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专题10　命题及其关系、充分必要条件
1．命题及其关系
2．充分条件与必要条件
(1)p?q，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)既有p?q，又有q?p，p是q的充分必要条件，简称充要条件记作p?q.
如果p?q，那么p与q互为充要条件．
例1　已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
变式1　设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
例2　设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式2　设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
例3　e1，e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，若a∥b，求实数k的值．
变式3　已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，若a⊥b，求x的值．
A级
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a?A，则b?B
B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A
D．若b?B，则a?A
2．命题“如果x2<1，则－1A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．如果－1C．如果x>1或x<－1，则x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1
3．原命题为“若A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
6．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．非充分非必要条件
B级
8．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　)
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
9．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知p：α≠β，q：cosα≠cosβ，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
13．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
详解答案
典型例题
例1　A
变式1　D
例2　A　[由(a－b)a2<0?a≠0且a变式2　C　[由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.
即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，
所以〈a，b〉＝0或π，
所以|a·b|＝|a||b|.]
例3　解　∵a∥b，设a＝λb，
∴，
∴k2＝1，∴k＝±1.
变式3　解　∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，
∴a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，即x＝0.
强化提高
1．B　2.D
3．A　[原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.]
4．A　5.C　6.A
7．A　[由正弦定理，知a≤b?2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)?sin A≤sinB．故选A.]21cnjy.com
8．B　9.A
10．B　[φ＝?f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．www.21-cn-jy.com
又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数?f(0)＝0?φ＝＋kπ(k∈Z)D/?φ＝.
∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．]
11．B　[由x＞1?x＋2＞3?log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.]21·cn·jy·com
12．B　[q?p成立，但pD/?q，
∴p是q的必要不充分条件．]
13．①②③
解析　①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题，
因为
得m∈?.
所以应填①②③.

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