解　方法一　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知条件得，
解得
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二　由A(2，－3)，B(－2，－5)得，
AB的中点为(0，－4)，kAB＝，
∴AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，
即2x＋y＋4＝0，
解方程组得
∴圆心为(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三　设点C是圆心，
∵点C在直线l上，∴设点C为(2b＋3，b)．
又∵|CA|＝|CB|，
∴
＝解得b＝－2，
∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
变式训练2　解　设圆心在x轴上，半径为5的圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝52.
∵点A在圆上，∴(2－a)2＋(－3)2＝25.
∴a＝－2或a＝6.
故所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25.
例3　解　方法一　线段AB、BC的斜率分别为kAB＝1，
kBC＝－1.得kAB≠kBC.
∴A、B、C三点不共线，设过A、B、C三点的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A、B、C三点在此圆上，
∴∴
∴过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0.
将D点坐标(4,3)代入方程左端得：42＋32－8×4＋4×3－5＝0.
即点D在此圆上，故A、B、C、D四点在同一个圆上．
方法二　∵kAB·kBC＝×＝－1，
∴AB⊥BC，∴AC是过A、B、C三点的圆的直径，
|AC|＝＝10，
AC中点即为圆心M(4，－2)．
∵|DM|＝＝5
＝|AC|，
∴点D在圆M上，∴A、B、C、D四点共圆．
变式训练3　x2＋y2＋6x－2y－15＝0
解析　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵三点A、B、C在圆上，
∴，∴，
故所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
强化提高
1．C　[方程可变为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，
∴圆的圆心为(－1，－2)．]
2．B　[将点P的坐标代入圆的方程的等号左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．]
3．A　[因为当a2＋4a2－4(a2＋a－1)>0时方程表示圆，故－a＋1>0，解得a<1.]
4．A　[由已知，得直径的两端点为(4,0)，(0，－6)，
∴半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]
5．(x－3)2＋(y－4)2＝25
解析　圆的半径r＝＝5.
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
6．x2＋y2－4x－3y＝0
解析　根据图形可知△ABC为直角三角形，所以AC的垂直平分线方程MP为y＝；AB边的垂直平分线方程MQ为x＝2.21教育网
所以圆心坐标为(2，)，半径r＝；
则圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝，化简得x2＋y2－4x－3y＝0.
7．x2＋(y－1)2＝1
解析　由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
8．A　[∵圆的方程为x2＋y2－2x－2y－8＝0，
∴圆心坐标为(1,1)，又∵直径一定过圆心，∴只需检验选项中那个过圆心即可，把(1,1)点逐一代入各选项，可得代入A选项时成立．故选A.]21·cn·jy·com
9．D　[由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.]www.21-cn-jy.com
10．9
解析　圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
11．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析　设中点M(x，y)，已知圆的圆心为C(2，－3)，半径r＝5，则|MC|＝3，所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝9.21cnjy.com
12．5＋
解析　点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋.2·1·c·n·j·y
13．解　(1)将圆的方程化为(x＋)2＋(y＋1)2＝，所以圆心为(－，－1)，半径为.由于点(1,2)在圆外，因此有＞恒成立，【来源：21·世纪·教育·网】
又∵4－3k2＞0，解得－(2)由(1)知圆的半径r＝，故当k＝0时，半径取最大值1，这时面积最大，所以面积最大的圆的方程是x2＋y2＋2y＝0.2-1-c-n-j-y
14．解　(1)方程x2＋y2－2(2t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0，
可化为[x－(2t－3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝－16t4－9＋(2t－3)2＋(1－4t2)2＝－12t＋1，若此方程表示圆，则－12t＋1＞0，【出处：21教育名师】
解得t∈(－∞，)．
(2)该圆的圆心为(2t－3，－(1－4t2))．若圆心在直线y＝x上，则2t－3＝－(1－4t2)，就是4t2－2t＋2＝0，其中Δ＝(－2)2－4×4×2＝－24<0，方程无解，从而该方程表示的圆的圆心不能在直线y＝x上．www-2-1-cnjy-com

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